MATLAB在求二阶系统中阶跃响应的分析及应用.doc

武汉理工大学基础技能强化训练课程设计说明书摘要二阶系统控制系统按数学模型分类时的一种形式，是用数学模型可表示为二阶线性常微分方程的系统。二阶系统的解的形式，可由对应传递函数W(s)的分母多项式P(s)来判别和划分，P(s)的一般形式为变换算子s的二次三项代数式。 代数方程P(s)=0的根，可能出现四种情况。1.两个实根的情况，对应于两个串联的一阶系统。如果两个根都是负值，就为非周期性收敛的稳定情况。 2.当a10，a20，即一对共轭虚根的情况,将引起频率固定的等幅振荡，是系统不稳定的一种表现。 3.当a10，a1-4a20，a1-4a20.8后，振荡的作用就不显著，输出的速度也比较慢。而0.4时，输出量就带有明显的振荡和较大的超调量，衰减也较慢，这也是控制系统中所不希望的。当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。阶跃响应g(t)定义为：系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应。关键词：二阶系统 阶跃响应 MATLAB/Simulink MATLAB在求二阶系统中阶跃响应的分析及应用1 训练目的和要求 通过对MATLAB仿真软件的语言的学习，学会在MATLAB中解决电路原理、模拟电子技术基础、数字电子技术基础等所学课本上的问题，进一步熟悉并掌握MATLAB在电路、信号与系统、自动控制原理、数字信号处理等中的应用。通过对软件的应用，巩固已学知识。以求达到通过训练能熟练掌握MATLAB的应用，能够深入到实际问题中。要求通过理论分析所要求题目并通过MATLAB仿真比较实验结果。2 理论分析计算已知系统的传递函数为，求其阶跃响应。并分析变化时，其阶跃响应的变化情况。本题要求求解一个简单的二阶系统的传递函数的阶跃响应，研究二阶系统的特征参数，当无阻尼自然频率为1时阻尼比对系统动态性能的影响。了解一下基础知识后就可以很自然的解决题目了，我们可以对二阶系统的传递函数进行分析后对无阻尼自然频率赋值1来求解。然后再用MATLAB仿真。二阶系统传递函数标准形式：其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期 自然频率（或无阻尼振荡周期） 阻尼比（相对阻尼系数） 二阶系统的特征方程： 特征根为：由题目可知，=1，为一参数，因此对于的取值进行分类说明(1)欠阻尼 0 1将=1带入，可得到阻尼比在此区间内时的阶跃响应。特点：单调上升，无振荡，过度过程时间长，趋近于1，无稳态误差。（4）无阻尼状态 = 0系统有一对共轭虚根系统在无阻尼下的单位阶跃响应为：结论：二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；01时，有振荡，愈小，振荡愈严重,但响应愈快；= 0时，出现等幅振荡。3 MATLAB仿真根据以上理论分析，用MATLAB编程分析。可以用两种方法求解。3.1 程序一（用函数来求解）由传递函数与阶跃响应的关系，编程如下：syms s %定义系统参数ssyms x%定义阻尼比xilaplace( (1/(s3 + 2*x*s2 + s )%拉普拉斯逆变换函数求解ans =1-(cosh(t*(x2-1)(1/2) + (x*sinh(t*(x2-1)(1/2)/(x2-1)(1/2)/exp(t*x)%带有阻尼比参数的阶跃响应3.2 程序二（使用内置函数step）kosai=0.1:0.1:1.0,2.0;figure(1)hold onfor i=kosainum=1;den=1,2*i,1;step(num,den)endtitle(The Step Response of Two Order System);hold off结果如图3-1所示：图3-1 二阶系统传递函数阶跃响应4 Simulink仿真4.1 Simulink简介Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具， 是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI) ，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。4.2 仿真过程1.根据实验选择好仿真元件，设置仿真参数和选择解法器2.运行仿真3.仿真结果分析建立仿真界面如图，输入几个函数进行验证。图4-1=0.1时仿真图 图4-2 =0.1时仿真结果对取不同值进行验证，结果如下： 图4-3=0.3时仿真结果 图4-4=1时仿真结果 图 4-5 =0.1时仿真结果 分析比较可知以上几种方法结果一样。5 小结通过本次强化训练，我基本了解并掌握了MATLAB在电路原理中的应用，知道了如何在MATLAB以及simulink里面处理分析电路方面的问题，对待电子方面知识学习我又了解了一个强有力的仿真工具，对以后也会有很大的帮助。通过本次实验了解到，MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C+ ，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。应用到自动控制方面也很方便。通过MATLAB在电路原理二阶系统求阶跃响应的分析实验过程中，不仅了解到了MATLAB强大的功能，而且分析起来非常方便，各种参数调整起来很简洁，生成图像后分析结果一目了然。可以非常直观的比较分析随阻尼比参数变化节约相应的变化，比较可以得出工程中适合的阻尼比范围。对以后的学习以及工程中的可能应用打下了基础。这次实验后，深深的被MATLAB强大的计算分析仿真功能所吸引，决心以后要更加深入的了解并且掌握与运用它来解决实际问题。总之，受益匪浅。参考文献1 陈晓平等.MATLAB在电路与信号及控制理论中的应用.中国科学技术大学出版社.20082 钟麟等.MATLAB仿真