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第八章分布滞后和虚拟变量模型 8 1多项分布滞后 PDL 8 2自回归模型 8 3虚拟变量回归模型 8 4非线性模型 8 5设定误差 8 1多项分布滞后 PDL 在经济分析中人们发现 一些经济变量 它们的数值是由自身的滞后量或者其他变量的滞后量所决定的 表现在计量经济模型中 解释变量中经常包含某些滞后变量 以投资函数为例 分析中国的投资问题发现 当年的投资额除了取决于当年的收入 即国内生产总值 外 由于投资的连续性 它还受到前1个 2个 3个 时期投资额的影响 已经开工的项目总是要继续下去的 而每个时期的投资额又取决于每个时期的收入 所以可以建立如下关于投资的计量经济方程 其中I表示投资额 Y表示国内生产总值 对于有限滞后长度的情形 分布滞后模型的一般形式如下 其中系数 描述x对y作用的滞后 在模型中解释变量与随机误差项不相关的情况下 可以直接使用OLS估计参数 但是 一个显然的问题是解释变量之间 即x的当前和滞后值之间具有高度共线性 而共线性问题的一个直接后果是参数估计量失去意义 不能揭示x的各个滞后量对因变量的影响 所以必须寻求另外的估计方法 8 1 1 一 多项式分布滞后模型的估计方法 可以使用多项式分布滞后 PolynomialDistributedLags PDL 来减少要估计的参数个数 以此来平滑滞后系数 平滑就是要求系数服从一个相对低阶的多项式 p阶PDLs模型限制 系数服从如下形式的p阶多项式 j 0 1 2 k 8 1 2 c是事先定义常数 PDL有时被称为Almon分布滞后模型 常数c仅用来避免共线性引起的数值问题 不影响 的估计 这种定义允许仅使用参数p来估计一个x的k阶滞后的模型 如果p k 将显示 近似奇异 错误信息 定义一个PDL模型 EViews用 8 1 2 式代入到 8 1 1 式 将产生如下形式方程 其中 8 1 3 一旦从 8 1 3 式估计出 利用 8 1 2 式就可得到 的各系数 这一过程很明了 因为是 的 线性变换 定义一个PDLs要有三个元素 滞后长度k 多项式阶数 多项式最高次幂数 p和附加的约束条件 一个近端约束限制x对y一期超前作用为零 一个远端约束限制x对y的作用在大于定义滞后的数目衰减 如果限制滞后算子的近端或远端 参数个数将减少一个来解释这种约束 如果对近端和远端都约束 参数个数将减少二个 EViews缺省不加任何约束 二 如何估计包含PDL的模型 通过PDL项定义一个多项式分布滞后 信息在随后的括号内 按下列规则用逗号隔开 1 序列名2 滞后长度 序列滞后数 3 多项式阶数4 一个数字限制码来约束滞后多项式 1 限制滞后近端为零2 限制远端为零3 两者都限制如果不限制滞后多项式 可以省略限制码 方程中可以包含多个PDL项 例如 salescpdl y 8 3 是用常数 解释变量y的当前和8阶分布滞后来拟合因变量sales 这里解释变量y的滞后系数服从没有约束的3阶多项式 类似地 ycpdl x 12 4 2 包含常数 解释变量x的当前和12阶分布滞后拟合因变量y 这里解释变量x的系数服从带有远端约束的4阶多项式 PDL也可用于二阶段最小二乘法TSLS 如果PDL序列是外生变量 应当在工具表中也包括序列的PDL项 为此目的 可以定义PDL 作为一个工具变量 则所有的PDL变量都将被作为工具变量使用 例如 如果定义TSLS方程为salescincpdl y 1 12 4 使用工具变量 zz 1 pdl 则y的分布滞后和z z 1 都被用作工具变量 PDL不能用于非线性定义 三 例子投资INV关于GDP的分布滞后模型的结果如下 逐个观察 GDP滞后的系数统计上都不显著 但总体上讲回归具有一个合理的R2 尽管D W统计量很低 这是回归自变量中多重共线的典型现象 建议拟合一个多项式分布滞后模型 估计一个无限制的3阶多项式滞后模型 输入变量列表 INVcPDL GDP 3 2 窗口中显示的多项式估计系数 PDL01 PDL02 PDL03分别对应方程 8 1 3 中Z1 Z2 Z3的系数 1 2 3 方程 8 1 1 中的系数 j在表格底部显示 表格底部的滞后值是分布滞后的估计系数值 并且在平稳的假设下有GDP对INV的长期影响的解释 待估计的方程 INV c 1 c 2 INV 1 c 6 GDP c 7 GDP 1 c 8 GDP 2 c 9 GDP 3 估计的方程 INV 15 877 0 97188 INV 1 0 2548 GDP 0 119657 GDP 1 0 185 GDP 2 0 0574 GDP 3 8 2自回归模型 考伊克 适应性期望和部分调整模型都有如下的共同的形式 8 2 1 它们都是属于自回归性质 因此用最小二乘法未必对它们直接适用 因为随机解释变量的出现和序列相关的可能性 如前所述 运用最小二乘法 必须表明随机解释变量的分布与干扰项无关 即使原始的干扰项满足经典假设 也未必满足这些性质 考伊克和适应性期望模型则不能满足这些假定 然而部分调整模型中 因此 如果满足经典线性回归模型的假设 则也能满足 从而用最小二乘估计将得到一致估计 如果遇到象考伊克或适应性期望那样的模型 最小二乘法不能直接应用 就需要设计解决估计的方法 一 工具变量法 最小二乘法之所以不能适用于考伊克或适应性期望模型 是因为解释变量和误差项相关 如果我们找到一个与高度相关但与不相关的变量作为的替代 就可以应用最小二乘法 这样的替代变量叫做工具变量 利维亚坦建议用作为的工具变量 并且还建议方程 8 2 1 的参数可由以下正规方程解得 8 2 2 从 8 2 2 中估计出来的诸是一致性的 虽说工具变量法技术一旦找到适合的替代变量之后是容易应用的 但是要找到一个好的替代变量 并不是很容易的事 二 在自回归模型中侦察自相关 德宾h检验 误差项中可能的序列相关会使自回归模型的估计变得复杂 如果原始模型中的误差项为序列无关 则存量调整模型的误差项就不会是序列相关的 然而对于考伊克和适应性期望模型 即使序列无关 仍可能是序列相关 于是怎样知道自相关模型中的误差项是否序列相关呢 德宾提出了自回归模型一阶序列相关的一个大样本检验 称之为h统计量 方法如下 8 2 3 其中n为样本容量 为滞后的方差 为随机扰动项的一阶序列相关系数的估计值 8 2 3 又可写为 8 2 4 h渐进地遵循零均值和单位方差的正态分布 h落在 1 96与1 96之间的概率为95 因此决策规则是 a 如果h 1 96 则拒绝无正的一阶自相关的虚拟假设 b 如果h 1 96 则拒绝无负的一阶自相关的虚拟假设 c 如果h落在 1 96到1 96之间 则不拒绝无一阶自相关的虚拟假设 注意h统计量的如下特征 1 不管回归模型中含有多少个变量和多少个的滞后项 都可以应用 2 如果超过1 检验便不适用 3 该检验是一种大样本检验 三 例题分析及EViews操作 根据某地区1962 1995年基本建设新增固定资产Y 亿元 和全省工业总产值X 亿元 按当年价格计算的历史资料 参见教材P212 表7 13 1 设定模型作部分调整假定 估计参数 并作解释 2 设定模型作自适应假定 估计参数 并作解释 3 比较上述两种模型的设定 哪一个模型拟合较好 在局部调整假定和自适应假定下 上述二模型最终都转化为一阶自回归模型 为此 先估计如下形式的一阶自回归模型 1 根据局部调整模型的参数关系 有将上述估计结果代入得到 故局部调整模型为 意义 为了达到全省工业总产值的计划值 寻求一个未来预期新增固定资产的最佳量 全省工业总产值每计划增加1 亿元 则未来预期最佳新增固定资产量为0 1037 亿元 2 根据自适应模型的参数关系 有代入得到 故局部调整模型为 意义 新增固定资产的变化取决于全省工业总产值的预期值 全省工业总产值每预期增加1 亿元 当期新增固定资产量为0 1037 亿元 3 局部调整模型和自适应模型的区别在于 局部调整模型是对应变量的局部调整而得到的 而自适应模型是由解释变量的自适应过程而得到的 由回归结果可见 Y滞后一期的回归系数并不显著 说明两个模型的设定都不合理 8 3虚拟变量回归模型 一 虚拟变量的概念虚拟变量 是一种离散结构的量 用来描述所研究变量的发展或变异而建立的一类特殊变量 常用来表示职业 性别 季节 灾害 经济结构变化 受教育程度等的影响 此外它还有一些其他的名称 如指标变量 二值变量 范畴变量 定性变量和二分变量 在回归模型中 对定量变量和虚拟变量的估计方法是一样的 二 虚拟变量的设立 以加法类型为例 1 自变量全都是虚拟变量如果一个模型中的自变量全都是虚拟变量 通常对这种模型的分析方法称之为方差分析 为什么把这种模型称为方差分析模型 一个教授年薪的模型 其中表示教授的年薪 根据所给数据可以估计出如下结果 估计方法与前面所讲的方法没有区别 由于这个模型与单因素方差分析统计模型的原理及所要表达的统计意义一致 因此这个最简单的虚拟变量模型也称之为方差分析模型 2 一个定量变量和一个两分定性变量的回归 仍然用上面的例子 只是引入教龄作为解释变量 有如下模型 表示教龄 其他定义如前 这个模型的系数估计用OLS即可完成 主要有以下几点需要注意 1 虽然有男 女两个分类 但是只用一个虚拟变量 更通用的规则是 如果一个定性变量有m个类别 则引入m 1个虚拟变量 2 虚拟变量的取值是随意 但是一旦取定之后要能合理地解释其意义 3 被赋予零值的那个类别通常称为基础类型 它是用以和其他类别作比较的一个基础 4 虚拟变量的系数称为级差截距系数 它表示取值1的类别的截距值和基基础类型的截距值相比有多大差别 3 对一个定量变量和一个多分定性变量的回归 假设在横截面数据的基础上 分析个人保健支出对个人收入和教育水平的回归 教育水平是定性变量 分为三类 低于中学 中学和大学 模型中引入两个虚拟变量 模型如下 其中 保健年度支出 年度收入 4 对一个定量变量和两个定性变量的回归 回顾前面学院教授薪金回归模型 现在假定除了教龄和性别之外 肤色也是一个重要的薪金决定因素 肤色假定只有两种情况 黑和白 于是模型改写为 其中表示学院教授的薪金表示教龄 假定 则可以得到以下回归 黑人女教授平均薪金 黑人男教授平均薪金 白人女教授平均薪金 白人男教授平均薪金 三 EViews的操作 为研究采取某项保险革新措施的速度y与保险公司的规模x1和保险公司类型的关系 选取下列数据 y是一个公司提出该项革新直至革新被采纳间隔的月数 x1是公司的总资产额 单位 百万美元 x2是一个定性变量 表示公司类型 其中1表示股份公司 0表示非股份公司 要建立的模型是 8 4非线性模型 经典的计量经济学模型理论与方法是在线性模型的基础上发展 完善起来的 因而线性计量经济学模型领域的理论与方法已经相当成熟 但是 现实经济活动并不都能抽象为线性模型 所以非线性计量经济学模型在计量经济学模型中占据重要的位置 关于它的理论与方法的研究是计量经济学理论与方法研究的一个广泛的领域 假设回归方程为 其中f是解释变量和参数 的函数 最小二乘估计就是要选择参数 使残差平方和最小 如果f关于参数的导数不依赖于参数 则我们称模型为参数线性的 反之 则是参数非线性的 例如 是参数线性的 f关于参数的导数与参数 无关 而其函数的导数仍依赖于参数 所以它是参数非线性的 对于这个模型 没有办法使用普通最小二乘估计来最小化残差平方和 必须使用非线性最小二乘估计技术来估计模型参数 非线性最小二乘估计根据参数 的选择最小化残差平方和 最小化的一阶条件是 其中G 是f X 关于 的导数 估计协方差矩阵为 关于非线性估计的详细讨论 参见Pindick和Rubinfeld 1991 231 245页 或Davidson和MacKinon 1993 即 令 估计非线性最小二乘模型很简单 对于任何系数非线性的方程 EViews自动应用非线性最小二乘估计 会使用迭代算法估计模型 1 说明非线性最小二乘估计 对于非线性最小二乘模型 必须使用直接包含系数约束的EViews表达式以方程形式来说明 可以使用缺省系数向量C中的元素 例如 c 1 c 2 c 34 c 87 也可以定义使用其它系数向量 例如 Y c 1 c 2 K c 3 L c 4 就是缺省系数向量C的4个元素从c 1 到c 4 例 如果设定例6 1中的消费函数为非线性形式 8 4 1 其中 cst是实际居民消费 inct是实际可支配收入 利用我国1978年 2002年的年度数据估计此非线性方程 由于用迭代法计算 首先要赋初值 比如可以设 3的估计值b3初值是1 则可以利用OLS估计值 例6 1中 b1 414 88 b2 0 51 作为b1 b2的初值 经过迭代 得到的非线性消费方程为 8 4 2 b1 b2 b3的标准差分别为386 3 0 21和0 096 非线性形式的边际消费倾向为即MPCt c 2 c 3 inctC 3 1 0 214 1 0857 YDt1 0857 1 图8 1动态的边际消费倾向 因此 非线性情况下的MPC是时变的 根据式 8 4 1 计算得到的边际消费倾向序列如图8 1所示 注意 inc的平均值 9795 355 对应的边际消费倾向为MPC 0 2139 1 0857 9795 355 1 0857 1 0 51等于线性模型估计值 因为线性模型的参数反映的是变量之间平均意义上的影响关系 2 估计方法选项 1 初始值迭代估计要求模型系数有初始值 选择参数初始值没有通用的法则 越接近于真值越好 因此 如果你对参数值有一个合理的猜测值 将是很有用的 在某些情况下 可以用最小二乘法估计严格形式的模型得到良好的初始值 总体说来 必须进行试验以找到初始值 在开始迭代估计时 EViews使用系数向量中的值 很容易检查并改变系数的初始值 要察看初始值 双击系数向量 如果初始值是合理的 可以对模型进行估计 如果想改变初始值 首先确定系数向量表使处于编辑状态 然后输入系数值 完成初始值设定后 关闭系数向量窗口 估计模型 也可以从命令窗口使用PARAM命令设定初始系数值 只需输入关键词PARAM 然后是每个系数和想要的初值 paramc 1 153c 2 68c 3 15中设定c 1 153 c 2 0 68和c 3 0 15 2 迭代和收敛选项可以通过说明收敛标准和最大迭代次数来控制迭代过程 按Options钮并输入想要的数值 如果系数变化的最大值低于阈值 EViews报告估计过程已经收敛 例如 设定阈值为0 001 则EViews会通过检查系数的最大变化是不是小于0 001来决定是否收敛 在大多数情况下 不许改变最大迭代次数 然而 对于某些难于估计的模型 在最大迭代次数下迭代过程不收敛 这时 只需单击Options钮 然后 增加最大迭代次数并点OK接受选项 开始估计 EViews会使用最后一组参数值作为初始值进行估计 8 5设定误差 一 DW检验基本思想 遗漏的相关变量应包含在随机扰动项中 那么回归所得的残差序列就会呈现单侧的正 负 相关性 因此可从自相关性的角度检验相关变量的遗漏 从遗漏变量的模型看 可以认为遗漏变量模型是无遗漏变量模型的一个特例 被遗漏变量的系数为0 按遗漏解释变量的递增次序对残差序列 进行排序 对排序后的残差序列 计算d统计量 2 设定 1 对回归模型运用OLS法得残差序列 DW检验的具体步骤 3 查Durbin Watson表 若d为显著 则拒绝原假设 受约束回归模型不成立 存在模型设定误差 否则不拒绝原假设 受约束回归模型成立 模型无设定误差 二 拉格朗日乘数 LM 检验 基本思想 模型中遗漏的相关变量包含在随机扰动项中 因此随机扰动项或回归所得的残差序列应与遗漏的相关变量呈现出某种依存关系 可以进行残差序列与相关变量的回归 在一定显著水平下若相关变量具有统计显著性 则认为存在遗漏变量形成的设定偏误 若相关变量不具有统计显著性 则认为没有遗漏变量形成的设定误差 1 对存在遗漏变量设定偏误的模型 受约束回归模型 进行回归 得残差序列ei 2 用残差序列ei对全部的解释变量 包括遗漏变量 进行回归 得可决系数R2 3 设定H0 受约束回归模型 H1 无约束回归模型 在大样本情况下 构造检验统计量nR2 nR2渐近地遵从 2 约束个数 4 进行显著性检验的判断 若nR2 2 约束个数 则拒绝H0 认为受约束模型不成立 存在遗漏变量 否则 接受H0 认为受约束模型成立 无遗漏变量 具体步骤 问题 以P243引子中所提出的问题为例 分析影响中国进口量的主要因素 数据见PP255 256 设定模型 IMt 1 2GDPt ut 1 其中 IMt是进口总额 GDPt是国内生产总值 分析模型是否有变量设定误差 进行变量设定误差检验 案例分析及EViews操作 se 792 2620 0 0142 t 2 0288 16 2378 对模型 1 进行回归 有回归结果 显然 存在自相关现象 其主要原因可能是建模时遗漏了重要的相关变量造成的 作模型 1 回归的残差图 模型 1 的DW 0 5357 表明存在正的自相关 由于遗漏变量Exchange或GDP已经按从小到大顺序排列 因此 无需重新计算d统计量 对n 24和k 1 5 的德宾 沃森d 统计量的临界值为dL 1 273和dU 1 466 表明存在显著的遗漏变量现象 1 DW检验 DependentVariable IMMethod LeastSquaresDate 08 06 05Time 23 41Sample adjusted 19812003Includedobservations 23afteradjustmentsVariableCoefficientStd Errort StatisticProb C 224 36321892 132 0 1185770 9069GDP1 1482590 1514337 5826060 0000GDP 1 0 8224440 147359 5 5812130 0000EXCHANGE 4 2907468 348744 0 5139390 6135EXCHANGE 2 0 0186370 008353 2 2311620 0386R squared0 978691Meandependentvar8434 222AdjustedR squared0 973956S D dependentvar9025 326S E ofregression1456 525Akaikeinfocriterion17 59515Sumsquaredresid38186370Schwarzcriterion17 84200Loglikelihood 197 3