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1 1证明矩阵的本征值之和等于矩阵迹 本征值之积等于矩阵行列式 考虑A的特征多项式其展开式中 主对角元素的乘积项为展开式中的其余各项 至多包含n 2个主对角线上的元素 因此关于的次数最多为n 2 所以特征多项式中含和的项只能出现在主对元素的连乘积项中 它们是而在特征多项式中 只需令即得常数项为 因此 A的特征多项式必定形如现设A的n个特征值为 根据n次多项式根与系数的关系 得其中 为矩阵特征值之和 为矩阵特征值之积 为矩阵A的主对角元素之和 即矩阵A的迹 为矩阵A的行列式 得证 1 此矩阵A的特征方程为可求得全部特征值为2 2i 2i将特征值2带入方程组得基础解系将特征值2i带入方程组得基础解系同理 将特征值 2i带入方程组 得基础解系 1 2通过相似变换把下列矩阵对角化 故可逆矩阵P为可求得 2 此矩阵A的特征方程为可解得特征值为 将特征值带入方程得基础解系同理 将特征值代入方程 得基础解系故可逆矩阵P为可得 找相似变换矩阵M使 1 3 解 为了便于表述 可设则题目可表示为 等式两端同乘以矩阵M得到 由于 则有 此时可设 于是 将M带入上式得到 进行矩阵乘法运算得到 根据矩阵的性质 对应元素相等 于是得到 解上述方程即可得到 于是得到相似变换矩阵M为 3 20 2020 1 4 求相似变换矩阵M使 观察第一个等式 我们发现经过相似变换后 矩阵变成了对角矩阵 得到矩阵的特征值为1 0 1 同理得到 当特征值为0时 当特征值为 1时 综上 为了避免计算M 1 我们把剩余的两个等式左右两边分别左乘M 将矩阵M分别带入两式确定a b c的具体值 代入第二个等式得 最后得到 经过检验 这个结论也满足第三式 1 5设 找相似变换的矩阵X使 解 由题意知根据矩阵直乘定义得 令 因为A已经是对角矩阵 则很容易看出A的特征值以及对应的特征向量时对应的特征向量 时对应的特征向量 则X的矩阵形式可取为 10 令 2 式的两侧同时左乘X 则 展开可知 由矩阵相等可知 a bc d 0和 由相似变换的不完全确定性可得 则 3 20 2020 1 6找使下面三矩阵同时对角化的公共相似变换矩阵 以第一个矩阵为例 由 可得 三重根 同理 对第二个矩阵经计算也有同样结果 所以对前两个矩阵都有两个三重特征值 把特征值带回得到齐次方程求出特征根的关系 以第一个矩阵为例有 得到矩阵1的特征根的关系 同理 可求得矩阵2特征根关系 3 20 2020 第 个矩阵由于用前面的方法比较难求 但将矩阵带入特征方程后 发现其构成很有规律 至此我们求出了三个矩阵特征向量的关系 下面可以通过排列来找到一个共同变换矩阵 我们可以看出矩阵3对于特征值为3 3的特征向量也是矩阵1 2的特征向量 所以我们按照其形式写出两个向量作为公共矩阵的前两项 剩下的四个向量要同时满足矩阵1 2以及矩阵3对于特征值为0的特征向量的形式 经过适当的取值就可以找到这四个向量 归一化之后便是所求的公共相似变换矩阵 3 20 2020 经上面的变换和把三个矩阵对角化为diag 1 1 1 1 1 1 diag 1 1 1 1 1 1 diag 3 3 0 0 0 0 1 7写出m行m列既幺正又厄米矩阵的一般形式幺正矩阵和厄米矩阵都可以通过幺正的相似变换对角化 对角化后 幺正矩阵的对角元的模为1 而厄米矩阵的对角元为实数 因此 既幺正又厄米的矩阵经过幺正的相似变换对角化后 对角元只能取 适当排列后记作 它是对角阵 前n个对角元为1 后m n个对角元为 1 因此 既幺正又厄米的矩阵一般可表示为 其中U矩阵是行列式为1的幺正矩阵 3 20 2020 1 8若detX 0 证 证明 首先证明是厄米矩阵 因为 其转置共轭等于本身 显然是厄米矩阵 同理 当把X 看成新的X时 就得到XX 也是正定的矩阵 1 若X X E 则XX EX X E 则 X X 1 则 X 0 所以X 是非奇矩阵 存在逆矩阵 设为S SX EXX SX XX S X X X SX E即得出XX E 原命题得证 1 9 证明 1 若X X 1 则XX 1 2 若X 1X 1 则XX 1 1 3 若XTX 1 则XXT 1 2 若X 1X E 则XX 1 EX 1X E 则 X 1 X 1 则 X 1 0 所以X 1是非奇矩阵 存在逆矩阵 设为S SX 1 EXX 1 SX 1XX 1 S X 1X X 1 SX 1 E即得出XX 1 E 原命题得证 3 若XTX E 则XXT EXTX E 则 XT X 1 则 XT 0 所以XT是非奇矩阵 存在逆矩阵 设为S SXT EXXT SXTXXT S XTX XT SXT E即得出XXT E 原命题得证 根据幺正矩正性质 取2x2幺正矩阵U 其行列式的模 detU 1 则可设 1 10试讨论2 2幺正矩阵和实正交矩阵各含有多少个独立实参数 并写出它们的一般表达式 由此得 因此 2x2幺正矩阵的一般形式为 其中 其中受限制的复参数a和b包含三个实参数 加上 共有四个独立实参数 实正交矩阵也是幺正矩阵 行列式可等于1或 1 当行列式为1时 a和b取实数 满足a2 b2 1 常取a cos b sin 当行列式为 1时 把第一行矩阵元素改号 所以2 2实正交矩阵的一般形式为 可见2 2实正交矩阵只包含一个独立实参数 2 1设E是群G的恒元 R和S是群G中的任意元素 R 1和S 1分别是R和S的逆元 试由群的定义证明 1 RR 1 E 2 RE R 3 若TR R 则T E 4 若TR E 则T R 1 5 RS 的逆元为S 1R 1 1 由于R 1是群中一元素 在群中存在它的逆元 记作S SR 1 E 因此 由群的定义得RR 1 ERR 1 SR 1 RR 1 S R 1R R 1 SER 1 SR 1 E 2 RE R R 1R RR 1 R ER R 3 群中恒元的唯一性 若TR R 则T T RR 1 TR R 1 RR 1 E 4 群中任何元素的逆元是唯一的 若TR也等于恒元E 则T T RR 1 TR R 1 ER 1 R 1 5 S 1R 1 RS S 1 R 1R S S 1ES S 1S E由逆元的唯一性知S 1R 1是RS的逆元 设H1 H2是G的子群 H3 R1 R2 是H1和H2公共元素组成的集合 即为它们的交 1 结合律 既然H3是H1和H2的交集 那么H3必然也是G的子集 H3中元素必然也属于G 元素的乘积仍服从G中元素乘积规则 因而H3中元素的乘积满足结合律 2 3设H1和H2是群G的两个子群 证明H1和H2的公共元素的集合也构成群G的子群 2 封闭性 对于H3中的元素Ri Rj H3是H1和H2的交集 Ri H1Rj H1Ri H2Rj H2 H1 H2是G的子群满足封闭性 H1 H2包含Ri Rj的乘积即RiRj H1RiRj H2 RiRj H3H3包含Ri Rj的乘积 封闭性即可得到证明 3 恒元 H1 H2是子群 所以必包含恒元E恒元E是H1 H2的公共元素E H3 4 逆元 任取H3中的某元素Ri则Ri H1且Ri H2Ri 1 H1且Ri 1 H2Ri 1 H3四个性质都符合即可证明H3也是群G的子群 1 当群G的阶数为5 7时已知子群H的阶数是群G阶数g的约数 所以当群的阶数为素数时 除恒元外 元素的阶数只能等于群G阶数g 2 当群G的阶数为6时假设除恒元外元素的阶数都是2 任取其中两个元素R和S 设RS T 由于恒元和逆元的唯一性 T不等于恒元E 也不等于R或S 则E R S和T可以构成4阶的子群 这与子群的阶数必须是原群阶数的约数相矛盾 故假设不成立 既除恒元外 不可能所有元素的阶数都是2 2 4证明当群G的阶数为5 6 或7时 除恒元外 不可能所有元素的阶数都是2 2 已知R2 S2 T2 ERS TR RS R T 即R2S E S S RTRS S T S 即RS2 R E R TS则SR RT TS R T2 S RS同理 对于群G中其它任意元素的乘积也可以对易即证 除恒元外 每个元素都为2的群一定是阿贝尔群 2 5证明除了恒元外 每个元素的阶都是2的群一定是阿贝尔群 1 对于恒元 ER RR 1 R R R 1R RE 3 20 2020 2 6设群G阶数g 2n n是大于2的素数 准确到同构 证明群G只有两种 循环群C2n和正n边形对称群Dn 证明 2n n 2素数 阶群中 除恒元外 元素的阶数只能是2 n 2n 如果2n阶群中有元素的阶数为2n 则该群为循环群C2n 如果有元素的阶数为n 记做R 它的周期构成的循环子群是指数为2的不变子群 陪集记为 S0 S1 S2 Sn 1 满足RmSj Sj m 其中Sj n Sj 由重排定理 不能等于Sk 若它等于 则Sj是2n阶元素 与假设矛盾 所以 E Sj都是2阶元素 这就是Dn群 如果2n阶群中除恒元外元素的阶数均为2 任取其中两个元素R和S 设RS T 由于恒元和逆元的唯一性 T不能等于E 也不能等于S或者R E R S T 组成的子集构成子群 它的阶数不是2n的约数 矛盾 该群不存在 3 20 2020 2 7量子力学中常用的泡利矩阵 a定义如下 其中 abd中是三阶完全反对称张量 证明由 1和 2的所有可能乘积和幂次的集合构成群 列出此群的乘法表 指出此群的阶数 群所包含的类和不变子群 不变子群的商群与什么群同构 建立同构关系 证明此群和正方形固有对称群D4同构 解 1 根据泡利矩阵的乘积规则 由 1和 2的乘积产生的矩阵共有8个 乘法表如下 此8个元素的集合对元素的乘积是封闭的1 矩阵的乘积满足结合律2 E 1是此集合的恒元3 除 i 3互为逆元 其他元素自逆 因此 此集合构成群 命题得证 3 20 2020 2 阶数 此群阶数 8 恒元E阶数 1 1 1和 2阶数 2 i 3的阶数 4 3 共五类 1 1 1 2 i 3 4 不变子群 商群 群同构 5 证明群和正方形固有对称群D4同构 两群对应元素的阶数相同 类的结构相同 不变子群及其商群对应相同 元素的乘积按此规则一一对应 两群同构 后三个不变子群的群商都是二阶群 与群同构 第一个不变子群的配集是互差负号的两个矩阵 作为复元素 它们的平方都是不变子群 因此商群同构于四阶反演群 2 8 证明由i和i的所以可能乘积和幂次的集合构成群 列出此群的乘法表 指出此群的阶数 各元素的阶数 群包含的各类和不变子群 和不变子群的商群分别与什么群同构 说明此群与D4群不同构 证明 由i和i乘积产生的矩阵共有8个 乘法表如下 由乘法表知 此8个元素的集合对元素的乘积是封闭的 矩阵的乘积满足结合律 E 1是此集合的恒元 1是自逆元素 i a 1 a 3 互为逆元 因此 此集合构成群 阶数为8 恒元1的阶数为1 1的阶数为2 i a的阶数都为4 1和 1各自成一类 i 1 i 2 i 3分别成一类 共5个类 不变子群有 1 1 1 1 i 1 i 1 1 1 i 2 i 2 和 1 1 i 3 i 3 后三个不变子群的商群都是2阶群 与V2群同构 V2群 第一个不变子群的陪集是互差负号的两个矩阵 作为复元素 它们的平方都是不变子群 1 因此商群同构于四阶反演群V4 原因 对于给定的四阶群 如果在群中阶数等于2的元素多于一个 它就与V4同构 由于此群包含六个阶数为4的元素 此群与D4群不同构 原因 D4群中包含5个阶数为2的元素 2个阶数为4的元素和1个恒元 2 9准确到同构 证明八阶群G只有五种 循环群C8 正方形固有群对称D4 四元数群Q8和I型非固有点群C4h C4 V2与D2h D2 V2 一 循环群C8当群中至少有一个元素的阶数为8 则此群为循环群C8 即 R R2 R3 R8 E 二 四元素群Q8若八阶群中没有8阶元素 而至少有一个元素的阶数为4 把这个元素记做R 它的周期构成的循环子群 E R R2 R3 是指数为2的不变子群 陪集记作 S0 S1 S2 S3 满足RmSj Sj m 其中Sj 4 Sj 确定乘积关系 我们已经知道了R之间的乘积关系 也知道了R和S的乘积关系 现在要确定的是S之间的乘积关系 由重排定理 知道Sj2 Sk如果Sj2 R或R3 则Sj是8阶元素 与假设矛盾 所以Sj2 R或R3现在Sj2只能等于R2或者E如果至少有一个Sj2 R2 不失普遍性 设S12 R2 则S1是4阶元素 S1 1 S13 R2S1 S3 得到S32 R2注意 现在分为两种情况 如果S02 R2 同理有S0 1 S03 R2S0 S2 S22 R2S1S0 RS02 R3 S0S1 R3S12 R 满足以上关系为四元数群Q8 四 D4群若所有Sj都是2阶元素 Sj2 E 即Sj Sj 1则由RmSj Sj m可推出Rm Sj mSj和SjRm Sj m 因而此群同构于D4群五 D2h群如果八阶群中没有8阶或4阶元素 即除恒元外所有元素都是2阶元素 为阿贝尔群D2h 见第五题 三 循环群C4h接着上面的讨论 已知S12 S32 R2 如果S02 E 则S22 R2S0R2S0 因为S0为2阶元素 R为4阶元素 所以S0和R不同类 P29 同类元素的阶必相同 所以S0与R对易 所以S22 R4S02 E由上面可知S0 S1 S2 S3 都与R对易而且S0S1 R 1S12 R S1S0 RS02 R满足以上关系的群构成循环群C4h 3 20 2020 2 10准确到同构 证明九阶群G只有两种 循环群C9和直乘群证明 九阶群中除恒元外 元素的阶数只能等于3或9 1 若九阶群中至少有一个元素的阶数为9 则此群比为循环群C9 2 若没有元素的阶为9 则除恒元外的元素都是3阶元素 任取一个3阶元素 记为A 则由A构成的循环子群为 E A 再定义一个右陪集 记做 BCD 为了不失普遍性 可以假设AB C AC D AD B 因为B C D都是3阶元素 他们的平方不能等于E A 和B C D 它们彼此也不能相等 因而可以把群中其它3个元素记做 构成另一个右陪集 又由重排定理 2 11举例说明群G的不变子群的不变子群不一定是群G的不变子群 反之 证明若群G的不变子群完整的属于子群H 则它也是子群H的不变子群 3 20 2020 2 12试证明群G两个类作为复元素的乘积 必由若干个整类构成 即作为乘积的集合 包含集合中每个元素的共轭元素 证明 设R C1和S C2是群G中两个类 形如所有RS的元素集合为H 要证明H由若干整类构成 就是要证明集合H中包含RS的所有共轭元素 即对群G中的任一元素T 要证明TRST 1属于集合H 因为TRT 1 R属于类C1 TST 1 S属于类C2 所以TRST 1 R S 属于集合H 证毕 2 13设有限群G的阶为g C S1 S2 Sn 是群G的一个类 含n 个元素 对类中任意两元素Si和Sj 可以相同 也可以不同 是证明群G中满足共轭关系Si PSjP 1的元素P的个数为m g n 解 在类中C 任取一个元素作为Sj 先设当Si Sj时 即满足的共轭关系就转化为与Sj的对易关系 设此时满足对易关系的元素R的数目m 现在证明由元素R组成的集合H为群G的子群 证明集合H是群G的子群 1 封闭性若R和M都可以与Sj对易 则RM也与Sj对易2 恒元E3 逆元的存在若R与Sj对易 则R 1与其对易结合律在证明封闭性的时候已经运用了 证明子群H的指数为n 设T是群G中任意一个不属于子群H的元素 即Si和Sj不相同的情况 设TSjT Si Si为类中的元素 则子群H的左陪集TH中的任意的元素TR满足TRSjR 1T 1 Si 故由此可得满足题目共轭条件的P必然在子群的左陪集中 这样通过关系就可以对于同一个Sj 通过不同的陪集就得到不同的S 即TRSjR 1T 1 Si且存在一一对应关系 由此证明了子群H的指数为n 故结论成立m g n 3 20 2020 3 1设G是一个非阿贝尔群 D G 是群G的一个不可约真实表示 元素R的表示矩阵为D R 先让群G元素R分别与下列矩阵对应 问此矩阵的集合是否分别构成群G的表示 分别是否可约 1 D R 2 D R T 3 D R 1 4 D R 5 D R 1 6 detD R 7 trD R 例如第一小题 设R D R 问D R 的集合D G 是否构成群G的表示 注意D RS D R D S 1 因为D R D S D RS 所以D R 的集合不是群G的表示 2 因为D R TD S T D RS T 多以D R T的集合不是群G的表示 3 因为D R 1 D S 1 D RS 1 所以D R 1 的集合不是群G的表示 4 因为D R D S D RS 所以D R 的集合是群G的不可约表示 5 因为D R 1 D S 1 D RS 1 所以D R 1 的集合是群G的不可约表示 6 因为detD R detD S detD RS 所以detD R 的集合是群G的不可约表示 7 因为trD R trD S trD RS 所以trD R 的集合不是群G的表示 3 2证明有限群任何一维表示的表示矩阵模为1证明 有限群元素的若干次方 元素的阶 等于恒元 An E恒元在一维表示中对应数1 因此有限群元素在一维表示中的表示矩阵的若干次方等于1 an 1即模为1 3 3证明Abel群 包括无限群 的不可约表示都是一维的设群G是Abel群 R G 矩阵群A R 因为Abel群的元素是对易的 所以对于群G中的任意元素S 都有RS SR相应的表示矩阵D R D S D S D R 也就是表示矩阵中的任一个矩阵D R 与所有元素的表示矩阵都对易 而对于不可约表示 按照舒尔定理 D R 为常数矩阵 常数矩阵的不可约表示只能是一维的 得证 3 4 证明有限群两个等价的不可约幺正表示之间的相似变换矩阵 如果限制其行列式唯一 必为幺正矩阵 证明 设和是有限群的两个等价的不可约幺正表示 他们可以通过幺正的相似变换联系起来 若他们又通过另一个相似变换联系起来 则根据上式得 即 由舒尔定理 c是常数 又由题目可知X矩阵的行列式为1 幺正矩阵M的行列式模为一 X cM 故c 1 则 故X是幺正矩阵 3 5 证明除恒等表示外 有限群任一不可约表示的特征标对群元素求和为零 证明 有限群两个不等价不可约的表示的特征标满足特征标正交定理 即 取表示为恒等表示 则 代入上式可以得 即 当j 1时 也就是说也是恒等表示的时候 求和不为零 当不是恒等表示的时候 由于特征标的正交定理 有限群任一不可约表示的特征标对群元素求和为零 证完 3 6有限群群代数中 右乘群元素产生的表示与正则表示等价 试具体计算D3群群代数中 左乘和右乘群元素产生的这两个表示间的相似变换矩阵 能不能把此方法推广 对一般的有限群 计算这样两表示间的相似变换矩阵 解 正三角形对称群D3的乘法表如下 以左乘和右乘群元素D为例说明 基 E D F A B C 右乘D得到 D F E C A B 基 E D F A B C 左乘D得到 D F E B C A 右乘得到的表示 左乘得到的表示 求X 使得 即满足 得 推广 设此两表示通过相似变换X相联系 把表示矩阵的值代入 得注意 现在X矩阵的行列指标都是群元素 由群元素乘积满足结合律知 在X矩阵中如下矩阵元素必须相等 即它们的行列指标作为群元素相乘 乘积相同 可以让行列指标相乘等于某一确定元素 例如E 的那些X矩阵元素为1 其余矩阵元素为零 就得到所需要的相似变换矩阵X 设在群的乘法表中行和列的排列次序 与X矩阵的行列指标排列相同 把与乘法表中填该确定元素 例如E 的位置相同的那些X矩阵元素取为1 其余为零 对于一个有限群 其正则表示与对应的等价表示间的相似变换矩阵可以由如下方法得到 列出群乘表 构造一个矩阵X 设其行列指标为群元素 其矩阵元等于行列指标的乘积 将该矩阵中等于某一特定群元素的矩阵元取值为1 其余矩阵元取值为0 就得到相似变换矩阵X 证明 设在群G中 类包含n 个元素 这些元素在维不可约表示中的特征