微分方程的基础知识及解析解.docx

微分方程的基础知识与练习（一）微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（x,y）处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程。解 设曲线方程为.由导数的几何意义可知函数满足 （1）同时还满足以下条件：时， （2）把（1）式两端积分，得 即 （3）其中C是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得， 由此解出C并代入（3）式，得到所求曲线方程： （4）（2）列车在水平直线路上以20的速度行驶；当制动时列车获得加速度.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后t秒时行驶了s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数满足： （5）此外，还满足条件：时， （6）(5)式两端积分一次得： （7）再积分一次得 （8）其中都是任意常数。把条件“时”和“时”分别代入（）式和（）式，得把的值代入（7）及（8）式得 （9） （10）在（9）式中令，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：。再把代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。1微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程是四阶微分方程。一般地，阶微分方程的形式是 （11）其中F是个变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，是必须出现的，而等变量则可以不出现。例如阶微分方程中，除外，其他变量都没有出现。由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是时，或写成 其中，都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：时，或写成 ，其中，和都是给定的值。上述条件叫做初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作 （13）二阶微分方程的初值问题是3、 例题例1 验证：函数 （14）是微分方程 （15）的解。解 求出所给函数（14）的导数 把及的表达式代入方程（15）得+函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。用程序来实现： syms k t C1 C2; x=C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t); diff(x,t,2)+k2*xans =k2*(C1*cos(k*t) + C2*sin(k*t) - C1*k2*cos(k*t) - C2*k2*sin(k*t) simple(ans)（二）微分方程的解一、几个会用到的函数：1、solve函数：Matlab中solve函数主要是用来求解线性方程组的解析解或者精确解。solve函数的语法定义主要有以下四种：solve(eq)solve(eq, var)solve(eq1,eq2, , eqn)g = solve(eq1, eq2, , eqn, var1, var2, , varn)eq代表字符串形式的方程，var代表的是变量。例1：解方程程序是：syms a b c x; solve(a*x2+b*x+c) （ 也可写成solve(a*x2+b*x+c=0) ）当没有指定变量的时候，matlab默认求解的是关于x的解，求解的结果为：ans = -(b + (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a) -(b - (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a)d当指定变量为b的时候：solve(a*x2+b*x+c,b)求解的结果为： ans =-(a*x2 + c)/xs = -(a*x2 + c)/x例2：对于方程组的情况S=solve(x+y=1,x-11*y=5);S.xS.y S=S.x,S.y(这里或者写成x=S.x y=S.y) 如果解得是一个方程组，而且采用了形如a,b=solve(a+b=1, 2a-b=4ab) 的格式，那么，在MATLAB R2014a中没问题，可以保证输出的a，b就等于相应的解，但是在R2012b等早先版本中不能保证输出的顺序就是你声明变量时的顺序。所以最好采用g=solve(a+b=1, 2a-b=4ab)这种单输出格式，这样输出的是一个结构体，g.a和g.b就是对应的解。S = 4/3, -1/3一、 微分方程的解析解格式：dsolve(方程1, 方程2,方程n, 初始条件, 自变量) 记号: 在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2y、D3y 等表示求高阶微分.任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省，默认自变量是t例如，微分方程 应表达为：D2y=0.例1：求解微分方程，并加以验证求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x) %line2diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x2) %line3simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x2) %line4说明：(1) 行line1是用命令定义x,y为符号变量这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x2)*x2+exp(-x2)*C1(3) 行line3使用所求得的解这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x3*exp(-x2)-2*x*exp(-x2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x2)*x2+exp(-x2)*C1)(4) 行line4 用 simplify() （simple()）函数对上式进行化简，结果为 0， 表明的确是微分方程的解例2：先求微分方程的通解，再求在初始条件下的特解，并画出特解函数的图形求解本问题的 Matlab 程序为：syms x yy=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0, x)结果y =(exp(x)+C1)/x求特解两个方法1.y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1), x)结果y = (exp(x)+exp(1)/x2. C1= solve(2*exp(1)=exp(1)+C1,C1)结果C1 =exp(1)y =(exp(x)+exp(-x2)结果(exp(x)+exp(1)/xezplot(y) 例3：求微分方程组在初始条件下的特解，并画出解函数的图形求解本问题的 Matlab 程序为：syms x y ta=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0,x(0)=1,y(0)=0,t); x=a.xy=a.ysimple(x);simple(y);ezplot(x,y,0,1.3);axis auto %坐标刻度选默认值例4 先求微分方