Mathematica数学软件系统使用入门.docVIP

Ch1. 概述1.1的工作环境的基本系统是用C语言编写的，因此能够方便的移植到各种计算机系统上。打开，可以看到它是一个窗口软件，包括一个执行各种功能的工作条（屏幕顶端）和一个工作区窗口。激活工作区窗口，输入希望的计算式（如：“3+8-4”），同时按下“Shift”和“Enter”键便可执行计算。使用的几个注意点：1. 每次使用，第一次计算时间较长，这是系统在进行初始化工作，从第二次计算开始就很快了。2. 输入计算公式和普通文本输入一样，系统将把每次输入记录在案，并自动给每个输入记录用“Inn”编号，计算结果用“Outn”编号。“%”表示上一次计算结果，“%n”表示“Outn”的内容，这样可以减少重复输入。3. 输完计算式后，同时按下“Shift”和“Enter”键，将完成计算。4. 必须严格按照系统所规定的格式输入算式，否则将无法完成计算任务，通常给出一段文字，告诉你出错的（可能）原因。1.2的基本功能1. 基本计算功能,如：In1:= 3+8-4 Out1= 7In2:= 12.53 (*即12.53*)Out2= 1953.132.强大的符号计算功能的最大特点是能进行符号计算。如:(1) 解方程 In3:= SolveSqrtx+a=2x,xOut3= 注意，方程的解用“”代替了“=”。(2) 求不定积分In4:= Integrate(Ex)Sinx,xOut4= 注意，不定积分的任意常数C均省略。 3.绘图功能 有强大的图形功能，可作各种二维、三维图形。如：(1) 作函数的二维图形In5:= PlotSinx+Sin1.6x,x,0,40 Out5= (2) 作函数的三维图形In6:= Plot3DSinx*y,x,0,4,y,0,4,PlotPoints-30 Out6= 1.3从中获得帮助信息1. 点击工作条中的Help可获得帮助信息。特别是下拉菜单“Help Browser”中的“Mathematica Book”系统而完整地介绍了本软件的使用方法。2. 用“？”可获得帮助信息（常用信息）。如：In7:= ?Sin 3. 用“?”可获得帮助信息（详细信息）。如：In8:= ?Sin 花括号内的多项内容可到“Help Browser”中查询，只要在“Go To”右面的对话框中输入想查询信息的名称后打回车键即可找到相应的信息了。Ch2. 的基本命令2.1算术运算1.算术运算用运算与用计算器一样简单。如：In1:= 3.55+12.879/(4.33-1.203)2.3Out1= 4.4856在中，基本运算符号如下表：算术运算法则运算符号举例优先级加+2+33减-5-23乘*或空格a*b或a b2除/15/42乘方241开平方SqrtSqrt312.精确值与近似值有强大的计算功能，总可以得到精确值。如：In2:= (30000*12345)9Out2=1310723665724312245850482517300821679687500000000000000/ 0000000000000000000000如果想得到近似值，可在输入结尾加上“/N”。如：In3:= (30000*12345)9/NOut3=用“N ”也有相同效果。如：In4:= NPi,50 (*表示的近似值，取50位有效数字*)Out4= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751输入整数时，认为是精确值；输入小数时，认为是近似值。如：In5:= (30000*12345)9.0Out5=In6:= 3/8+2/67Out6= 2.2 常用函数与常数1.常用函数有：函数名功能AbsxExpxLogxLogb,xSinxCosxTanxCotxArcSinxArcCosxArcTanxArcCotxarcSinhxCoshxTanhxArcSinhxarArcCoshxarArcTanhxarN!Randomx0到1之间的随机数Maxx,y,Minx,y,Roundx取整2.常数 Pi(圆周率) E(自然对数的底e) I(虚数单位i) Infinity(+) -Infinity(-) Degree(/180)角度注意，1.中内部函数和常数须用大写字母开头; 2.函数的自变量应放在方括号内。例如；In7:= SinPi/3 Out7= (*这是符号解，即的精确解*)In8:= N%,6 (*上述的近似值，取6位有效数字*)Out8= 3.复数 “I”表示虚数单位i，如：In9:= Log-737.3Out9= 有关复数的函数函数名功能Rez取的实部Imz取的虚部Conjugatez的共轭复数Absz的模Argzz的辐角2.3的代数运算1.赋值与消除赋值有时某些变量（或函数）在计算中重复出现，为避免重复输入，可以先给它们赋值。如果要对变量赋值可用以下方法：(1)在变量计算前先赋值。如：In1:= x=3； (*分号表示不立即输出*)这时变量x就已赋值为3，以后遇到x时，就认为是3了。In2:= x+xOut2= 6 (2)在变量计算后赋值。如：In3:= y+2y/.y-3 (*这时y已赋值为3*)Out3= 9 In4:= x2+2yOut4= 15 (3) 定义函数（对函数赋值）中有很多内部函数，如：Logx,Sinx,Absx等；用户也可以自己定义函数，如定义In5:= fx_:=x2+2 x+3这样函数f(x)就定义好了，在定义函数时，等号一般用“:=”，方括号内自变量右边必须有下划线“_”。 下面就可以使用此函数了。In6:= f2Out6= 7In7:= ft+1Out7= 3+2 (1+t)+(1+t)2In8:= Integratefx,x,0,1Out8= 定义分段函数可用Which(或If)命令来完成，如:In9:= fx_:=Whichx-1,-2, x1,2同样可定义多元函数In10:= gx_,y_,z_:=Sinx+y-zIn11:= gPi/2,1/2,3Out11= 要消除赋值，可用以下方法：(1)赋值x=. 如：In12:= x=.In13:= x2+2yOut13= x2+6(2)用函数“Clear”。如：In14:= ClearyIn15:= x2+2yOut15= x2+2y 清除定义的函数也用 Clearf。 In16:= Clearf 2.常用的初等代数符号计算 (1)展开多项式 ExpandIn17:= Expand(x+1)(x2+2x+2)+2x+5Out17= 7+6x+3x2+x3 (2)因式分解 FactorIn18:= Factorx2+2x+1Out18= (1+x)2(3)通分 TogetherIn19:= Together2/(3+x)2+3x/(3+x)2+x2/(3+x)2Out19= (4)拆分（把有理分式分解为部分分式之和） ApartIn20:= Apart(2-3x+x3)/(9+3x-5x2+x3)Out20= (5)约分 CancelIn21:= Cancel(1+2x+x2)/(x2-x-2)Out21= 3.解代数方程中的方程的等号以双等号“= =”表示。In22:= Solvex2+3x-8=0,xOut22= In23:= N%Out23= In24:= Solvex+y-1=0,x-y=0,x,yOut24= 要求5次以上的高次方程，Solve就无能为力了，可用NSolve求多项式方程的近似解。In25:= NSolvex3-2x2-4x-7=0,xOut25=也可用命令FindRootIn26:= FindRootx3-2x2-4x-7=0,x,4Out26= 其中4表示方程在从4出发求解。2.4微积分的符号计算与数值计算1.微分（导数）运算(1)Df,x 求导数或偏导数In1:= DSinx,xOut1= CosxIn2:= Dy+Sinx(x+y),yOut2= 1+Sinx(2)Df,x,n 求n 次（偏）导数In3:= Dx3+x2+1,x,2 Out3= 2+6x(3)Df,x1,x2 求混合偏导数In4:= D(x2)Siny,x,yOut4= 2xCosyIn5:= Dfx2,x y,xOut5= 2.积分运算(1)不定积分 In6:= Integratex2,xOut6= 可做几乎所有标准函数的不定积分，但对于“积不出”的可积函数也不能求。如：In7:= Integratexx,xOut7= (2)定积分 In8:= IntegrateSinx,x,a,bOut8= -Cosb+Cosa此方法也只能求“积得出”的可积函数的定积分，用NIntegrate可求定积分的近似值（包括“积不出”的可积函数）。如：In9:= NIntegrateSinSinx,x,1,2Out9= 0.81645(3)重积分，必须先化为累次积分后上机计算，如In10:= Integrate(x/y)2,x,1,2,y,x,1/xOut10= 3.求和、求积运算(1)求和() SumIn11:= Sum(n+1)2,n,10Out11= 505 In12:= Sumn2,n,1,100,2Out12= 166650其中n,1,100,2表示n2 按n从1加到100，步长为2（即）In13:= Sum(1/3)n,n,1,Infinity/NOut13= 0.5若级数发散，将得不到任何值。In14:= Sumxn/n,n,1,30,3Out14= 用NSum可求近似值。In15:= NSum1/n3,n,1,InfinityOut15=1.20206(2)求积（） ProductIn16:= Productxn+yn,n,1,5Out16=用NProduct可求近似值。In17:= NProductn/20-n,n,1,20Out17= 4.解微分方程例如求微分方程的通解。In18:= DSolveyx=a yx+1,yx,xOut18= 其中C1为任意常数。也可以求初值问题的解。In19:= DSolveyx=a yx+1,y0=0,yx,xOut19= 5.幂级数展开Taylor展式（按x在x0处展开n项）In20:= SeriesSinx,x,0,9Out20= (*最后一项为余项*)上式是将sinx 在0处展开9项。若要将余项ox10去掉，可用Normal。In21:= Normal%Out21= 6.极限极限用Limit表示。例如求极限。In22:= LimitSinx/x,x-0Out22= 17.数据处理 (1)函数的最小值系统中可以从一点出发求函数的最小值。In23:= FindMinimumSinxCosx,x,0.5Out23= (2)数据拟合在数据处理中常用到数据拟合（用一个函数描述所得到的一组数据），中可用Fit来完成。例如得到一组数据1，2.18，1.2，2.56，1.6，3.03，1.8，2.66，作二次拟合。In24:= t1=1,2.18,1.2,2.56,1.6,3.03,1.8,2.66Out24= 1,2.18,1.2,2.56,1.6,3.03,1.8,2.66In25:= Fitt1,1,x,x2,xOut25= 练习11. 计算下列各式的数值：(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)!(9) (10) (11) (12)2. 计算下列各式到20，50，100位精度：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)3. 求下列积分(1) (2) (3)(4) (5) (6) 4. 已知，求高阶导数及它在x=0的值。5. 求下列极限（精确到5位小数）(1) (3)(2) (4)6. 把下列函数展开为的幂级数(1) （展开7项）(2) （展开7项）Ch3. 的表 中的“表”是重要的表示结构，是用花括号“”、“”括起来的若干式子。式子之间用逗号分开。3.1表的生成1.直接生成In1:= 2,35,11Out1= 2,35,11In2:= Sqrt2.0,2+4,x+1Out2= 1.41421,6,1+x2.用函数 Table 定义In3:= Tablen2,n,1,20Out3= 上式表示生成由n2组成的表，n,1,20表示n从1到20，每次加1（默认值）n,1,20是n,1,m的形式，可换成以下形式:n,m表示n从1（默认值）到m，每次加1（默认值）n,m1,m2表示n从m1到m2，每次加1（默认值）n,m1,m2,m3表示n从m1到m2，每次加m3如：In4:= Tablen2,n,20Out4= In5:= TableSinx,x,0,1,0.1Out5= 3.2表的结构1.表的层次表可以有1 层，如：1,2,3;也可以有多层，如：t1=1,2,3,4,5 表的层次没有限制。抹平层（去掉一些括号）可用函数 Flatten。In6:= t1=1,2,3,4,5;In7:= Flattent1Out7= 1,2,3,4,5Flatten不改变原表，此时表t1仍为1,2,3,4,5Flattent,n表示抹平表的n层In8:= Flattent1,1Out8= 1,2,3,4,52. 表作为向量和矩阵表1,2,3表示向量1，2，3表1,1,2,1,x,1,1,1,x表示矩阵向量、矩阵的常用函数运算符号（函数）功能A+B矩阵（向量）的加法A.B矩阵（向量）的乘法（数量积、点积）Crossa,b向量的向量积（叉积）InverseA求方矩阵的逆DetA求方矩阵的行列式EigenvaluesA求方矩阵的特征值EigenvectorsA求方矩阵的特征向量注，对行向量与列向量不加区分，一律写成行向量形式，运算时根据法则自动作出判断。练习21. 造下面的表：(1)1,4,9,16,10000(2)1,2,3,100,1,2,3,100,共10个子表(3)n1,n2,n50,其中ni=n/n!精确到小数后40位数字2. 做一个10项的表，它的每项sn是sinx在x=1点的值与sinx在0点的n 阶幂级数展式在x=1点的值之差（n=1,2,10），要求30位精度。3.生成5阶方阵A，B，C用演算证明： (A+B)C=AC+BC (AB)C=A(BC)4.设(1)A=,(2)A=,求A-1及|A|5.求向量a=3,-1,2,b=4,2,-5数量积和向量积。Ch4. 的图形4.1二维图形二维图形是中最基本的作图，由Plot实现1. Plotfx,x,x1,x2表示画fx的图形，作图区间x1,x22. Plotf1x,f2x,x,x1,x2表示在同一平面上画f1x,f2x,的图形，作图区间x1,x2In1:= PlotCosx,x,0,4PiOut1= In2:= PlotTanx,x,0,2PiOut2= In3:= PlotSinx,Sin2x,Sin4x,x,0,2PiOut3= 画用Table生成的表的图形时，Evaluate表示Table表中的值，不可省略。例如；In4:= PlotEvaluateTableSinn x,n,4,x,0,2PiOut4= 用“?”看一下 Plot的可选参数（Option），可用于改变图形的颜色、坐标轴等选项。Plot的常用选项有选项功能举例AspectRatio作图的纵横比例AspectRatio-AutomaticAxes坐标轴中心位置Axes-0,1AxesLabel坐标轴的名字AxesLabel-x,yTicks坐标轴的刻度Ticks-NonePlotPoints图形取点数（点数多，图形精细）PlotPoints-30PlotStyle作图方式（明暗，颜色等）PlotStyle-Thickness0.05,GrayLevel0.5,RGBColor1,0,0In5:= PlotSinx,x,0,2PiOut5= In6:=PlotSinx,x,0,2Pi,AspectRatio-Automatic, AxesLabel-x,y, PlotStyle-RGBColor1,0,0Out6= Show可将任意多个做好的图形显示在一个图形中In7:= PlotSinx,x,-Pi,PiOut7= In8:= PlotCosx,x,-Pi,PiOut8= In9:= Show%3,%4Out9= 画参数方程所决定的曲线的图形可用命令ParametricPlot，如：画椭圆In10:= ParametricPlot4Cost,3Sint,t,0,2Pi Out10= 4.2三维图形三维图形用Plot3D命令实现。Plot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2In11:= Plot3DSinx Siny,x,0,3,y,0,3Out11= 画参数方程所决定的空间曲面和空间曲线的图形可用命令ParametricPlot3D，如：画出螺旋线，的图形。In12:= ParametricPlot3DCost,Sint,t/10,t,0,20 Pi,PlotPoints-500 Out12= 4.3多个点的作图ListPlot可画离散点的图形。如：In13:= t=Table2n,n,0,10,0.5Out13= In14:= ListPlottOut14= 此时我们可看一下上一章中数据拟合的图形。In15:= t1=1,2.18,1.2,2.56,1.6,3.03,1.8,2.66Out15= 1,2.18,1.2,2.56,1.6,3.03,