2010-2012高考数学分类汇总之数列(含答案).doc

数 列二、大题46、（12江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足：（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值 解：（1） （2）， 是各项都为正数的等比数列 设其公比为，则 当时， 数列是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得 当时 数列是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得 由得： 得：，且 数列是公比为的等比数列 当时, 数列是单调递增的数列，这与矛盾 当时, 数列是常数数列，符合题意 47、（12安徽）数列满足： （I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。解：（I）必要条件：当时，数列是单调递减数列 充分条件：数列是单调递减数列得：数列是单调递减数列的充分必要条件是 （II）由（I）得： 当时，不合题意 当时， 当时，与同号，由 当时，存在，使与异号与数列是单调递减数列矛盾得：当时，数列是单调递增数列48、（12广东）设数列的前n项和为，满足且成等差数列。(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对一切正整数,有 解：（1）在中，令得：令得：解得：，又 解得（2）由及得又也满足，所以成立。 （3）（法一） （法二） 当时， 累乘得： 49、（12全国）函数，定义数列如下：是过两点,的直线与轴交点的横坐标。解：（）证明：；（）求数列的通项公式。50、（12江西）已知数列的前项和（其中），且的最大值为。（1）确定常数，并求；（2）求数列的前项和。51、（12湖南）已知数列的各项均为正数，记，（）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列 的通项公式.（）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列。解：（）对任意,三个数是等差数列，所以即亦即故数列是首项为，公差为的等差数列.于是（）（）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有由知，均大于，于是 即，所以三个数组成公比为的等比数列.（）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则 ，于是得即由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意nN，三个数组成公比为的等比数列.52、（12湖北）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为。（1）求等差数列的通项公式；（2）若成等比数列，求数列的前n项和。解：53、（12陕西）设是公比不为1的等比数列,其前项和为，且,成等差数列。()求数列的公比；（）证明：对任意，成等差数列.解：（1）设数列的公比为（）。由成等差数列，得，即。由得，解得，（舍去），所以。（2）证法一：对任意， ，所以，对任意，成等差数列。证法二：对任意， ，因此，对任意，成等差数列。54、（12重庆）设数列的前项和满足，其中。 （I）求证：是首项为1的等比数列；（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件。解：（1）证明：由，得，即。 因，故，得， 又由题设条件知， 两式相减得，即， 由，知，因此 综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。（2）当或时，显然，等号成立。 设，且，由（1）知，所以要证的不等式化为：即证：当时，上面不等式的等号成立。当时，与，（）同为负；当时， 与，（）同为正； 因此当且时，总有 （）（）0,即，（）。上面不等式对从1到求和得，由此得综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。55、（12上海）对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质例如具有性质（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质,且,（为常数),求有穷数列的通项公式。解：（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. 2分 所以x=2b，从而x=4. 4分 （2）证明：取.设满足. 由得，所以、异号. 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，故1X. 7分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则、异号，从而、之中恰有一个为-1.若=-1，则2，矛盾；若=-1，则，矛盾.所以x1=1. 10分 （3）解法一猜测，i=1, 2, , n. 12分 记，k=2, 3, , n. 先证明：若具有性质P，则也具有性质P. 任取，、.当、中出现-1时，显然有满足； 当且时，、1. 因为具有性质P，所以有，、，使得，从而和中有一个是-1，不妨设=-1.假设且，则.由，得，与矛盾.所以.从而也具有性质P. 15分现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , n.当n=2时，结论显然成立； 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, , k； 当n=k+1时，若有性质P，则 也有性质P，所以. 取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1. 若，则1，不可能； 所以，又，所以. 综上所述，i=1, 2, , n. 18分 解法二设，则等价于.记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. 14分注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，所以也只有n-1个数.由于，已有n-1个数，对以下三角数阵 注意到，所以，从而数列的通项公式为 ，k=1, 2, , n. 18分56、（12山东）在等差数列中，（）求数列的通项公式；（）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和。解：（）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，于是，即.（）对任意mN，则，即，而，由题意可知，于是，即.57、（12天津）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且，。 ()求数列与的通项公式；()记，证明。58、（12四川）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（）求,的值；（）设,数列的前项和为,当为何值时,最大？并求出的最大值。本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想解：（I）取，得 取，得 由，得 （1）若，由知（2）若，由知 由、解得，；或综上可得，；或；或5分（II）当时，由（I）知当时，有，所以，即，所以令，则所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而当时，故时，取得最大值，且的最大值为.12分59、（11广东）设,数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，解：（）法一：，得，设，则，（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，设，则，令，得，知是等比数列，又，法二：（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，猜想显然成立；假设当时，则，所以当时，猜想成立，由知，60、（11福建）已知等比数列的公比，前项和（）求数列的通项公式；（）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式解：（）由，得，解得所以（）由（），所以函数的最大值为，于是又因为函数在处取得最大值，则，因为，所以函数的解析式为61、（11北京）若数列（）满足，则称为数列，记。（）写出一个满足，且的数列；（）若，证明数列是递增数列的充要条件是；（）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得，如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由。解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性：由于a2000a10001，a2000a10001a2a11 所以a2000a19999，即a2000a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故是递增数列. 综上，结论得证。 （）令 因为 所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得62、（11安徽）在数1和100之间插入个实数，使得这个实数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令。（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。解：（）设构成等比数列，其中，则并利用，得（）由题意和（）中计算结果，知另一方面，利用得所以63、（11江苏）设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于，当时，都成立。（1）设，求的值；（2）设，求数列的通项公式。解：（1）即：。所以，n1时，成等差，而，（2）由题意：，当时，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：64、（11全国）设数列满足。 （）求的通项公式； （）设，记，证明：。解：（）由得：数列是等差数列，首项为故，从而 （）所以65、（11辽宁）已知等差数列满足。（）求数列的通项公式；（）求数列的前n项和。解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得故数列的通项公式为 5分 （II）设数列，即，所以，当时， 所以 综上，数列 12分66、（11江西）已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值。解：（1）当a=1时，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知： ，同时又有所以：（2）要唯一，当公比时，由且， ，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根），此时满足条件的a有无数多个，不符合。当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合综上：。67、（11湖北）已知数列的前n项和为，且满足： （）求数列的通项公式 （）若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论。解：（）由已知可得，两式相减可得，即，又，所以当r=0时，数列为a,0,0,0，；当时，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比数列，当时，。综上，数列的通项公式为：（）对于任意的，且，是否成等差数列，证明如下：当r=0时，由（），知，故对于任意的，且，成等差数列；当时，。若存在，使得成等差数列，则，即，由（），知的公比，于是对于任意的，且，从而，即是否成等差数列。综上，对于任意的，且，成等差数列。68、（11浙江）已知公差不为0的等差数列的首项为（），设数列的前n项和为，成等比数列。（）求数列的通项公式及；（）记+，+ +，当n2时，试比较与的大小。解：（）设公差为d，则 ，解得：，（）当时；当时69、（11新课标）等比数列的各项均为正数，且求数列的通项公式；设求数列的前n项和.解：（）设数列an的公比为q，由得所以。有条件可知a0,故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。（）故所以数列的前n项和为。70、（11天津）已知数列与满足,且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（III）设证明：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I）解：由可得又（II）证明：对任意 ，得将代入，可得，即又因此是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意71、（11山东）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和。解：（1）当时，不合题意； 当时，当且仅当时，符合题意； 当时，不合题意； 因此 ，所以公比 ，故 （2）因为 所以 所以， 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述， 72、（11四川）设为非零实数，()写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；(),求数列的前n项和。解：（1）因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。（2）（2）（1）73、（11上海）已知数列和的通项公式分别为，()，将集合中的元素从小到大依次排列构成数列。（1）求；（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。解： ； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 。74、（11重庆）设实数数列的前n项和，满足 （I）若成等比数列，求和；（II）求证：对。（I）解：由题意，由S2是等比中项知由解得 （II）证法一：由题设条件有故从而对有， 因，由得要证，由只要证即证此式明显成立.因此最后证若不然又因矛盾.因此证法二：由题设知，故方程（可能相同）.因此判别式又由因此，解得因此由，得因此75、（10安徽）设数列中的每一项都不为0。证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。证：先证必要性.设数列的公差为.若，则所述结论显然成立.若，则再证充分性.证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切都成立.首先，在等式 两端同乘，即得，所以，成等差数列，记公差为，则.假设，当时，观察如下二等式 将代入，得，在该式两端同乘，得，将代入其中，整理后，得.由数学归纳当原理知，对一切都有，所以是公差为的等差数列.证法2：(直接证法)依题意有 -得 在上式两端同乘，得 同理可得 -得，即，所以为等差数列.76、（10江苏）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立，求证：的最大值为。 77、（10湖北）数列满足：，0数列满足：（1）求数列、的通项公式；（2）求证：数列中的任意三项不可能成等差数列。解：（1）由，1，又0，0 11 （2）用反证法证明。假设数列bn存在三项br，bs，bt（rsbsbt，则只可能有2 bs=br+ bt成立。2（）s-1=（）r-1+（）t-1，两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=22s-r3t-s。由于rs2时 当c2时，令，由得 当 当时，且 于是， 当时， 因此不符合要求 所以c的取值范围是源81、（10上海）已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。 解：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nN*)； 解不等式SnSn+1，得，当n15时，数列Sn单调递增； 同理可得，当n15时，数列Sn单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值82、（10陕西）已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和。 解：（1）由题设知公差d0 由且成等比数列得 解得d=1,d=0（舍去） 故的通项 （2）由（1）知，由等比数列前n项和公式得:.83、（10山东）已知等差数列满足：的前项和为 （）求及；（）令，求数列的前项和 解:（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得， 所以；=。 （）由（）知，所以bn=， 所以=， 即数列的前n项和=。84、（10全国）已知数列的前项和（）求；（）证明：本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知 识解决问题的能力.85、（10新课标）设数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。 解：（）由已知，当n1时， 。 而 所以数列的通项公式为。 （）由知 从而 -得 。 即 86、（10重庆）在数列中，其中实数.（）求的通项公式；（）若对一切有，求的取值范围. （）解法一：由， ， ， 猜测. 下用数学归纳法证明. 当时，等式成立； 假设当时，等式成立，即，则当时， ， 综上， 对任何都成立. 解法二：由原式得. 令，则，因此对有 ， 因此，. 又当时上式成立. 因此. （）解法一：由，得， 因，所以. 解此不等式得：对一切，有或，其中 ， . 易知， 又由，知 ， 因此由对一切成立得. 又，易知单调递增，故 对一切成立，因此由对一切成立得. 从而的取值范围为. 解法二：由，得 ， 因，所以对恒成立. 记，下分三种情况讨论. （）当即或时，代入验证可知只有满足要求. （）当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时， 不符合题意，此时无解. （）当即或时，抛物线开口向上，其对称轴 必在直线的左边. 因此，在上是增函数. 所以要使对恒成立，只需即可. 由解得或. 结合或得或. 综合以上三种情况，的取值范围为.87、（10天津）在数列中,且对任意.，成等差数列,其公差为。（）若=，证明，成等比数列（）（）若对任意，成等比数列，其公比为。 （）若，证明是等差数列。 （）若，证明： 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运 算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。 （）证明：由题设，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比数列。 （）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列， 得 当1时，可知1，k 从而 所以是等差数列，公差为1。 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由可知。可得， 所以是等差数列，公差为1。 （）（）证明：，可得，从而=1.由（）有 所以 因此， 以下分两种情况进行讨论： (1)当n为偶数时，设n=2m(),若m=1,则. 若m2，则+ 所以 (2)当n为奇数时，设n=2m+1（） 所以从而 综合（1）（2）可知，对任意,有88、（10四川）已知数列满足，且对任意都有 。（）求；（）设证明：是等差数列；（）设，求数列的前项和.本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解：（）由题意，令 再令（2分） （） 所以，数列（5分） （）由（）、（）的解答可知一、小题1、（12福建）等差数列中，则数列的公差为（ ）A1 B2 C3 D42、（12福建）数列的通项公式，前项和为，则 _。3、（12北京）已知等差数列为其前n项和。若，则 ； 。 4、（12辽宁）在等差数列中，已知，则该数列前11项和（A）58 （B）88 （C）143 （D）175、（12辽宁）已知等比数列为递增数列，且，则数列的通项公式 。6、（12江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 。7、（12安徽）公比为的等比数列的各项都是正数，且（A）4 （B）5 （C）6 （D）78、（12全国）已知等差数列的前n项和为，则数列的前100 项和为 (A) (B) (C) (D)9、（12江西）设数列,都是等差数列，若则_。10、（12湖北）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在上的如下函数：；。则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）A. B. C. D.11、（12广东）已知递增的等差数列满足_。12、（12新课标）已知为等比数列，则（ ） 13、（12新课标）数列满足，则的前项和为 。14、（12四川）设函数，是公差为的等差数列，则（ ）A、 B、 C、 D、15、（12四川）记为不超过实数的最大整数，例如，。设 为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有_。（写出所有真命题的编号）16、（12上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。17、（12重庆）在等差数列中，则的前5项和= A.7 B.15 C.20 D.2518、（12浙江）设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是 A若，则数列有最大项； B若数列有最大项，则； C若数列是递增数列，则对任意，均有； D若对任意，均有，则数列是递增数列。19、（12浙江）设公比为的等比数列的前项和为。若，则 。20、（11广东）等差数列的前9项和等于前4项和，若，则 。21、（11北京）在等比数列中,若,则公比 ； 。22、（11江苏）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_。23、（11全国）设为等差数列的前n项和，若，公差，则 (A)8 (B)7 (C)6 (D)524、（11江西）已知数列的前项和满足：+=，且，那么=( )A.1 B.9 C.10 D.5525、（11湖南）设是等差数列，的前项和，且，则= 。26、（11湖北）九章算术“竹九节”问题:现有1根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。27、（11天津）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为A B C D28、（11四川）数列的首项