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给初中生说说科学的大厦如何一步步建立在数学上 Writer neo 2017 2 16 如果我说 所有的科学都是建立在加法上 你肯定会觉得 废话 好吧 那我再加两种 圆和指数函数 科学总是想研究某个事物如何运动 太阳 地球 风 水 飞鸟 细胞 分子 原子 电子 光子 都在运动 从数学形式来看 运动就是某个数值随着时间的变化 用数学方式表达就是 x f t x 是要求解的值 f 表示一个规则 t 代表时间 以我现在的知识 看到的基本运动就是三种 直线运动 圆周运动和指数运动 直线运动 直线运动很容易理解 比如一辆汽车 匀速往前开 数学表达式就是 x a v t x 表示 距离 a 表示起点 v 表示速度 t 表示时间 直线运动我再给个名字 线性变化 也就是 某个值随着时间在均匀变化 线性变化是从加法直接推导出来的 或者说加法就是线性变化 的另外一种说法 研究中 几乎所有的模型最后都要转化成一种线性变化来研究 圆周运动 圆周运动也容易理解 比如地球围绕太转 月亮围着地球转 理想的模型是 一个质点 围着中心点匀速转动 y P x P 这一点的运动轨迹表达成坐标形式是 x r cos t y r sin t 其中 r 是半径 是角速度 x 表示在 X 轴方向的值 y 是 Y 轴方式的值 把 x 与时间 t 的变化 用坐标图形来表示是 象这样的图形 一个值围着中心值上下波动 我们又叫波 波的变化速度 一秒内振荡 几次 叫频率 如果变化规律满足正弦或者余弦 我们又叫正弦 余弦波 声波 水波 都满足这类型 你可能疑惑 声波为什么是正弦 余弦呢 下面用一个理 想模型来解释 一个小球接在弹簧上 小球的震动与空气分子的振动类似 小球一直在中心 附近来回运动 理想的弹簧是 弹力与弹簧的变形成正比 加速度与受力正比 所以小球的加速度与位 置正线性关系 kss s 代表距离 s 表示距离的变化率 也就是速度 s表示变化率的变化率 也就是加 速度 k 代表一个系数 是常数 加上负号 是因为弹力始终指向原点 和距离的符号相反 那么 什么函数的 变化率的变化率 与本身成线性关系 答案就是正弦 余弦函数 具体证明见附 1 先说下重点 该证明用到三角形基本原理 所以 sin tls 其中 l 是与 k 有关的一个常数 为了不至于让你觉得太烦 我 就不具体解释了 现在你只需要知道结论 当一个 值的变化率的变化率 受到该值的线性约束 那这个 值的变化就是正弦 余弦变化 自然界中满足这个条件的现象非常多 指数运动 指数运动 不太直观 改成指数变化 x a 你可能会更适应 先讲重点结论 如果 一个值的变化速度与该值成线性关系 那就是指数变化 举个直观的例子 存银行会得到利息 假如存 100 元到银行 利息是一年 5 那么 存 x 年 钱的变化就是 xx 05 1 100 05 01 100 再举个例子 自然界中放射性元素的衰减 是按指数形式衰减 在电子线路中 三种基本元器件 电阻 电容 电感 其中电容和电感的充放电模型就 满足指数变化 还有 假如人口的出生率固定 那么人口的变化也是指数变化 指数函数中的指数如果是正 那么是增长 如果指数是负 那么是衰减 看上面两图 从变化率角度来看 如果某个值是指数函数 那么它的变化率与该值成线性关系 也就是 xx aaa ln 其中 ln a 是以自然底数 e 2 781 为底的对数函数 也就是说 yky 在自然界中 最多见的是衰减 因为从能量的观点来看 一个局部的系统的能量在没有 新增能量的情况下 总是逐步消耗掉 运行的组合 自然界中 完全按三种基本方式运动的没有 但都基本是这三种运动的叠加 不同频率的正弦波之间可以叠加 比如 人的说话声音 可以分解成很多正弦波 不 同的人的口音不一样 是因为各频率成分的比例不一样 光线也是波 可以分解成不同频率 不同频率对应的就是不同颜色 也就是说我们的人眼是可以检测光的频率的 而且把光给分 解了 正弦变化与指数变化之间可以叠加 比如之前弹簧的例子 考虑弹簧的热能损耗 那小 球就是以指数衰减的正弦变化 从数学上来看 在工程计算中 常写出以下的方程式 tfyqypy 这个式子表达的内容是 某个值的变化率的变化率 加上该值的变化率 再加上该值 等于某个能量输入 求解后 可以看到 y 就是一个指数加正弦的变化 在系统变得复杂的时候 会出现求变化率的变化率的变化率的变化率 的方程 但 因为指数函数不论怎么求变化率 都是与自身成线性 所以 所有的线程变化方程 严格的 说是常系数的微分方程 解的形式上都是指数函数 而且三角函数 也同样可以用指数函 数的复指数来表达 总结 最后 总结一下 因为自然界中的事物运动 基本上是某个值在时间的线性关系 或者 这个值的变化 或者变化的变化的变化率 和自身正线性 而三角函数与指数函数又正好对 应这类线性关系 而且三角函数还可以用指数函数的复指数形式表达 所以 这个复杂的世界可以用指数函数来表达 附 1 三角函数的变化率证明 t sin t t sin cos t t cos sin t sin t t sin t sin t t 当t 变得非常小 也就是无限接近零的时候 cos t 就是 cos 0 也就是 1 sin t 可以看成t 所以上式就变成 cos cos sin cos 1 sin t t tt t tttt 上面的推导 用到了两个知识点 1 sin t 在t 无限小时 可以相等 用下面的图来说明 AC BD 在单位圆里 t 就是 AD 这段弧 sin t 就是 AB 的长度 当t 越来越小 AB 与 DC 就相等了 而t 又小于 CD 并大于 AB 所以t 必须就等于了 AB 所以 sin t 在t 无限小时 可以相等 2 三角函数中的一个公式 sin cos cos sin sin 该公式的证明 如下 A EB D oC 作单位圆 所以 AE sin OE cos Sin 就等于 AC 接下来求 AC 的过程如下 cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin1 sin cos sin cos sin cos 1 sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos cos sin cos 90 2 2 2 tag tagDCAD tagODDC tagtagAEDEOEOD AE AD DOCDAE OEAOCD ADEODC O 附 2 指数函数的变化率 x a a x aa a x x xxx x 1 x a 在 x 确定时 是固定的 留下来问题就是 x a x 1 在x 变成无限小的时候 是不是一个 固定的值 答案是肯定的 因为变化率就是一条曲线在一点上面的切线 而指数函数的曲线 是光滑的 明显是应该存在一条切线 而且 我们可以拉伸 X 轴 相当于改变 a 的值 让这个切线在 0 1 这点上的切线看上去 等于 1 当切线的斜率等于 1 的时候 这个底数我们叫做 e 自然底数 我们再定义 ln a 是以 e 为底的对数函数 那么 我们可以把 a 写成 a eln 再我们让axh