《相似三角形的应用》名师课件.ppt

名师课件 27 2 3相似三角形的应用 1 三角形相似的判定方法 1 定义法 三个对应角相等 三条对应边成比例的两个三角形相似 2 平行法 平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 3 判定定理1 边边边 三边对应成比例 两三角形相似 4 判定定理2 边角边 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 5 判定定理3 角角 两角对应相等 两三角形相似 6 直角三角形相似的判定定理 HL 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 2 相似三角形的性质 1 相似三角形对应角相等 对应边成比例 2 相似三角形对应边上的高线之比 对应边上中线之比 对应角平分线之比等于相似比 相似三角形对应线段之比等于相似比 3 相似三角形的周长之比等于相似比 4 相似三角形的面积之比等于相似比的平方 探究利用三角形相似测量物高 据史料记载 古希腊数学家 天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理 在金字塔影子的顶部立一根木杆 借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度 活动1 探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度 重点 难点知识 小组合作 自学课本第39页 例题4 测量金字塔高度问题 探究利用三角形相似测量物高 例 如图 如果木杆EF长2m 它的影长FD为3m 测得OA为201m 求金字塔的高度BO 活动1 探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度 重点 难点知识 问题 1 本题中是利用什么构造相似三角形的 2 本题的突破点在哪里 3 如何测量旗杆的高度 设计出你的测量方案 画出图形与同伴交流 4 你发现了什么规律 探究利用三角形相似测量物高 例 如图 如果木杆EF长2m 它的影长FD为3m 测得OA为201m 求金字塔的高度BO 活动1 探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度 重点 难点知识 解 太阳光是平行线 因此 BAO EDF 又 AOB DFE 90 ABO DEF 答 金字塔的高度BO为134m 探究利用三角形相似测量物高 你想到了吗 还可以有其他方法测量吗 活动1 探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度 重点 难点知识 利用平面镜也可测高 ABO AEF 探究利用三角形相似测量物高 你想到了吗 还可以有其他方法测量吗 活动1 探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度 重点 难点知识 利用平面镜也可测高 测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度 通常用 在同一时刻物高与影长成正比例 的原理解决 甲物高 乙物高 甲影长 乙影长 探究利用三角形相似测量物高 你想到了吗 还可以有其他方法测量吗 活动1 探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度 重点 难点知识 利用平面镜也可测高 利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题一般图形 例题讲解 活动2 探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度 重点 难点知识 例1 如图 某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1 2m 此时 小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30 角 树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3 6m 求树AB的长 分析 先利用 BDC FGE得到 可计算出BC 6m 然后在Rt ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长 例题讲解 活动2 探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度 重点 难点知识 例1 如图 某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1 2m 此时 小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30 角 树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3 6m 求树AB的长 解 如图 CD 3 6m BDC FGE 即 BC 6m 在Rt ABC中 A 30 AB 2BC 12m 即树长AB是12m 点拨 解答此类问题时 首先要把实际问题转化为数学问题 利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解 例题讲解 活动2 探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度 重点 难点知识 例2 小明想利用树影测量树高 他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0 9m 但当他马上测量树影时 因树靠近一栋建筑物 影子不全落在地面上 有一部分影子在墙上 如图 他先测得留在墙上的影高l 2m 又测得地面部分的影长2 7m 他求得的树高是多少 解 如图 过点C作CE AB于点E 因此BE CD 1 2m CE BD 2 7m 由得AE 3所以AB AE BE 1 2 3 4 2 m 答 这棵树的高为4 2m 点拨 解本题的关键是构造出相似的三角形 然后根据对应边成比例列出方程 解题时要灵活运用所学各学科知识 E 探究利用三角形相似测量距离 或宽度 例 如图 为了估算河的宽度 我们可以在河对岸选定一个目标P 在近岸取点Q和S 使点P Q S共线且直线PS与河垂直 接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R 如果测得QS 45m ST 90m QR 60m 求河的宽度PQ 活动1 探究二 如何测量不能直接到达的两点间的距离 重点 难点知识 小组合作 自学教材40页 例题5 测量河宽问题 1 本题中是如何构造相似三角形来解决问题的 2 你还可以用什么方法来测量河的宽度 探究利用三角形相似测量距离 或宽度 例 如图 为了估算河的宽度 我们可以在河对岸选定一个目标P 在近岸取点Q和S 使点P Q S共线且直线PS与河垂直 接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R 如果测得QS 45m ST 90m QR 60m 求河的宽度PQ 活动1 探究二 如何测量不能直接到达的两点间的距离 重点 难点知识 解 PQR PST 90 P P PQR PST 即 PQ 90 答 河的宽度PQ为90m 探究利用三角形相似测量距离 或宽度 活动1 探究二 如何测量不能直接到达的两点间的距离 重点 难点知识 你想到了吗 还可以有其他方法测量吗 利用三角形相似测宽 ABE CDE 探究利用三角形相似测量距离 或宽度 活动1 探究二 如何测量不能直接到达的两点间的距离 重点 难点知识 你想到了吗 还可以有其他方法测量吗 利用三角形相似测宽 测距的方法 测量不能到达两点间的距离 常构造相似三角形求解 解相似三角形实际问题的一般步骤 1 审题 2 构建图形 3 利用相似解决问题 例题讲解 活动2 探究二 如何测量不能直接到达的两点间的距离 重点 难点知识 例 如图 已知零件的外径为a 要求它的厚度x 需先求出内孔的直径AB 现用一个交叉卡钳 两条尺长AC和BD相等 去量 若OA OC OB OD n 且量得CD b 求厚度x 分析 如图 要想求厚度x 根据条件可知 首先得求出内孔直径AB 而在图中可构造出相似形 通过相似形的性质 从而求出AB的长度 例题讲解 活动2 探究二 如何测量不能直接到达的两点间的距离 重点 难点知识 例 如图 已知零件的外径为a 要求它的厚度x 需先求出内孔的直径AB 现用一个交叉卡钳 两条尺长AC和BD相等 去量 若OA OC OB OD n 且量得CD b 求厚度x 点拨 利用三角形相似求线段长是常用方法 解 OA OC OB OD n且 AOB COD AOB COD OA OC AB CD n 又 CD b AB CD n nb 相关知识介绍 视点 观察者眼睛的位置叫视点 视线 由视点出发的线叫视线 盲区 眼睛看不见的区域叫盲区 活动1 探究三 什么是视点 视角 盲区 它们是如何应用的 重点 难点知识 相关知识介绍 视角 视线与水平线的夹角 仰角 视线在水平线以上 视线与水平线的夹角 俯角 视线在水平线以下 视线与水平线的夹角 活动1 探究三 什么是视点 视角 盲区 它们是如何应用的 重点 难点知识 例题讲解 例 如图 左 右并排的两棵大树的高分别为AB 8m和CD 12m 两树底部的距离BD 5m 一个人估计自己眼睛距地面1 6m 她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进 当她与左边较低的树的距离小于多少时 就看不到右边较高的树的顶端C了 活动2 探究三 什么是视点 视角 盲区 它们是如何应用的 重点 难点知识 分析 如图 设观察者眼睛的位置 视点 为点F EF近似为人的身高 画出观察者的水平视线FG 它交AB CD于点H K 视线FA FG的夹角 AFH是观察点A的仰角 能看到C点 类似地 CFK是观察点C时的仰角 由于树的遮挡 区域 和 都在观察者看不到的区域 盲区 之内 再往前走就根本看不到C点了 例题讲解 解 如图 假设观察者从左向右走到点E时 她的眼睛的位置点F与两棵树的顶端A C恰在一条直线上 AB l CD l AB CD AFH CFK 即 解得FH 8 m 由此可知 如果观察者继续前进 即他与左边的树的距离小于 m时 由于这棵树的遮挡 右边树的顶端点C在观察者的盲区之内 观察者看不到它 活动2 探究三 什么是视点 视角 盲区 它们是如何应用的 重点 难点知识 点拨 解实际问题关键是找出相似的三角形 然后根据对应边的比相等列出方程 建立适当的数学模型来解决问题 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 1 相似三角形与一次函数 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 例1 如图 在平面直角坐标系xOy中 直线y x 3与x轴交于点C 与直线AD交于点A 点D的坐标为 0 1 1 求直线AD的解析式 2 直线AD与x轴交于点B 若点E是直线AD上一动点 不与点B重合 当 BOD与 BCE相似时 求点E的坐标 分析 1 设直线AD的解析式为y kx b 用待定系数法将A D 0 1 的坐标代入即可 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 例1 如图 在平面直角坐标系xOy中 直线y x 3与x轴交于点C 与直线AD交于点A 点D的坐标为 0 1 1 求直线AD的解析式 2 直线AD与x轴交于点B 若点E是直线AD上一动点 不与点B重合 当 BOD与 BCE相似时 求点E的坐标 分析 2 由直线AD与x轴的交点为 2 0 得到OB 2 由点D的坐标为 0 1 得到OD 1 求得BC 5 根据相似三角形的性质得到或 代入数据即可得到结论 E E 解 1 设直线AD的解析式为y kx b 将A D 0 1 代入得 解得 故直线AD的解析式为 y x 1 2 直线AD与x轴的交点为 2 0 OB 2 点D的坐标为 0 1 OD 1 y x 3与x轴交于点C 3 0 OC 3 BC 5 BOD与 BCE相似 或 或 BE 2 CE 或CE E 2 2 或 3 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 点拨 本题考查了相似三角形的性质 待定系数法求函数的解析式 正确的作出图形是解题的关键 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 2 相似三角形与反比例函数 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 例2 如图 已知反比例函数y x 0 k是常数 的图象经过点A 1 4 点B m n 其中m 1 AM x轴 垂足为M BN y轴 垂足为N AM与BN的交点为C 1 写出反比例函数解析式 2 求证 ACB NOM 3 若 ACB与 NOM的相似比为2 求出B点的坐标及AB所在直线的解析式 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 分析 1 把A点坐标代入y 可得k的值 进而得到函数解析式 2 根据A B两点坐标可得AC 4 n BC m 1 ON n OM 1 则 再根据反比例函数解析式可得 则 而 可得 再由 ACB NOM 90 可得 ACB NOM 3 根据 ACB与 NOM的相似比为2可得m 1 2 进而得到m的值 然后可得B点坐标 再利用待定系数法求出AB的解析式即可 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 解 1 y x 0 k是常数 的图象经过点A 1 4 k 4 反比例函数解析式为y 2 点A 1 4 点B m n AC 4 n BC m 1 ON n OM 1 B m n 在y 上 而 ACB NOM 90 ACB NOM 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 解 3 ACB与 NOM的相似比为2 m 1 2 m 3 B 3 设AB所在直线解析式为y kx b 解得 解析式为 点拨 此题主要考查了反比例函数的综合应用 关键是掌握凡是函数图象经过的点 必然能使函数解析式左右相等 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 3 相似三角形与二次函数 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 例3 如图 一次函数y 2x的图象与二次函数y x2 3x图象的对称轴交于点B 1 写出点B的坐标 2 已知点P是二次函数y x2 3x图象在y轴右侧部分上的一个动点 将直线y 2x沿y轴向上平移 分别交x轴 y轴于C D两点 若以CD为直角边的 PCD与 OCD相似 求点P的坐标 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 解 1 抛物线y x2 3x的对称轴为 当时 y 2x 3 即B点 3 2 设D 0 2a 则直线CD解析式为y 2x 2a 可知C a 0 即OC OD 1 2 则OD 2a OC a 根据勾股定理可得 CD 以CD为直角边的 PCD与 OCD相似 当 CDP 90 时 若PD DC OC OD 1 2 则PD 设P的横坐标是x 则P点纵坐标是 x2 3x 根据题意得 解得 合作探究 相似三角形与函数的综合应用 活动1 探究四 如何解相似三角形与函数的综合应用 重点 难点知识 则P的坐标是 若DC PD OC OD 1 2 同理可以求得P 2 2 当 DCP 90 时 若PC DC OC OD 1 2 则P 若DC PC OC OD 1 2 则P 故答案为 2 2 点拨 本题考查了二次函数的综合运用 关键是利用平行线的解析式之间的关系 相似三角形的判定与性质 分类求解 1 相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 测高 不能直接使用皮尺或刻度尺量的 2 测距 不能