第09章++向量自回归模型.ppt

1 第九章向量自回归和误差修正模型 传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型 但是 经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明 而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂 为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型 本章所要介绍的向量自回归模型 vectorautoregression VAR 和向量误差修正模型 vectorerrorcorrectionmodel VEC 就是非结构化的多方程模型 2 向量自回归 VAR 是基于数据的统计性质建立模型 VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型 从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的 向量 自回归模型 VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一 并且在一定的条件下 多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型 因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视 9 1向量自回归理论 3 VAR p 模型的数学表达式是 9 1 1 其中 yt是k维内生变量向量 Xt是d维外生变量向量 p是滞后阶数 样本个数为T k k维矩阵A1 Ap和k d维矩阵B是要被估计的系数矩阵 t是k维扰动向量 它们相互之间可以同期相关 但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关 假设 是 t的协方差矩阵 是一个 k k 的正定矩阵 式 9 1 1 可以用矩阵表示为 9 1 1VAR模型的一般表示 4 9 1 2 即含有k个时间序列变量的VAR p 模型由k个方程组成 例如 作为VAR的一个例子 假设工业产量 IP 和货币供应量 M1 联合地由一个双变量的VAR模型决定 并且让常数为唯一的外生变量 内生变量滞后二阶的VAR 2 模型是 5 其中 是要被估计的参数 也可表示成 还可以将式 9 1 2 做简单变换 表示为 9 1 3 其中是yt关于外生变量Xt回归的残差 式 9 1 3 可以简写为 6 9 1 4 其中 是滞后算子L的k k的参数矩阵 一般称式 9 1 4 为非限制性向量自回归模型 unrestrictedVAR 冲击向量 t是白噪声向量 因为 t没有结构性的含义 被称为简化形式的冲击向量 为了叙述方便 下面考虑的VAR模型都是不含外生变量的非限制向量自回归模型 用下式表示或 9 1 5 7 如果行列式det A L 的根都在单位圆外 则式 9 1 5 满足稳定性条件 可以将其表示为无穷阶的向量动平均 VMA 形式 9 1 6 其中 8 对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行 假如对 矩阵不施加限制性条件 由最小二乘法可得 矩阵的估计量为 9 1 7 其中 当VAR的参数估计出来之后 由于A L C L Ik 所以也可以得到相应的VMA 模型的参数估计 9 由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边 所以不存在同期相关性问题 用普通最小二乘法 OLS 能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量 即使扰动向量 t有同期相关 OLS仍然是有效的 因为所有的方程有相同的回归量 其与广义最小二乘法 GLS 是等价的 注意 由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除 absorbed 所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格 10 EViews软件中VAR模型的建立和估计 1 建立VAR模型为了创建一个VAR对象 应选择Quick EstimateVAR 或者选择Objects Newobject VAR或者在命令窗口中键入var 便会出现下图的对话框 以例9 1为例 11 可以在对话框内添入相应的信息 1 选择模型类型 VARType 无约束向量自回归 UnrestrictedVAR 或者向量误差修正 VectorErrorCorrection 无约束VAR模型是指VAR模型的简化式 2 在EstimationSample编辑框中设置样本区间 12 3 在LagIntervalsforEndogenous编辑框中输入滞后信息 表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端 这一信息应该成对输入 每一对数字描述一个滞后区间 例如 滞后对14表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量 也可以添加代表滞后区间的任意数字 但都要成对输入 例如 24691212即为用2 4阶 6 9阶及第12阶滞后变量 13 4 在EndogenousVariables和ExogenousVariables编辑栏中输入相应的内生变量和外生变量 系统通常会自动给出常数c作为外生变量 但是相应的编辑栏中输入c作为外生变量 也可以 因为EViews只会包含一个常数 其余两个菜单 Cointegration和Restrictions 仅与VEC模型有关 将在下面介绍 14 2 VAR估计的输出VAR对象的设定框填写完毕 单击OK按纽 EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果 15 表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程 对方程右端每一个变量 EViews会给出系数估计值 估计系数的标准差 圆括号中 及t 统计量 方括号中 例如 在log GDPTC P 的方程中RR 1 的系数是 0 003521 同时 有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部 16 17 输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量 根据各自的残差分别计算每个方程的结果 并显示在对应的列中 输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量 残差的协方差的行列式值由下式得出 18 其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数 是k维残差列向量 通过假定服从多元正态 高斯 分布计算对数似然值 AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明 19 例9 1我国货币政策效应实证分析的VAR模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响 短期影响及其贡献度 根据我国1995年1季度 2004年4季度的季度数据 利用VAR 3 模型对实际GDP GDP季值除以居民消费价格指数 1990年为100 实际M1和实际利率RR 一年期贷款利率减去居民消费价格指数的变动率 3个变量之间的关系进行了实证研究 其中实际GDP和实际M1以对数的形式出现在模型中 而实际利率没有取对数 由于方程右边的变量是相同的 所以OLS估计模型是有效的 其结果如下 20 尽管有几个系数不是很显著 我们仍然选择滞后阶数为3 3个方程调整的拟合优度分别为 无论如何 我们可以利用这个模型进行预测及下一步的分析 21 同时 为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系 可用残差的同期相关矩阵来描述 用ei表示第i个方程的残差 i 1 2 3 其结果如表9 1所示 表9 1残差的同期相关矩阵 22 从表中可以看到实际GDP方程和实际利率 实际M1方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高 进一步表明实际GDP和实际货币供给量 M1 实际利率之间存在着同期的影响关系 尽管得到的估计量是一致估计量 但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系 23 9 1 2结构VAR模型 SVAR 在式 9 1 1 或式 9 1 3 中 可以看出 VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式 即在模型的右端不含有内生变量 而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中 是无法解释的 所以将式 9 1 1 和式 9 1 3 称为VAR模型的简化形式 模型中的误差项 t是不可观测的 可以被看作是不可解释的随机扰动 本节要介绍的结构VAR模型 StructuralVAR SVAR 实际是指VAR模型的结构式 即在模型中包含变量之间的当期关系 24 1 两变量的SVAR模型 为了明确变量间的当期关系 首先来研究两变量的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系 如含有两个变量 k 2 滞后一阶 p 1 的VAR模型结构式可以表示为下式 9 1 8 25 在模型 9 1 8 中假设 1 变量过程xt和zt均是平稳随机过程 2 随机误差uxt和uzt是白噪声序列 不失一般性 假设方差 3 随机误差uxt和uzt之间不相关 式 9 1 8 一般称为一阶结构向量自回归模型 SVAR 1 26 它是一种结构式经济模型 引入了变量之间的作用与反馈作用 其中系数b12表示变量zt的单位变化对变量xt的即时作用 21表示xt 1的单位变化对zt的滞后影响 虽然uxt和uzt是单纯出现在xt和zt中的随机冲击 但如果b21 0 则作用在xt上的随机冲击uxt通过对xt的影响 能够即时传到变量zt上 这是一种间接的即时影响 同样 如果b12 0 则作用在zt上的随机冲击uzt也可以对xt产生间接的即时影响 冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系 27 为了导出VAR模型的简化式方程 将上述模型表示为矩阵形式该模型可以简单地表示为 9 1 9 28 假设B0可逆 可导出简化式方程为其中 9 1 10 29 从而可以看到 简化式扰动项 t是结构式扰动项ut的线性组合 因此代表一种复合冲击 因为uxt和uzt是不相关的白噪声序列 则可以断定上述 1t和 2t也是白噪声序列 并且均值和方差为 30 同期的 1t和 2t之间的协方差为从式 9 1 11 可以看出当b12 0或b21 0时 VAR模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关 正如例9 1中的表9 1所显示的情况 当b12 b21 0时 即变量之间没有即时影响 上述协方差为0 相当于对B0矩阵施加约束 9 1 11 31 2 多变量的SVAR模型 下面考虑k个变量的情形 p阶结构向量自回归模型SVAR p 为 9 1 13 其中 32 可以将式 9 1 13 写成滞后算子形式 9 1 14 其中 B L 是滞后算子L的k k的参数矩阵 B0 Ik 需要注意的是 本书讨论的SVAR模型 B0矩阵均是主对角线元素为1的矩阵 如果B0是一个下三角矩阵 则SVAR模型称为递归的SVAR模型 33 不失一般性 在式 9 1 14 假定结构式误差项 结构冲击 ut的方差 协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik 同样 如果矩阵多项式B L 可逆 可以表示出SVAR的无穷阶的VMA 形式其中 9 1 15 34 式 9 1 15 通常称为经济模型的最终表达式 因为其中所有内生变量都表示为外生变量的分布滞后形式 而且外生变量的结构冲击ut是不可直接观测得到 需要通过yt各元素的响应才可观测到 可以通过估计式 9 1 5 转变简化式的误差项得到结构冲击ut 从式 9 1 6 和式 9 1 15 可以得到 9 1 16 35 上式对于任意的t都是成立的 称为典型的SVAR模型 由于C0 Ik 可得式 9 1 17 两端平方取期望 可得所以我们可以通过对D0施加约束来识别SVAR模型 9 1 17 9 1 18 36 9 2结构VAR SVAR 模型的识别条件 前面已经提到 在VAR简化式中变量间的当期关系没有直接给出 而是隐藏在误差项的相关关系的结构中 自Sims的研究开始 VAR模型在很多研究领域取得了成功 在一些研究课题中 VAR模型取代了传统的联立方程模型 被证实为实用且有效的统计方法 然而 VAR模型存在参数过多的问题 如式 9 1 1 中 一共有k kp d 个参数 只有所含经济变量较少的VAR模型才可以通过OLS和极大似然估计得到满意的估计结果 37 为了解决这一参数过多的问题 计量经济学家们提出了许多方法 这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数 SVAR模型就是这些方法中较为成功的一种 38 39 要想得到结构式模型惟一的估计参数 要求识别的阶条件和秩条件 即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多 识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见第12章的 12 1 2联立方程模型的识别 因此 如果不对结构式参数加以限制 将出现模型不可识别的问题 对于k元p阶SVAR模型 需要对结构式施加的限制条件个数为式 9 2 4 和式 9 2 2 的差 即施加k k 1 2个限制条件才能估计出结构式模型的参数 这些约束条件可以是同期 短期 的 也可以是长期的 40 9 2 2SVAR模型的约束形式 为了详细说明SVAR模型的约束形成 从式 9 1 16 和式 9 1 17 出发 可以得到其中C L D L 分别是VAR模型和SVAR模型相应的VMA 模型的滞后算子式 这就隐含着 9 2 5 9 2 6 41 因此 只需要对D0进行约束 就可以识别整个结构系统 如果D0是已知的 可以通过估计式 9 1 17 和式 9 2 6 非常容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息ut 在有关SVAR模型的文献中 这些约束通常来自于经济理论 表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系 42 1 短期约束 短期约束通常直接施加在矩阵D0上 表示经济变量对结构冲击的同期响应 常见的可识别约束是简单的0约束排除方法 1 通过Cholesky 分解建立递归形式的短期约束Sims提出使D0矩阵的上三角为0的约束方法 这是一个简单的对协方差矩阵 的Cholesky 分解 下面 首先介绍Cholesky 分解的基本思想 43 对于任意实对称正定矩阵 存在惟一一个主对角线元素为1的下三角形矩阵G和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵Q使得 利用这一矩阵G可以构造一个k维向量ut 构造方法为ut G 1 t 设 9 2 7 44 则 由于Q是对角矩阵 可得ut的元素互不相关 其 j j 元素是ujt的方差 令Q1 2表示其 j j 元素为ujt的标准差的矩阵 注意到式 9 2 7 可写为 9 2 8 其中P GQ1 2是一个下三角矩阵 式 9 2 8 被称为Cholesky 乔利斯基 分解 45 Sims施加约束的基本过程是 由于 是正定矩阵 所以可得到Cholesky因子P 即 而且 当给定矩阵 时 Cholesky因子P是惟一确定的 对于VAR模型两边都乘以P 1 得到 46 其中 由于 9 2 9 9 2 10 所以ut是协方差为单位矩阵的白噪声向量 即 47 在向量 t中的各元素可能是当期相关的 而向量ut中的各元素不存在当期相关关系 即这些随机扰动是相互独立的 这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生变量向量yt变动的最终因素 由式 9 2 9 还可以得出其中 9 2 11 48 很明显 是对角元素为1的下三角矩阵 这意味着变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来 得到的正交VMA 表示 或Wold表示 形式为其中 注意到 所以冲击ut对yt中的元素的当期冲击效应是由Cholesky因子P决定的 9 2 12 49 更需要注意的是 由于P是下三角矩阵 由式 9 2 9 可知 这要求向量yt中的y2t ykt的当期值对第一个分量y1t没有影响 因此Cholesky分解因子P的决定和VAR模型中变量的次序有关 而且在给定变量次序的模型中 Cholesky分解因子矩阵P是惟一的 综上所述 可知只要式 9 1 13 中的B0是主对角线元素为1的下三角矩阵 则SVAR模型是一种递归模型 而且是恰好识别的 50 2 依据经济理论假设的短期约束但是 一般短期约束的施加不必是下三角形式的 只要满足式 9 1 18 约束可以施加给D0的任何元素 同时 由式 9 1 15 可知 SVAR模型中的同期表示矩阵B0是D0的逆 即 因此也可以通过对B0施加限制条件实现短期约束 例如 对于税收 y1t 政府支出 y2t 和产出 y3t 的三变量SVAR模型来说 由于模型中包含3个内生变量 则k k 1 2 3 因此需要对模型施加3个约束条件 才能识别出结构冲击 51 根据经济理论可作出如下的三个假设 实际GDP影响当期的税收收入 但不会影响政府支出 即B0矩阵中b23 0 税收冲击可能对政府支出有影响 但税收不依赖于同期的政府支出 即B0矩阵中b12 0 关于税收的实际产出弹性假设 可以通过回归模型得出平均的税收的产出弹性为1 71 即b13 1 71 52 2 长期约束 关于长期约束的概念最早是由Blanchard和Quah在1989年提出的 是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响 施加在结构VMA 模型的系数矩阵Di i 1 2 上的约束通常称为长期约束 最常见的长期约束的形式是对的第i行第j列元素施加约束 典型的是0约束形式 表示第i个变量对第j个变量的累积乘数影响为0 关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考9 4节的脉冲响应函数 53 9 2 3SVAR模型的3种类型 SVAR模型根据其建模特点 主要分3种类型 K 型 C 型和AB 型 其中AB 型是最通常的类型 而K 型 C 型都可视为是AB 型的特殊形式 这里 为简便起见 我们考虑常数项为0的情况 1 K 型假定K是一个 k k 的可逆矩阵 K矩阵左乘式 9 1 5 形式的VAR模型 则得 54 其中式 9 2 16 导致扰动项 t转变为正交扰动项ut 协方差矩阵是一个单位阵 因此向量yt中各元素间的当期相关关系是由可逆矩阵K来决定的 假定知道 t的方差 协方差矩阵的真实形式 9 2 16 55 从而有这意味着对矩阵施加了k k 1 2个非线性的限制 K中剩下k k 1 2个自由参数 还须给出k k 1 2个短期约束条件 例9 2所描述的SVAR模型即为K 型SVAR模型 2 C 型假定C是一个 k k 的可逆矩阵 对于VAR模型 56 9 2 17 如果满足下列条件 则称上述模型为C 型SVAR模型 在这一模型中 ut是相互独立的扰动 而 t是独立正交的扰动项ut的线性组合 与K 型模型所不同的是 在这个模型中 内生变量之间没有同期关系 每个变量对正交扰动项的响应是通过矩阵C模拟的 57 由 可以得到 假定 的形式已知 意味着对C矩阵施加了k k 1 2个非线性的限制性条件 C中剩下k k 1 2个自由参数 如果C矩阵是下三角矩阵 则C矩阵就相当于Cholesky 分解的P矩阵 3 AB 型假定A B是 k k 的可逆矩阵 A矩阵左乘式 9 1 5 形式的VAR模型 则得 58 如果A B满足下列条件 则称上述模型为AB 型SVAR模型 注意到AB 模型是最典型的SVAR模型 可以涵盖K 模型和C 模型 如果AB 模型中的A矩阵为单位矩阵 则AB 模型就转化为C 模型 如果AB 模型中的B矩阵为单位矩阵 则此AB 模型为K 模型 9 2 18 59 由得到如果 的形式已知 则是对矩阵A B的参数施加了k k 1 2个非线性限制条件 剩下2k2 k k 1 2个自由参数 60 在Eviews中如何估计SVAR模型在VAR估计窗口中选择 Procs EstimateStructuralFactorization即可 下面对这一操作进行详细说明 在EViews中SVAR模型采用9 2节所介绍的AB 型 其中et ut是k维向量 et是可观测到的 或简化式的 残差 相当于前文的 t 而ut是不可观测的结构新息 结构式残差 A B是待估计的k k矩阵 简化式残差et的协方差矩阵为 61 结构新息ut被假定是标准化正交的 即其协方差矩阵是单位矩阵 新息ut标准正交的假设对矩阵A B强加了下面这样的约束 为了估计正交的因子分解矩阵A B 需要提供附加的可识别约束 对于短期和长期约束都能被指定为文本形式或矩阵模式 62 1 用矩阵模式表示的短期约束 在许多问题中 对于A B矩阵的可识别约束是简单的排除0约束 在这种情况下 可以通过创建矩阵指定A B的约束 矩阵中想估计的元素定义为缺省值NA 在矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值 例如 假定约束A为主对角元素是1的下三角矩阵 B为一对角矩阵 对于k 3个变量的VAR模型 其矩阵模式可定义为 63 用菜单Objects NewObjects 可以创建两个新的3 3的矩阵A B 然后用表格视图 speadsheetview 来编辑这些值 一旦创建了矩阵 从VAR对象窗口的菜单中选择Procs EstimateStructuralFactorization 在下图所示的SVAROptions的对话框中 击中Matrix按钮和Short RunPattern按钮 并在相应的编辑框中填入模版矩阵的名字 64 65 2 用文本形式表示的短期约束 对于更一般的约束 可用文本形式指定可识别的约束 在文本形式中 以一系列的方程表示关系 Aet But 并用特殊的记号识别et和ut向量中的每一个元素 A B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素 例如 像上例所假定的一样 对于有3个变量的VAR模型 约束A矩阵为主对角线是1的下三角矩阵 B矩阵是一对角矩阵 在这些约束条件下 Aet But的关系式可以写为下面的形式 66 为了以文本形式指定这些约束 从VAR对象窗口选择Procs EstimateStructureFactorization 并单击Text按钮 在编辑框中 应键入下面的方程 67 特殊的关键符 e1 e2 e3 分别代表et向量中的第一 第二 第三个元素 而 u1 u2 u3 分别代表ut向量中的第一 第二 第三个元素 在这个例子中 A B矩阵中的未知元素以系数向量c中的元素来代替 并且对A B矩阵的约束不必是下三角形式 可以依据具体的经济理论来建立约束 68 3 长期约束 体现在关系式Aet But中的可识别约束 通常指短期约束 Blanchard和Quah 1989 提出了另外一种可识别的方法 是基于脉冲响应长期性质的约束 由式 9 4 17 可推出结构新息的长期响应 长期可识别约束依矩阵 的形式指定 典型的是0约束形式 ij 0的约束表示第i个变量对第j个结构冲击的长期响应为0 69 用矩阵形式表示的长期约束 通过矩阵模式设定长期约束 需建立一个已命名的包括长期响应矩阵 的模板 在 矩阵中非约束的元素应定义为缺省值NA 例如 对于一个两变量的VAR模型 若约束第二个内生变量对第一个结构冲击的长期响应为0 即 21 0 则长期响应矩阵可定义为下面的形式 70 一旦建立了模板矩阵 在VAR对象窗口的菜单中选择Procs EstimateStructuralFactorization 在SVAROption对话框中 选择Matrix和Long runPattern按钮 并在相应的的编辑框中键入模版矩阵的名字 71 lr2 u1 0 zeroLRresponseof2ndvariableto1stshock在撇号后面的内容是注释 这个约束以特殊的关键字 1r 开始 数字代表受约束的响应变量 在圆括号内 必须指定脉冲关键字 u和扰动项序号 在其后紧跟等号和响应值 通常是0 需注意 当需列出多个长期约束时 不要混淆短期与长期约束 72 4 A B矩阵的估计 一旦提供了上述所描述的任何一种形式的可识别约束 单击SVAROptions对话框的OK按钮 就可以估计A B矩阵 为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项 必须先估计这两个矩阵 假定扰动项是多元正态的 EViews使用极大似然估计法估计A B矩阵 使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值 对数似然值通过得分方法最大化 在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算 73 最优化控制 OptimizationControl 最优化过程控制的选项在SVAROptions对话框的OptimizationControl栏下提供 可以指定初始值 迭代的最大数和收敛标准 估计的输出一旦估计收敛 EViews会在VAR对象窗口中显示估计的结果 包括 估计值 标准误差和被估计无约束参数的Z统计量及对数似然的最大值 基于被估计的信息矩阵的逆 Hessian的负的期望值 所估计的标准误差在最后的估计中计算 74 75 例9 2基于SVAR模型的货币政策效应的实证分析例9 1使用了VAR模型验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响 但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系 而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中 因此可以通过本节介绍的SVAR模型来识别 这就涉及对模型施加约束的问题 首先建立3变量的SVAR 3 模型 其结果如下 9 2 13 76 其中变量和参数矩阵为 77 其中u1t u2t和u3t分别表示作用在实际利率RR ln M1 和ln GDP 上的结构式冲击 即结构式扰动项 ut VWN 0k Ik 如果B0是可逆的 可将结构式方程转化为简化式方程 其中 一般而言 简化式扰动项 t是结构式扰动项ut的线性组合 因此代表一种复合冲击 78 模型中有3个内生变量 因此需要施加k k 1 2 3个约束才能使得模型 9 2 13 满足可识别条件 实际利率对当期货币供给量的变化没有反应 即b12 0 2 实际利率对当期GDP的变化没有反应 即b13 0 3 实际GDP对实际利率的当期变化没有反应 即b31 0 其在Eviews中的实现过程如下 79 80 在模型 9 2 13 满足可识别条件的情况下 我们可以使用完全信息极大似然方法 FIML 估计得到SVAR模型的所有未知参数 从而可得矩阵B0及 t和ut的线性组合的估计结果如下 81 或者可以表示为 1t u1t 2t 2 14 1t 161 08 3t u2t 3t 172 0 2t u3t在本章后面的部分可以通过SVAR模型利用脉冲响应函数讨论实际利率和货币供给量的变动对产出的影响 82 无论建立什么模型 都要对其进行识别和检验 以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义 本节简单介绍关于VAR模型的各种检验 这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型 VEC 也适用 9 3 1Granger因果检验VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系 本节讨论由Granger 1969 提出 Sims 1972 推广的如何检验变量之间因果关系的方法 9 3VAR模型的检验 83 1 Granger因果关系的定义Granger解决了x是否引起y的问题 主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释 加入x的滞后值是否使解释程度提高 如果x在y的预测中有帮助 或者x与y的相关系数在统计上显著时 就可以说 y是由xGranger引起的 考虑对yt进行s期预测的均方误差 MSE 9 3 1 84 这样可以更正式地用如下的数学语言来描述Granger因果的定义 如果关于所有的s 0 基于 yt yt 1 预测yt s得到的均方误差 与基于 yt yt 1 和 xt xt 1 两者得到的yt s的均方误差相同 则y不是由xGranger引起的 对于线性函数 若有 可以得出结论 x不能Granger引起y 等价的 如果 9 3 2 式成立 则称x对于y是外生的 这个意思相同的第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息 9 3 2 85 可以将上述结果推广到k个变量的VAR p 模型中去 考虑对模型 9 1 5 利用从 t 1 至 t p 期的所有信息 得到yt的最优预测如下 9 3 3 VAR p 模型中Granger因果关系如同两变量的情形 可以判断是否存在过去的影响 作为两变量情形的推广 对多个变量的组合给出如下的系数约束条件 在多变量VAR p 模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是 86 9 3 4 其中是的第i行第j列的元素 2 Granger因果关系检验Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中 一个变量如果受到其他变量的滞后影响 则称它们具有Granger因果关系 87 在一个二元p阶的VAR模型中 9 3 5 当且仅当系数矩阵中的系数全部为0时 变量x不能Granger引起y 等价于变量x外生于变量y 88 这时 判断Granger原因的直接方法是利用F 检验来检验下述联合检验 至少存在一个q使得 如果S1大于F的临界值 则拒绝原假设 否则接受原假设 x不能Granger引起y 89 其中 RSS1是式 9 3 5 中y方程的残差平方和 9 3 7 RSS0是不含x的滞后变量 即如下方程的残差平方和 9 3 8 则有 9 3 9 90 在满足高斯分布的假定下 检验统计量式 9 3 6 具有精确的F分布 如果回归模型形式是如式 9 3 5 的VAR模型 一个渐近等价检验可由下式给出 9 3 10 注意 S2服从自由度为p的 2分布 如果S2大于 2的临界值 则拒绝原假设 否则接受原假设 x不能Granger引起y 而且Granger因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度p的选择有关 并对处理序列非平稳性的方法选择结果极其敏感 91 在Eviews软件关于VAR模型的各种检验一旦完成VAR模型的估计 EViews会提供关于被估计的VAR模型的各种视图 将主要介绍View LagStructure和View ResidualTests菜单下提供的检验 92 1 VAR模型滞后结构的检验 1 AR根的图表如果被估计的VAR模型所有根模的倒数小于1 即位于单位圆内 则其是稳定的 如果模型不稳定 某些结果将不是有效的 如脉冲响应函数的标准误差 共有kp个根 其中k是内生变量的个数 p是最大滞后阶数 如果估计一个有r个协整关系的VEC模型 则应有k r个根等于1 对于例9 1 可以得到如下的结果 93 有2个单位根的模大于1 因此例9 1的模型不满足稳定性条件 而且在输出结果的下方会给出警告 warning 94 下面给出单位根的图形表示的结果 95 2 Granger因果检验选择View LagStructure PairwiseGrangerCausalityTests 即可进行Granger因果检验 输出结果对于VAR模型中的每一个方程 将输出每一个其他内生变量的滞后项 不包括它本身的滞后项 联合显著的 2 Wald 统计量 在表的最后一行 ALL 列出了检验所有滞后内生变量联合显著的 2统计量数值 对例9 1进行检验 其结果如下 96 97 另外 同时在组 Group 的View菜单里也可以实现Granger因果检验 但是需要先确定滞后阶数 具体统计量的构造可依据9 3节的介绍 将例9 1的3个时间序列构造成组 在组中进行检验可得如下结果 98 为了使两个结果具有可比性 选择了相同的滞后阶数 两个输出结果的形式和统计量都不一样 在VAR中用的是 2统计量 而在Group中使用的是F统计量 但是含义是一样的 需要注意 如果估计一个VEC模型 Granger因果检验仅检验其一阶差分 不检验误差修正项 99 例9 3Granger因果检验早期研究发现 在产出和货币的单方程中 货币对于产出具有显著Granger影响 Granger 1969 这同Friedman等人 1963 实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关 的结论相符 但是 Sims 1980 对于 货币冲击能够产生实际效果 的观点提出了质疑 他通过使用结构变量之间的因果关系检验 得到的主要结论是 如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量 那么货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低 因此 动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力 这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近 100 根据实际情况 利用例9 1的数据 基于VAR 3 模型检验实际利率RR 实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系 其结果如表9 2所示 101 从表9 2的结果可以看到实际利率不能Granger引起实际M1 实际GDP 其P值分别达到0 4099和0 5524 可以作为外生变量 这与我国实行固定利率制度是相吻合的 即利率不是通过市场来调节的 同时在第三个方程 即GDP方程 中 实际M1外生于实际GDP的概率为0 4428 这可能是因为我国内需不足 大部分商品处于供大于求 因此当对货币的需求扩张时 会由于价格调整而抵消 并不会形成对货币供给的数量调整 因此对产出得影响比较微弱 另外 在样本区间内 货币政策发生了方向性的改变 导致其影响作用出现了抵消和中和 因此M1对GDP没有显著的影响 102 VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定 在选择滞后阶数p时 一方面想使滞后数足够大 以便能完整反映所构造模型的动态特征 但是另一方面 滞后数越大 需要估计的参数也就越多 模型的自由度就减少 所以通常进行选择时 需要综合考虑 既要有足够数目的滞后项 又要有足够数目的自由度 事实上 这是VAR模型的一个缺陷 在实际中常常会发现 将不得不限制滞后项的数目 使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目 9 3 2滞后阶数p的确定 103 1 确定滞后阶数的LR 似然比 检验 9 3 11 LR LikelihoodRatio 检验方法 从最大的滞后数开始 检验原假设 在滞后数为j时 系数矩阵Aj的元素均为0 备择假设为 系数矩阵Aj中至少有一个元素显著不为0 2 Wald 统计量如下 其中m是可选择的其中一个方程中的参数个数 m d kj d是外生变量的个数 k是内生变量个数 和分别表示滞后阶数为 j 1 和j的VAR模型的残差协方差矩阵的估计 104 从最大滞后数开始 比较LR统计量和5 水平下的临界值 如果LR 时 拒绝原假设 表示统计量显著 此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值 否则 接收原假设 每次减少一个滞后数 直到拒绝原假设 2 AIC信息准则和SC准则实际研究中 大家比较常用的方法还有AIC信息准则和SC信息准则 其计算方法可由下式给出 105 其中在VAR模型 9 1 1 中n k d pk 是被估计的参数的总数 k是内生变量个数 T是样本长度 d是外生变量的个数 p是滞后阶数 l是由下式确定的 9 3 12 9 3 13 9 3 14 106 在Eviews软件中滞后阶数p的确定一旦完成VAR模型的估计 在窗口中选择View LagStructure LagLengthCriteria 需要指定较大的之后阶数 表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准 如果在VAR模型中没有外生变量 滞后从1开始 否则从0开始 表中用 表示从每一列标准中选的滞后数 在4 7列中 是在标准值最小的情况下所选的滞后数 为了确定例9 1中模型的合适滞后长度p 首先选择尽可能大的滞后阶数8 得到如下的结果 107 108 在Eviews软件中关于残差的各种检验 1 相关图 Correlogram 显示VAR模型在指定的滞后数的条件下得到的残差的交叉相关图 样本自相关 交叉相关图能以3种形式显示 有两种表格形式 一种是以变量来显示 TabulatebyVariable 另一种是以滞后阶数来显示 TabulatebyLag 曲线图 Graph 显示交叉相关图的矩阵形式 点线代表滞后的相关系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图 109 2 混合的自相关检验计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Box Pierce Ljung BoxQ统计量 同时计算出Q统计量和调整后的Q统计量 即 小样本修正 在原假设是滞后h期残差不存在序列相关的条件下 两个统计量都近似的服从自由度为k2 h p 的 2统计量 其中p为VAR模型的滞后阶数 110 3 自相关LM检验计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量 滞后h阶数的检验统计量是通过残差 t关于原始右侧回归量和滞后残差 t h的辅助回归运算得到的 这里 t h缺少的前h个值被赋予0 参考Johansen 1995 LM统计量的计算公式 在原假设是滞后h期没有序列相关的条件下 LM统计量渐近地服从自由度为k2的 2分布 111 4 正态性检验这是J B残差正态检验在多变量情形下的扩展 这种检验主要是比较残差的第三 第四阶残差矩与来自正态分布的那些矩 5 White异方差检验这个回归检验是通过残差序列对每一个回归量及回归量交叉项乘积的回归来实现的 并检验回归的显著性 112 在实际应用中 由于VAR模型是一种非理论性的模型 因此在分析VAR模型时 往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何 而是分析当一个误差项发生变化 或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响 这种分析方法称为脉冲响应函数方法 impulseresponsefunction IRF 9 4脉冲响应函数 113 用时间序列模型来分析影响关系的一种思路 是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的 下面先根据两变量的VAR 2 模型来说明脉冲响应函数的基本思想 9 4 1脉冲响应函数的基本思想 9 4 1 其中 ai bi ci di是参数 是扰动项 假定是具有下面这样性质的白噪声向量 114 9 4 2 假定上述系统从 期开始活动 且设x 1 x 2 z 1 z 2 0 又设于第 期给定了扰动项 10 1 20 0 并且其后均为 即 1t 2t 0 t 称此为第 期给x以脉冲 下面讨论xt与zt的响应 t 0时 115 将其结果代入式 9 4 1 当t 1时 再把此结果代入式 9 4 1 当t 2时 继续这样计算下去 设求得结果为称为由x的脉冲引起的x的响应函数 同样所求得 116 称为由x的脉冲引起的z的响应函数 当然 第 期的脉冲反过来 从 10 0 20 1出发 可以求出由z的脉冲引起的x的响应函数和z的响应函数 因为以上这样的脉冲响应函数明显地捕捉对冲击的效果 所以同用于计量经济模型的冲击乘数分析是类似的 117 将上述讨论推广到多变量的VAR p 模型上去 由式 9 1 5 可得 9 4 2VAR模型的脉冲响应函数 9 4 3 VMA 表达式的系数可按下面的方式给出 由于VAR的系数矩阵A和VMA的系数矩阵C必须满足下面关系 118 9 4 4 9 4 5 其中 1 2 0 关于 q的条件递归定义了MA系数 9 4 6 119 考虑VMA 的表达式yt的第i个变量yit可以写成 其中k是变量个数 9 4 7 9 4 8 120 仅考虑两个变量的情形 q 1 2 3 i j 1 2现在假定在基期给y1一个单位的脉冲 即 9 4 9 121 则由y1的脉冲引起的y2的响应函数为 122 因此 一般地 由yj的脉冲引起的yi的响应函数可以求出如下 且由yj的脉冲引起的yi的累积 accumulate 响应函数可表示为 123 Cq的第i行 第j列元素还可以表示为 9 4 10 作为q的函数 它描述了在时期t 其他变量和早期变量不变的情况下yi t q对yjt的一个冲击的反应 对应于经济学中的乘数效应 我们把它称作脉冲 响应函数 也可以用矩阵的形式表示为 9 4 11 124 即Cq的第i行第j列元素等于时期t第j个变量的扰动项增加一个单位 而其他时期的扰动为常数时 对时期t q的第i个变量值的影响 但是对于上述脉冲响应函数的结果的解释却存在一个问题 前面我们假设协方差矩阵 是非对角矩阵 这意味着扰动项向量 t中的其他元素随着第j个元素 jt的变化而变化 这与计算脉冲响应函数时假定 jt变化 而 t中其他元素不变化相矛盾 这就需要利用一个正交化的脉冲响应函数来解决这个问题 125 脉冲响应函数在Eviews软件中的实现为了得到脉冲响应函数 先建立一个VAR模型 然后在VAR工具栏中选择View ImpulseResponse 或者在工具栏选择Impulse 并得到下面的对话框 有两个菜单 Display和ImpulseDefinition 126 1 Display菜单提供下列选项 1 显示形式 DisplayFormat 选择以图或表来显示结果 如果选择CombinedGraphs则ResponseStandardError选项是灰色 不显示标准误差 而且应注意 输出表的格式是按响应变量的顺序显示 而不是按脉冲变量的顺序 2 显示信息 DisplayInformation 输入产生冲击的变量 Impulses 和希望观察其脉冲响应的变量 Responses 可以输入内生变量的名称 也可以输入变量的对应的序数 例如 如果VAR模型以GDP M1 CPI的形式定义 则既可以以 127 GDPCPIM1的形式输入 也可以以132的形式输入 输入变量的顺序仅仅影响结果的显示 还应定义一个确定响应函数轨迹的期间的正整数 如果想显示累计的响应 则需要单击AccumulateResponse选项 对于稳定的VAR模型 脉冲响应函数应趋向于0 且累计响应应趋向于某些非0常数 128 3 脉冲响应标准差 ResponseStandardError 提供计算脉冲响应标准误差的选项 解析的或MonteCarlo标准误差对一些Impulse选项和误差修正模型 VEC 一般不一定有效 若选择了MonteCarlo 还需在下面的编辑框确定合适的迭代次数 如果选择表的格式 被估计的标准误差将在响应函数值下面的括号内显示 如果选择以多图来显示结果 曲线图将包括关于脉冲相应的正负 两个标准偏离带 在CombinedGraphs中将不显示标准误差偏离带 129 2 ImpulseDefinition菜单提供了转换脉冲的选项 1 Residual OneUnit设置脉冲为残差的一个单位的冲击 这个选项忽略了VAR模型残差的单位度量和相关性 所以不需要转换矩阵的选择 这个选项所产生的响应函数是VAR模型相对应VMA 模型的系数 2 Residual OneStd Dev设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击 这个选项忽略了VAR模型残差的相关性 130 3 Cholesky用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲 这个选项为VAR模型的变量强加一个次序 并将所有影响变量的公共因素归结到在VAR模型中第一次出现的变量上 注意 如果改变变量的次序 将会明显地改变响应结果 可以在CholeskyOrdering的编辑框中重新定义VAR模型中变量的次序 131 5 结构分解 StructuralDecomposition 用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵 如果没有先估计一个结构因子分解矩阵 或者没有对模型施加约束 这个选项不能用 4 广义脉冲 GneralizedImpluses 描述Pesaran和Shin 1998 构建的不依赖于VAR模型中变量次序的正交的残差矩阵 应用按上面的Cholesky顺序计算的第j个变量的Cholesky因子得到第j个变量的扰动项的广义脉冲响应 132 6 用户指定 UserSpecified 这个选项允许用户定义脉冲 建立一个包含脉冲的矩阵 或向量 并在编辑框中输入矩阵的名字 如果VAR模型中有k个内生变量 则脉冲矩阵必须是k行和1列或k列的矩阵 每一列代表一个脉冲向量 例如 一个有k 3 个变量的VAR模型 希望同步对第一个变量有一个正的一个单位的冲击 给第二个变量一个负的一个单位的冲击 可以建立一个3 1的脉冲矩阵SHOCK 其值分别为 1 1 0 在编辑框中键入矩阵的名字 SHOCK 133 本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的需求变量 利用脉冲响应函数分析各下游行业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响 分别用y1表示钢材销售收入 y2表示建材销售收入y3表示汽车销售收入 y4表示机械销售收入 y5表示家电销售收入 样本区间为1999年1月 2002年12月 所采用数据均作了季节调整 并进行了协整检验 存在协整关系 这表