二次函数与存在相似三角形.doc

精品文档二次函数与存在相似三角形3、（红河）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；（2）求ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）在y=x2+4中，当y=0时，即x2+4=0，解得x=2当x=0时，即y=0+4，解得y=4点A、B、C的坐标依次是A（2，0）、B（2，0）、C（0，4）设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得所以直线BC的解析式为y=2x+4（2）点E在直线BC上，设点E的坐标为（x，2x+4），则ODE的面积S可表示为：当x=1时，ODE的面积有最大值1此时，2x+4=21+4=2，点E的坐标为（1，2）（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与OAC相似，理由如下：设点P的坐标为（x，x2+4），0x2因为OAC与OPD都是直角三角形，分两种情况：当PDOCOA时，解得，（不符合题意，舍去）当时，此时，点P的坐标为当PDOAOC时，解得，（不符合题意，舍去）当时，=此时，点P的坐标为综上可得，满足条件的点P有两个：，1. (2014东营T25)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=x2+bx+c与直线BC交于点D（3，4）（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标解：（1）y=2x+2，当x=0时，y=2， B（0，2）当y=0时，x=1， A（1，0）抛物线y=x2+bx+c过点B（0，2），D（3，4）， 解得， y=x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，直线BD的解析式为：y=2x+2；（2）存在如图1，设M（a，a2+a+2）MN垂直于x轴， MN=a2+a+2，ON=ay=2x+2， y=0时，x=1，C（1，0）， OC=1B（0，2）， OB=2当BOCMON时， ， ， 解得 a1=1， a2=2. M（1，2）或（2，4）；如图2，当BOCONM时， ， a=或，M（，）或（，）又M在第一象限， 符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）； （3）设P（b，b2+b+2），H（b，2b+2）如图3，四边形BOHP是平行四边形， BO=PH=2PH=b2+b+2+2b2=b2+3b 2=b2+3bb1=1，b2=2当b=1时，P（1，2），当b=2时，P（2，0） P点的坐标为（1，2）或（2，0）3.(2014钦州T26)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PEx轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），解得， 抛物线的解析式为y=x2x+4；（2）E（m，0），B（0，4），PEx轴交抛物线于点P，交BC于点G，P（m，m2m+4），G（m，4），PG=m2m+44=m2m；（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似y=x2x+4，当y=0时，x2x+4=0，解得x=1或3，D（3，0）当点P在直线BC上方时，3m0设直线BD的解析式为y=kx+4，将D（3，0）代入，得3k+4=0，解得k=，直线BD的解析式为y=x+4，H（m，m+4）分两种情况：如果BGPDEH，那么=，即=，由3m0，解得m=1；如果PGBDEH，那么=，即=，由3m0，解得m=综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似，此时m的值为1或4.（2014成都T28）如图，抛物线y=（x+2）（x4）（k为常数，且k0）与x轴从左至右依次交于A，B，与x轴交于C，经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？解：（1）抛物线y=（x+2）（x4），令y=0，解得x=2或x=4，A（2，0），B（4，0）直线y=x+b经过点B（4，0），4+b=0，解得b=，直线BD解析式为：y=x+当x=5时，y=3，D（5，3）点D（5，3）在抛物线y=（x+2）（x4）上，（5+2）（54）=3，k=（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=k，C（0，k），OC=k因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCABP若ABCAPB，则有BAC=PAB，如答图21所示设P（x，y），过点P作PNx轴于点N，则ON=x，PN=ytanBAC=tanPAB，即：，y=x+kD（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x4），得（x+2）（x4）=x+k，整理得：x26x16=0，解得：x=8或x=2（与点A重合，舍去），P（8，5k）ABCAPB，即，解得k=若ABCABP，则有ABC=PAB，如答图22所示与同理，可求得：k=综上所述，k=或k=（3）由（1）知：D（5，3），如答图3，过点D作DNx轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，tanDBA=，DBA=30过点D作DKx轴，则KDF=DBA=30过点F作FGDK于点G，则FG=DF由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段过点A作AHDK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点A点横坐标为2，直线BD解析式为：y=x+，y=（2）+=2，F（2，2）综上所述，当点F坐标为（2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少5.（2014衡阳T28）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的交点为A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3m）（其中m0），顶点为D （1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； （2）如图，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与BOC相似？解：（1）抛物线与x轴交点为A（3，0）、B（1，0），抛物线解析式为：y=a（x+3）（x1）将点C（0，3m）代入上式，得a3（1）=3m，m=a，抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x1）=mx2+2mx3m（2）当m=2时，C（0，6），抛物线解析式为y=2x2+4x6，则P（x，2x2+4x6）设直线AC的解析式为y=kx+b，则有，解得，y=2x6如答图，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F，则F（x，2x6）PF=yFyP=（2x6）（2x2+4x6）=2x26xS=SPFA+SPFC=PFAE+PFOE=PFOA=（2x26x）3S=3x29x=3（x+）2+S与x之间的关系式为S=3x29x，当x=时，S有最大值为（3）y=mx2+2mx3m=m（x+1）24m，顶点D坐标为（1，4m）如答图，过点D作DEx轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OAOE=2；过点D作DFy轴于点F，则DF=1，CF=OFOC=4m3m=m由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CF2+DF2=m2+1；AD2=DE2+AE2=16m2+4ACD与BOC相似，且BOC为直角三角形，ACD必为直角三角形i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，整理得：m2=，此种情形不存在；ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，整理得：m2=，m0，m=此时，可求得ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=；BOC的三边长为：OB=1，OC=，BC=两个三角形对应边不成比例，不可能相似，此种情形不存在；iii）若点C为直角顶点，则AC2+CD2=AD2，即：（9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，整理得：m2=1，m0，m=1此时，可求得ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=3；BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC=，满足两个三角形相似的条件m=1综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与BOC相似6.（2014西宁T28）如图，抛物线y=x2+x2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到FEC，连接BF （1）求点B，C所在直线的函数解析式； （2）求BCF的面积； （3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）当y=0时，x2+x2=0，解得x1=2，x2=4，点A，B的坐标分别为（2，0），（4，0）.当x=0时，y=2，C点的坐标分别为（0，2）.设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得直线BC的解析式为y=x3；（2）CDx轴，BDy轴，ECD=90.点B，C的坐标分别为（4，0），（0，2），BC=2.FEC是由BDC绕点C逆时针旋转得到，BCF的面积=BCFC=22=10；（3）存在分两种情况讨论：过A作AP1x轴交线段BC于点P1，则BAP1BOC，点A的坐标为（2，0），点P1的横坐标是2.点P1在点BC所在直线上，y=x2=22=1.点P1的坐标为（2，1）；过A作AP2BC，垂足点P2，过点P2作P2Qx轴于点QBAP2BCO.=，=.解得AP2=.=，AP2BP=COBP2.4=2BP2.解得BP2=.ABQP2=AP2BP2，2QP2=.解得QP2=.点P2的纵坐标是.点P2在BC所在直线上，x=.点P2的坐标为（，）.满足条件的P点坐标为（2，1）或（，）7.（2014威海T25改编）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点 （1）求这条抛物线的解析式； （2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）该抛物线过点C（0，2），可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2将A（1，0），B（4，0）代入，得 .解得 .抛物