中考数学专题复习.doc

新课程下的数学中考复习合肥市行知学校 张正茂通过第一轮复习，同学们已经基本掌握了初中数学知识，并初步形成知识体系，这使得使得中考第二轮复习应以能力为立意，既要系统的复习主干知识和核心内容，又要关注中考复习的热点和命题的方向。以形成能力为落脚点，应用、开放、探索等题型是第二轮复习的重要载体，注重学生能力的培养，关注中考的热点、难点和核心内容，注重数学思想和数学方法的掌握。为此，我整理了几个专题进行复习。专题一、阅读与信息专题：“阅读与信息”是近年来中考数学命题的热点和常见题型之一，一般先给出一段文字,让学生通过阅读领会其中的知识内容、方法要点,并能加以应用,解决后面提出的问题。它主要考察你的阅读和抽取信息能力，但有些还看看你的知识迁移能力和耐心怎么样哦。【典型例题】1、(08年江苏盐城)对于任意正实数，只有点时，等号成立结论：在（均为正实数）中，若为定值，则只有当时，有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若，只有当 时，有最小值 （4分）AODBC图1（2）思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点，（与点不重合）过点作，垂足为，试根据图形验证，并指出等号成立时的条件（8分）2、（08宁波市中考题）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点（4分 ）(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) （8分）总结：首先，要消除畏惧的心理，要冷静。这样思维才能开阔，静心阅读；其次，阅读与信息题的整体模式是：阅读理解应用。重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略。只要做到这两点，仍然能够得心应手地使此类问题迎刃而解。【课堂检测】 (09年中考预测1)我们把对角线互相垂直的四边形叫做对角线垂直四边形。（1）在特殊的平行四边形中，哪些是对角线垂直四边形？；（2）如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在CD、DA上，且FD=EC，求证：四边形ABEF是对角线垂直四边形。(09年中考预测2)阅读以下材料：对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数例如：；解决下列问题：（1）填空： ；如果，则的取值范围为（2）如果，求；根据，你发现了结论“如果，那么 （填的大小关系）”证明你发现的结论。（1），.（2）法一：当时，则，则，当时，则，则，（舍去）综上所述：法二：， 证明：，如果，则，则有，即又，且其他情况同理可证，故专题二：开放性问题：（一）条件开放题【简要分析】条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.【典型考题例析】例1已知反比例函数，其图象在第一、三象限内，则k值可为（写出满足条件的一个k的值即可）分析与解答由反比例函数的图象在第一、三象限可知k-20，即k2因此所取k值只要满足k2都可以，比如k取3、4、5都是符合题意的例2如图，ABC内接于O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE交O于F，为使ADBACE,应补充的一个条件是分析与解答要使ADBACE，只要找到这两个三角形有两个角对应相等或对应边成比例有夹角相等或三边对应成比例即可本题中，从角方面考虑，观察图形可求ACE=ADB，于是，只找另外一对对应角相等就行了，因此，要补充的条件可填DAB=CAE或ABD=E；同时，根据同圆中圆周角与弧之间的DAB=CAE又可转化为弧，因此补充的条件又可以填弧；从边考虑，由于已有条件ADB=ACE成立，如果它们的夹角边对应成比例同样可以得出ADBACE，于是补充的条件又可以填或或ADCE=ACBD等.例3如图2-1-2，四边形ABCD内接于O，AD=AB，E为CB延长线BM上一点，当E点在BM上运动到某一位置满足一定条件时，就有ABDA=BECD成立，问该结论成立的条件是什么？请注明条件并给予证明（广西柳州市中考题）分析与解答：我们通过逆向分析来探结论成立的条件，假设ABDA=BECD成立，则有AB：BE=CD：DA.又ABE=ADC（可证），连结AC，故有ABECDA因此只需探索ABECDA的条件即可.当AEB=CAD或EAB=ECA或EAB=ACD或EA与O相切时，都有ABECDA下面以“EA与O相切”为条件给出证明EA与O相切，易证EAB=ECA.又ECA=DCA， EAB=DCA.又易证ABE=D， ABECDA.即ABDA=BECD.（二）结论开放题【简要分析】 给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍【典型考题例析】例1一条抛物线的对称轴是x=1逐步形成与x轴有唯一的公共点，并且开口向下，则这条抛物线的解析式是（任写一个）分析与解答：根据已知，我们可设这条抛物线的解析式这y=a(x-1)2+k，即y=ax2-2ax+a+k.又由题意有a0,(-2a)2-4a(a+k)=0解得a0,k=0.于是所求抛物线的解析式y=a(x-1)2只要满期足a0就行.答案不唯一,如y=-2x2+4x-2等.例2如图,AB是O的直径, O交BC于D,过D作O的切线DE交AC于E,且DEAC,由上述条件,你能推出的正确结论有:.分析与解答本题所给的图形中，有直径，有切线，我们可联想到直径所对的圆周角是直角，切线的性质，从以下几方面寻找答案：（1）由是O的直径，可得“ADB=90”，同时，根据勾股定理有“AD2+BD2=AB2”（2）连结ODDE是O的切线，ODDE，又DEAC，ODAC.又是AB的中点，有D是BC的中点成立（3）在RtADC中，DEAC，有ADCAEDDEC”、“AD2AEAC”、“DC2CECA”、“DE2AECE”等结论成立（4）DE是O的切线，可有“ADE=B”成立例3如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA=PD（1）写出三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形的任意一对进行证明分析与解答由已知条件可知,本题所给的基本图是等腰梯形，联想到等到腰梯形的性质有：上下两底平行（可得内错角相等、同位角相等）；同一底上的两个角相等（角相等）；两腰相等（边相等）另外，已知条件中还有PA=PD（边相等）根据这些角、边之间的关系，我们不难得到答案图中的全等三角形有：ABPDCP；ABEDCF，BEPCFP；BFPCEP等下面就ABPDCP给出证明ADBC，AB=DC，梯形ABCD为等腰梯形BAD=CDA.又PA=PD，PAD=PDABAP=CDP在ABP和DCP中，PA=PD，BAP=CDP，AB=DC，ABPDCP【提高训练】1请你写出一个能分解的二次四项式并把它分解因式：2请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象同时满足下全条件：开口向下，当x2时，y随x的增大而减小这样的二次函数的解析式可以是3已知抛物线y=-(x-m)2+1与x轴的交点为A、B（B 在A的右边），与y轴的交点为C，写出当m=1时与抛物线有关的三个正确结论4已知：如图，O内切于四边形ABCD，AB=AD，连结AC、BD由这些条件能推出哪些结论？（至少写出3条）5如图，ABC中，AB=AC，过点A作GEBC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明（三）组合开放题【简要分析】 组合开放型试题的的条件和结论都不确定，需要考生认定条件和结论，然后组成一个新命题，并加以证明或判断这种新颖的组合型开放题，已使几何由论证转向发现、猜想与探究，成为中考命题的热点【典型考题例析】例1已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE交于点F；DEAB；AF=DF写出以、中的任意两个为条件，推出第三个（结论）的一个正确命题并加以证明分析与解答对于这一类条件与结论都开放的组合型开放题， 我们先要将它的已知条件进行配对，逐一探索哪些条件与结论能组成正确的命题，然后选择一组进行证明能够推出的正确命题有“若、，则；若、则；若、则下面以若、则这命题证明如下：连结AD、BD，DAC=B.又AB为直径，DEAB，ADB=AED=900ADE=BADE=DACAF=DF说明：本题立足于常见的基本图形，把传统的几何证明题改造成一个要求学生发现、猜想、证明的组合型开放题，符合数学事实的发现过程 例2如图， 四边形ABCD中，点E在边CD上，连结AE、BE，给出下列五个等式：ADBC；DE=CE；1=2；3=4；AD+BC=AB将其中三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果， 那么），并给出证明；（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）；（3）加分题：其命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写一个真命题就给多加1分，最多2 分分析与解答（1）众条件中选取三个作题设，另外两个作结论，构成一个真命题，经尝试、探索可得：如果，那么如图，延长AE交BC于的延长线于点F.ADBC，1=F.又AED=FEC，DE=CE，ADEFCEAD=CF，AE=FE又1=F，1=2，2=F，AB=BF.AB=BC+CF=BC+AD，即成立.又AE=FE，2=F，AB=BF，ABEFBE3=4，即成立（2）如果，那么；如果，那么；如果，那么（3）不唯一，如果，那么；如果，那么等【提高训练】1已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明所添加的条件为你得到的一对全等三角形是2如图，在ABC和DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，下面有四个条件，请你从其中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并证明AB=DE；AC=DF；ABC=DEF；BE=CF（2005年江苏省扬州市中考题）3如图，在AFD和CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个结论：AD=CB；AE=CF；B=D；ADBC请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程综合题：一种电讯信号转发装置的发射直径为31km现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）专题三、证明线段相等：证明线段相等的方法（1）利用三角形全等 （2）线段垂直平分线性质定理 （3）等角对等边 （4）角平分线性质定理 1、三角形全等的判断方法一般三角形全等的判断方法：SAS ASA AAS SSS问题：“SSA”中的角等于90时，能否判断三角形全等？ 直角三角形全等的判断方法：SAS ASA AAS SSS HL2、如图，若BODCOE，B=C指出这两个全等三角形的对应边。问题：如何找对应边？ 几何语言描述：BODCOE = (全等三角形对应边相等)例题：如图，已知AB=AD，AC=AE，1=2，求证: DE=BC证明： 1=2 1+ ABE=2 + ABE即 DAE=BAC 在ADE和ABC中 AB=AD BAC = DAE AC=AE ABC ADE DE=BC (全等三角形对应边相等)定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E。几何语言描述： DE垂直平分AB = （线段垂直平分线性质定理）练习：如图，ABC中，AB与AC的垂直平分线相交于F,且分别交AB于D，交AC于E。求证：BF=FC.定理： 在一个三角形中如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。如图，ABD=ADB，BD平分ABC 几何语言描述： ABD=ADB = （等角对等边）练习：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A，B之间的距离。同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60角的AC方向前进至C，在C处测得C=30， 量出AC的长，它就是河的宽度（即A，B之间的距离）。这个方法正确吗？请说明理由。BCAD定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。如图所示，1=2，AEOB于E，BDOA于D，交点为C。 BAEDCF几何语言描述： 1=2，AEOB，BDOA CD = CE （角平分线性质定理）练习：已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F。求证: EB=FC五、拓展1、线段的倍数定理：直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。练习：如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N求证：CM=2BM2、线段的和差练习：如图，AB=AC,BAC=90,BDAE于D，CEAE于E，且BDCE，求证:BD=EC+ED.方法：转化到同一条线段上来。六、练习1、已知ABC中， AE为角平分线，D为AE上一点，且BDE=CDE，（1）求证：AB=AC（2）若把 “AE角平分线”换为“AE为高线”，其它条件不变，结论还会成立吗？如果成立，请证明；若不成，请说明理由.2、某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图1432所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；（2）阐述你设计的理由. 3、已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OBOC。（1）如图1，若点O在BC上，求证：ABAC；（2）如图2，若点O在ABC的内部，求证：ABAC；（3）若点O在ABC的外部，ABAC成立吗？请画图表示。图2图1专题四：一题多变：例：第十六章B组复习题第四题，已知：如图1，AB=AC, ABC和ACB的角平分线相交于点O,求证：BO=CO 在引导学生完成本题的证明后， “请大家思考一下，你还能够得到哪些结论？看谁发现的结论多。通过不断地思考和相互交流，逐个得到各种不同的结论 ：ABC=ACB,OBC=OCB=ABO=ACO,O=900+A,0A,ABC和BOC都是轴对称图形，若连接AO能得到ABO和ACO全等等等（含中考题）变式引申：变式一:若过点O作EF/BC,交AB,AC于E、F,（如图2），图中有多少个等腰三角形？猜想EF与BE+CF之间有怎么样的关系？并说明理由。（图中有5个等腰三角形，EF=BE+CF）变式二：在图2中，若把等腰三角形改为非等腰三角形呢？即ABAC(如图3)，图3中有无等腰三角形存在呢？若有，有几个？BOC和A又有怎样的关系？为什么？EF与BE+CF之间数量关系又如何？理由是什么？（含中考题）（有两个等腰三角形，BOC=90+A,仍然有EF=BE+CF）通过这个变式，学生认识并体会到几何变化中的不变规律。变式三：若将图3中的条件ACB的角平分线改为ACB的外角平分线，其它条件不变，如图4，则EF=BE+CF还成立吗？如果不成立，你能够推出EF、BE、CF之间存在怎样的关系吗？同时，BOC与A之间又有怎样的关系呢？请给予证明。（含中考题）（不成立，EF=BE-CF, BOC=A）本题从简单的图形开始，采用开放性教学的方法，条件开放，结论开放，思维开放，答案多样。并且不断地由浅入深的变式、引申，逐步增加创造性的因素，并不断地对开放的条件进行探究，有效地拓展了学生的学习空间和想象空间，让学生自由充分地发挥，有利于培养学生的观察能力、分析能力和发现能力，更能够激发学生的学习兴趣和学习热情，充分调动学生的学习积极性和主动性。同时也要求我们老师在平时的教学中，吃透教材，勇于探索，不断地提高业务水平和教学能力，在平时教学中还应注意积极地挖掘课本中的创造性因素，把课本知识教活，让学生学活，真正做到变“要我学”为“我要学”，变“被动学”为“主动学”。例2、已知：如图，点B是线段AC上一点,ABC和BCF是等边三角形，AF交BE于M，CE交BF于N,求证：AF=CE (八年级上16.3习题11题)分析：证明ABFEBC即可。请同学们思考、交流，你还能够得到哪些结论？并说明理由。1、 相等的边，即：AB=BE=AE,BF=CF=BC,BN=BM,. （含中考题）2、 相等的角：ABF=EBC, FAB=CEB,AFB=ECB,.3、 平行线：AB/BF, BE/CF,4、 全等三角形：ABFEBC（中考题）（若作为初三的复习题使用，还可以引导学生得出如下结论：5、 相似三角形：AEMFBM, FCNBEN, ABMACF, BCNACE, ABEBCF, ABFEBC（含中考题）6、 比例式或者乘积式（由相似三角形可得之。）（含中考题）下面再进行适当的变式探究：变式一、若连结MN（如图2）其它条件不变，你还能得到哪些结论？说明理由？（含中考题） 变式二：若将BCF沿着BA的方向平移，（如图3）你又能发现哪些结论？在平移过程中，AF与CE之间的关系如何？说明理由？AF与CE的夹角大小有没有变化？为什么？（含中考题）变式三：若将BCF绕点B逆时针旋转，（如图4）：你还能得到什么结论？在旋转过程中，AF与CE之间的关系又如何？说明理由？这时，AF与CE的夹角大小有没有改变？为什么？（含中考题）变式四：若把原题中的等边三角形改为正方形（如图5），你又能得到哪些结论？变式五：还可以改编为计算题，如：已知比例式或乘积式中的三条线段的长，求第四条线段的长。（含中考题）变式六：若在图5中已知一个角和一条边，还可以变式为解直角三角形问题。最后把问题抛给学生，引导学生回答，你还能得到什么样的变式呢？（1）将ABE沿BC方向向右平移（2）将BCF绕点B顺时针旋转（3）将ABE绕点B逆时针旋转 这个例子体现了“一题多问”“一题多变”和“一图多用”的特点，渗透了多种数学思想方法，如转化思想，分类思想，数形结合思想等。同时渗透了几何运动思想，反映了数学变化中的不变性。有利于培养学生的创新精神和创造性思维能力。专题五、多法归一：下面对数学问题在解法上的开放性教学（多法归一）举例如下：例3、一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，并且十位与个位上的数字和是这个两位数的，求这个两位数。解法一：设十位上的数为x，则个位上的数是x+1.得5x +（x+1）10x+（x+1）解得x4，这个两位数是45.下面请同学们思考，讨论后回答：你还能得到别的解法吗？解法二：设个位上的数为x，则十位上的数是x-1.得：5（x-1）+ x10（x-1）+x.解法三：（直接设法）设所求的两位数为x，则十位上的数是，个位上的数为+1，得5（+1）x.解法四：设十位上的数为x，则个位上的数是y，得 x=y-1 5(x+y)=10 x+y 解法五：设个位上的数为x，则十位上的数是y，得 y = x-1 5(x+y)=10 y + x 若本题作为初二、初三的复习课，还可以进行变式引申：变式一：一个两位数，个位上的数比十位上的数大3，并且个位上的数的平方等于这个两位数，求这个两位数？（中考题变式）设十位上的数为x，则个位上的数是x+3，得（x+3）210 x+(x+3)，这是运用一元二次方程解决问题的方法。变式二：一个两位数，其个位上的数比十位上的数大2，已知这个两位数大于20而小于40，求这个两位数？（中考题）设十位上的数为x，则个位上的数是x+2，得2010x+ x+240，解得x，x为整数，x2或3，这个两位数为24或35.这是运用不等式组解决问题的方法。变式三：一个两位数，其十位上的数比个位上的数大2，并且十位上的数与个位上的数的比等于3，求这个两位数？设个位上的数为x，则十位上的数是x+2，得3，解得x1，经检验x1是原方程的解，这个两位数为31。这是运用分式方程解决问题的方法。本例属于“一题多解”或“多法归一”，融合了初中阶段所学习的代数方程的所有方法，有利于培养学生开放性思维、发散性思维和聚合性思维的能力。一、 依托课本 培养学生创新能力前一段时间听了一位初三老师上的一堂复习课。这节课准备充分，例题讲解的也比较清楚，但评课时我给她讲了这么一句话：初三是复习“迎”考，而不是复习“追”考，靠“追”也是“追”不上的。考过的题目今年一般不会再考。因为她用的是09年安徽省试题中的那道相似形考题，教学中未对这道题进行任何提炼或者变式处理，另一道是八年级教材书上四边形一章中的一道习题，也未作任何提炼和或者变式处理。我说，复习课的例题选取很重要，应该精选，所选择的例题应该具有代表性，应该具有发散或者变式功能，能够把知识点或者考点串联在题目中，真正发挥例题的辐射功能和效果，起到举一反三、触类旁通的作用，达到既能够训练智力，又能够提升能力的目的。我举了同样是课本中的一道题，即21章复习题C组第四题，题目是：图1例1，已知M,N分别是的平行四边形ABCD的边AB,CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F（如图1）求证：BE=EF=FD.我选择这道题的理由是，第一，它有多种解法，第二，它可以设置问题串，第三，它还可以进行变式引申。a.多种解法：解法一、证明四边形AMCN是平行四边形，得AN/CM,又M,N是中点，所以有DF=EF,BE=EF,所以DF=EF=BE图2解法二、过E作EG/AB交AN于G （如图2） 证明FEGEBM,得EF=BE同理EF=DFDF=EF=BE图3解法三、过F点作FP/DC,交CM于P,(方法同解法二类似)解法四、连接AC交BD于点O（如图3 ），则E,F分别是ABC和ADC的重心，即三边中线的交点，因此有BE=OB=BD,同理DF=BD, EF=BD-DF-BE=BD, DF=EF=BE以上四种证明方法可引导学生逐个地思考讨论后发现。一题多解能使学生多角度、多方位的思考和审视问题，培养学生思维的发散性和广阔性。b.设置问题串：你还能得到那些结论？（思考，讨论后回答）1、 线段相等：AM=BM=CN=DN,AN=CM，2、 角相等：DAN=BCM,NAB=NCM,ANC=AMC,（含中考题）3、 角互补：NAM+AMC=180，NAM+ANC=180,.4、 全等三角形：ANDCMB, ABDCDB,5、 相似三角形：BEMBFA,BEMDEC,（含中考题）6、 比例式或者乘积式：(BE/BF)=(EM/AF)=(BM/AB), DFEC=DEFN，（含中考题）7、 设置为计算题，即已知比例式或者乘积式中的三条线段长，求第四条线段长。（含中考题）8、 面积比：(SDNF/SDCE)=(SBME/SDCE)设置问题串，可以把很多知识点串联在题目中，解一题胜过做多题，可以培养学生的思维的灵活性和多变性。c.变式引申：图4变式一、若把AM,CN是中线改为DAB和DCB的平分线(如图4)同学们又能够得到哪些结论？（含中考题） 变式二、若把AM,CN是中线改为ANCD于N,CMAB于M(如图5),则同学们又能够得到哪些结论？ 变式三、若把N是CD的中点改为N是AD的中点，连接CN，M点不动(如图6)，则E,F还能够三等分BD吗？说明理由. （中考题）还能够变式吗？（进一步激发学生积极思考）变式四、若把原题中的中点改为AM=2BM,CN=2DN(如图7)，你还能够得到什么结论？说明理由.一题多变培养了学生思维的探究性和深刻性。这是一道多么好的开放性题目啊！用好它，会大大地提高本节课的复习功能与复习效果，学生通过不断地思考与交流，自主发现一个个证法，一个个不同的结论，一个个不同的变式，思维的火花不断地碰撞，有效地培养了学生的创新精神，提高学生的创造性思维能力。我认为，培养学生思维上的灵活性，开放性，发散性，探究性，深刻性就是培养学生的创新能力，只有这样，学生才能够真正地从题海中走出来。例2：一种商品售价为每件10元，一周可以卖出50件。市场调查表明，这种商品如果每件涨1元，每周要少卖5件。已知该商品每件进价8元，问这种商品每件涨价多少，才能够使每周得到的利润最大？（九年级课本例题）一题多解:解法一、（书上方法）设每件商品涨价x元，每周得到的利润为y元，则：y=(10+x)(50-5x)-8(50-5x)即：总利润=售价数量进价数量解法二、设每件商品涨价x元，每周获得的利润为y元，则：y=(10+x-8)(50-5x)即：总利润=每件利润数量解法三、设每件商品定价为x元，每周获得的利润为y元，则：y=(x-8)50-5(x-10)即：总利润=每件利润数量比较三种解法：方法二最容易理解，也最简单；方法三是间接设法，较简单，但是结果需要减去8；方法一是书上的方法，较繁。解题应该掌握最简单的方法，这是最基本准则。我们在平时的教学中不能够盲目迷信课本，而应该灵活运用教材、灵活处理教材。一题多变：变式一：若每件涨价3元，每周要少卖15件，其他条件不变，问每件商品涨价多少元，才能够使得每周得到的利润最多？（中考题变式）解：设每件商品涨价x元，每周获得的利润为y元，则：y=(10+x-8)(50-5x)变式二：若每件降价1元，每周要多卖5件，其他条件不变，问每件商品定价多少元，才能够使得每周得到的利润最多？解：设每件商品定价x元，每周获得的利润为y元，则：y=(x-8)50-5（10- x）变式三：若每件售价100元，每周可卖出50件，如果每件降价10元，则每周要多卖20件，已知该商品进价70元，要使得每周获得利润最大，该商品每件应降价多少元？（中考题变式）解：设该商品每件应该降价为x元，则y=(100-x-70)(50-2x)变式四：某商品从厂家以每件40元的价格购进一批商品，当商场按单价50元出售时，能够卖出500件，已知该商品涨价1元，其销售量就会减少10件，为了获得8000元的利润，售价应该定为多少元？这时要进货多少件？（中考题）解：设售价定为x元，则（x-40）500-10(x-50)=8000解得x=60或者x=80当x=60时，500-10（x-50）=400(个)当x=80时，500-10（x-50）=200（个）说明：这里把二次函数问题转化为一元二次方程问题。变式五：请同学们自编一道“降价多卖或者涨价少卖”的题目，大家一起来解答。可创设的实际情境有很多，如：1、出租客房问题（九年级教材上册P36页习题6）2、旅行社组团旅游问题（九年级教材上册复习题A13）3、租赁公司车辆出租问题4、果园果树种植问题（北师大版教材例题）5、花店出租盆花问题6、商品售货问题，等等。如果掌握了一题多解，一题多变，多题归一的方法，学生会学得轻松愉快，教学效果会显著提升，以一胜十，我们教师只有熟悉教材，钻研教材，才能够灵活处理教材和熟练地驾驭教材。（小插曲）例3：已知：如图1，在ABC中，AB=AC,求证：B=C这是一道大家都很熟悉的等腰三角形性质的证明题。请同学们思考交流，你能够得到几种证明方法？ 图1 方法一、作底边上的高 方法二、作底边上的中线 方法三、作顶角的角平分线 这三种方法是课本上常用的方法，其实它还有多种证明方法，有的方法还很新颖别致，探究如下：方法四、作两腰上的高，利用全等三角形来证明方法五、作两腰上的高，利用三角形的面积证。（面积法）方法六、作两腰上的中线证方法七、作两底角的平分线来证方法八、利用轴对称的性质来证方法九、不作辅助线证明三角形全等。方法十、反证法。说明：应注意优选最简单的方法。变式引申：变式一：若点P是底边BC的中点，且PEAB于E,PFAC于F（如图2）求证：PE=PF（中考题）变式二：如图3，若点P是底边BC上的任意一点，但不与B,C重合且PEAB于E,PFAC于F，CHAB于H,试探究：PE+PF与CH的大小关系（中考题变式）（PE+PF=CH,连接AP，利用面积法证明最简单）变式三：若P是底边延长线上一点，且PEAB于E,PFAC于F，CHAB于H,如图4，, PE，PF与CH的大小之间又有怎样关系？（90年代中考题）（利用面积法证明简单，PE-PF=CH）变式四：若点P是ABC内部一点或外部一点，原题的结论还能够成立吗？（安徽中考题）变式五：若把等腰三角形改为等边三角形，则等边三角形内一点到三边的距离之和与一边上的高又有怎样的关系？一题多解，一题多用，多题归一，奇妙无穷！我们平时上习题课或者复习课，不能够满足于把题目解出来就万事大吉了，而应该挖掘它的深层次的思想方法，并且向更深层次去探索它的内在规律。引导学生进行适当的变式性练习，加强学生的创造性思维的训练，使得我们的数学课堂更加生动活泼，更加富有挑战性、趣味性。三、引导自主学习 教会学习方法新课标指出“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”。著名数学家华罗庚曾倡导学生“要学会自学”，他说：“任何一个人如果养成自学的习惯，都是终生受用不尽的。”在教学过程中，培养学生的自学能力是数学教学的重要目标。教师应改变教学观念，转变教学角色，课堂要以教师的“教”转向学生的“学”。要从“教会学生知识”转向“教会学生学习”。何炳章先生从八十年代就倡导要把“课堂”逐渐变为引导学生自学的“学堂”，变教师的“讲堂”变为学生的“学堂”，这对数学教学有着特别的意义和要求。我很欣赏何炳章先生的说法：“自学”就是自主学习、自动学习、自觉学习、自得学习的意思。在课堂上自学绝不是“自发学习”更不是“放任自流的学习。”“引导”是教师的“引领”和“指导”。这也说明了教师在“自学引导型”课堂上的特殊作用。建议我们的数学老师有时间的话，看看何炳章教育文选，会对我们的教学转型很有帮助。合肥实验学校就是采用这种课改实验方案，用9年的时间完成了现行中小学大纲规定的12年的教育教学任务，而且完成的很好，学生学得也很愉快。说实话，近几年我也在尝试着用这种“自学引导法”进行教学，甚至经常让学生上讲台代替我“上课”，我在下面当学生听。从我的教学实践来看，学生的学习效果还不错。上学期期末考试班级54人，数学有21人满分，均分143分，本学期期中考试数学有27人满分，均分144分，当然试卷很简单，但再简单的试卷考满分也不容易。这些都得益于开放性教学法和自学引导法。说句不谦虚的话，我从2005年调到行知，只要是我从初一带上来的班级，无论是普通班还是实验班，学生的数学成绩考差的次数很少，中考我所带的班级学生的数学成绩也有不少取得过满分，高分段的考生人数也不少，人均分也不低。中考最高人均分取得过135分以上。我觉得学生学习成绩的取得重点在课堂，关键在老师，工夫在平时。平时中午或晚上我都很少留学生，一是因为现在的孩子念书太累了，从早学到晚，再留也不忍心，二是因为多年来我有个不良习惯，中午要睡觉或叫“午休”吧，不睡难受。但是可以说上班的时间我很少浪费的，都是认认真真地用来处理学生的作业或备课等。我教学几十年，对教材还是比较熟悉的，曾几次参与过沪科版数学教材使用情况的座谈会，受邀参加过八年级教材和教师用书的修订，也参与过对省科院审编的基础训练的修订，但在每一节数学课上课前我还是会非常认真、仔细地阅读教材，思考着如何处理教材和采用什么样的方法让学生学得更好一点，更轻松一点。“活到老，学到老”其实我觉得你们年轻人有很多值得我们学习的地方，我很羡慕你们，特别是信息技术。孙勇校长叫我也要讲讲七年级有关教学的问题，如对负指数、科学记数法的实际教学处理，七年级教材中的有关一题多解、一题多变的问题等。下面谈谈七年级教材部分问题的处理方法。1.在计算（）时，如果用课本上的法则 来指导学生学习会出现繁分数，易错而且会带来一些不便和麻烦。因此我对法则作了一个小小的改变，就是这个小小的改变会给学生在解题中带来很大的方便。如，这样避开了繁分数，既不易出错计算也很简单。2.在引导学生学习七下的科学记数法时，除了要求学生掌握课本上的方法外，我还给学生介绍了一种比较简单易行的方法，即“数”小数点移动的位数，移几位，指数就是负几，学生多了一种方法，也就扩大了选择的空间，并且这种方法又可与七上的科学记数法有机地结合起来，这样对比学习，就很少出现记数错误了。还有一处也是易考易错的，例如教材上有个例题：下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？（1）48.3（2）0.03086（3）2.40万（4）6.5104其中（3）（4）小题的类型中考经常考到，曾听过一位教师的课，他是这样教学2.40万的，“还原法：把这个数还原出来是24000，因为2是万位上的数，4是千位上数，0是百位上的数。所以这个数精确到百位，有3个有效数字。”按照这种方法3.52亿还原出来岂不太繁，费时而且也易出错。我引导学生的方法是：把万、亿等看成大的数量级单位，2是万位上的数，4和0分别是千位和百位上的数，所以2.40万精确到百位有3个有效数字，而3.52亿的道理完全相同：3是亿位上的数，5和2分别是千万位和百万位上的数，所以这个数精确到百万位，有3个有效数字。再引导学生举例说明，如1.07千等。采用这种方法学习既简单又好理解更便于接受，还不易出错。对越大的数、优势越突出。这两个例子说明我们教师应熟悉教材，吃透教材和灵活处理教材。3.有一道七下课本习题，题目是：学校举行环保知识竞赛，答对一题得5分，不答或答错一题扣3分，王林希望自己的得分不低于80分，那么他至少应答对多少题？首先我采用自学引导法，引导学生发现第一种解法：方法一，（直接设）设王林答对了x道题，则5x-3(20-x)80，解得x17.5.x为整数 x最小取18 因此王林至少答对18题。进一步引导学生，你们还能发现其他的解法吗？思考讨论后回答。方法二，（间接设）设王林答错了x道题，则5（20-x）-3x80。解得x2.5。x取整数 x最大为2。20-2=18 因此王林至少答对18题。两种方法对比，显然直接设未知数的方法简单，我们应该优选和掌握最简单的方法，这是今后学习应该注意的基本准则。做完本题后，为了让学生深刻认识和理解这种类型的问题，我又引导学生进行适当的变式引伸。变式一：若在比赛到第16个问题结束时，王林得到72分，则王林答对了多少题？设王林答对了y道题，则5y+3(16-y)=72解得y=15，因此王林答对了15题。说明：这里将不等式问题转化为方程问题。变式二：若比赛规定只有得分超过90分才能获奖，那么在变式一的条件下王林后面的比赛中，至少还要答对多少题，才有可能获奖呢？简要说明理由。设至少还应答对z道题，则72+5z-3(20-16-z) 90解得z30/8z是整数， z最小取4。（注意此处的处理与方法一的不同，为什么取4而不取3？）答：王林至少还要答对4题才能获奖。变式三：请同学们仿编一道类似的应用题，并同桌互测。这个例子通过变式把不等式与方程有机联系起来，并对原题和变式二中的两个“至少”的不同理解，检查的淋漓尽致。同时让学生自编题目也是促进学生主动学习和激发学生创造性思维的好方法。4.指导学生学会仿编、改编和自编题目。要求学生应该把握编题的三个原则：应贴近学习生活；应具有基础性、概括性、代表性；应能体现数学思想方法。看下面的一道改编题：例如：数学课上，张老师在教学“轴对称” 时，设计了如下四种教学方法：教师讲学生听；教师让学生自己做；教师引导学生画图，发现规律；教师让学生对折纸，观察发现规律，然后画图。数学教研组长将上述教学方法作为调研内容发到全年级8个班420名同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种，他随机抽取了60名学生的调查问卷，统计图如图所示： （1）请将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中方法的圆心角；（2）全年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种？选择这种教学方法的约有多少人？（3）假如抽取的60名学生集中在某两个班，这个调查结果还合理吗？为什么？（4）请你对张老师的教学方法提出一条合理化的建议。说明：本题贴近学生生活，以学生的学习方式为设计背景，拉近了题目和学生的距离，增强了学生的解题兴趣，同时还综合考查了频数与频率的关系，随机抽样的合理性，统计图的认识，用样本估计总体和数形结合的数学思想，也考查了学生的读题能力和识图能力。下面对七年级教材上部分一题多解的题目做个简单的说明，供参考。（1）七上第一章1.4节例题5，有两种解法，方法一将10袋大米的实际质量相加；方法二将10袋大米不足或超过部分相加，然后再加上10x25。显然方法二最简单。（2）七上第一章1.5节例题4，有两种解法，方法一把小数化成分数；方法二把分数化成小数。显然方法一最简单。（3）七上第一章1.5节例题5，用两种解法，方法一按混合运算的运算顺序计算；方法二运用乘法分配律计算。显然方法二简单。（运用数学思想方法或运算律可使解题简单）（4）第一章复习题B组第3题。 计算1-2+3-4+5-6+99-100方法一：正负分开分别计算 原式=（1+3+5+99）+（-2-4-6-100）=25002550= -50方法二：分组法计算 原式=1+（3-2）+（5-4）+（99-98）-100=50-100= 50方法三：分组法计算 原式=（1