复变函数第2章测验题参考解答.pdf

国防科大 复变函数 2 1 解析函数 2 1 1 极限与连续性 2 1 2 导数 解析函数 2 1 3 柯西一黎曼条件 15 道题目 一 选择题 1 函数 zf在点z可导是 zf在点z解析的 A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件也非必要条件 答案 B 解析 由定义 zf在点z解析要求 zf在点z的一个邻域内可导 因此在z处一定可导 但反之则不成立 例如函数 2 f zz 在0z 处可导但不解析 故选 B 2 下列函数中 在复平面 上为解析函数的是 A 22 2xyxyi B 2 xxyi C 22 2 1 2 xyi yxx D 33 xiy 答案 C 解析 对于 A 中函数 22 2 2 2 2 2 xyyx u x yxy v x yxy ux vx uy vy 只有在0z 时才满足柯西黎曼条件 故在 上均不解析 对于 B 中函数 2 2 0 xyyx u x yx v x yxy ux vx uvy 只有在0z 时才满足柯西黎曼条件 故在 上均不解析 对于 C 中函数 22 2 1 2 2 2 2 1 xyy u x yxy v x yyxx uy vy ux 2 x vx 2 在全平面都满足柯西黎曼条件 故是解析函数 故选 C 对于 D 中函数 3322 3 3 0 0 xyyx u x yx v x yy ux vy uv 只有在y x 时才满足柯西黎曼条件 故不是解析函数 3 函数 2 3 zzf 在点0 z处 A 解析 B 可导但不解析 C 不可导 D 不连续 答案 B 解析 因为 国防科大 复变函数 22222 3 3 3 0 6 6 0 0 xyxy f zzxyuxyvux uy vv 仅当0z 时 满足柯西黎曼条件 故函数在0z 可导 但不解析 故选 B 4 极限 0 1 lim 2 z zz i zz A 等于 0 B 等于 1 C 等于 1 D 不存在 答案 D 解析 因为 22 22 000 112 lim limlim 22 zzz zzzzxy i zzizzxy 取ykx 2 22222 00 222 limlim 1 1 zx xykxk xykxk 极限值与路径有关 所以极限不存在 故选 D 5 设函数 z ezf 则 zf在0 z处 A 不连续 B 连续但不可导 C 可导但不解析 D 解析 答案 B 解析 设z xiy 则 cossin cossin zxx f zeeyiyeyiy 由此得 cos sin xx u x yey v x yey 它们均为连续函数 所以 f z连续 因为 cos sin sin cos xxxx xyxy uey uey vey vey 在 0 0 处 1 1 xy uv xy uv 所以 f z在 内无处可导 因此选 B 二 填空题 1 2 1 1 lim 1 z z zzz z 答案 1 解析 22 111 1 1 1 1 limlimlim1 111 zzz z zzzzzzz zzz 2 设函数 22 yxivyxzf 在复平面上解析 则 1 2 f 的值为 答案 1 解析 由条件可知 22 yxyxu 222 xxxy fzuivuiuxyiz 所以 1 1 2 f 国防科大 复变函数 3 若函数 2222 2 f zxxyyi yaxyx 在复平面内处处解析 那么实常数 a 答案 2 解析 因为 令 2222 2 u x yxxyyv x yyaxyx 22 2 22 2 xy yx uxy vyax uxy vayx 由于函数在平面处处解析 所以满足柯西黎曼条件 xyyx uv uv 可得2 a 4 设 zf在复平面上连续 且满足 0 1f 与 3 zfzf 则 zf 答案 1 解析 由于 3 zfzf 或 3 z f zf 由此有 2 333n zzz f zfff 根据 f z在0z 处的连续性有 lim 0 1 3n n z f zff 三 是非题 1 若函数 zf在点 0 z处满足柯西 黎曼条件 则它在点 0 z处可微 答案 错误 解析 在点 0 z处可微当且仅当 yxvyxu可微 并且满足柯西 黎曼条件 例如 函 数 f zxyzxiy 该函数在0z 处满足柯西 黎曼条件 但不可导 2 若 zf在 0 z的某个邻域内可导 则函数 zf在 0 z的该邻域内解析 答案 正确 解析 因为函数在一个区域内解析等价于函数在该区域内可导 3 若 zf在区域 D 内解析 且0 z f 则Czf 其中C为常数 答案 正确 解析 由于 zf在区域 D 内解析 所以满足柯西黎曼条件 xyyx vuvu 又 0 xx ivuzf可知 0 yyxx vuvu 由此 u v为常数 所以 Czf 常数 4 若函数 zf在 0 z处连续 则 zf在 0 z的一个邻域内连续 答案 错误 国防科大 复变函数 解析 例如 0 xy x yQ f zzxiy x yR Q 该函数仅在0z 处连续 5 若函数 yxivyxuzf 在区域D内连续 则 yxu与 yxv均在D内连续 答案 正确 解析 由于 zf在 D 内连续 当且仅当其实函数 yxu与 yxv均在 D 内连续 2 2 初等函数 2 2 1 指数函数 2 2 2 多值函数导引 辐角函数 2 2 3 对数函数 2 2 4 幂函数 2 2 5 三角函数 15 道题目 一 选择题 1 下列复数中不是实数的是 其中涉及的多值函数取主值分支 A cosi B lni C i i D sini 答案 B 解析 因为 1 cos 2 ee i ln ln arg 2 ii iii 2 2 n 222 i ikk i iiL i ieeee 1 sin 2 ee ii 故选 B 2 设z满足方程 13 z ei 则Im z A 1 2 3 k B 1 2 3 k C 1 2 6 k D 1 2 6 k 答案 A 解析 因为 13 Ln 13 ln2 Arg 13 ln2 2 3 z ei ziiiik i 由此有 1 Im 2 3 zk 故选 A 3 设 1 z和 2 z为非零复数 则下列等式中 不成立的是 国防科大 复变函数 A 1 21 2 Re Re z zz z B 22 1212 Ln 2Ln2Lnz zzz C 1 12 2 Arg ArgArg z zz z D 11 2 2 2 2 zz z z z 答案 B 解析 由对数的运算性质有 2222 1212 Ln LnLnz zzz 但 2 Ln2Lnzz 例如取1z 则容易验证 故选 B 其他 等式均可由相应的运算法则得到 4 设D为复平面除去上半虚轴的割缝区域 zw 为该区域上的单值分支 且 iw 1 则 iw 的值为 A 1 2 2 i B 1 2 2 i C 1 2 2 i D 1 2 2 i 答案 D 解析 由根式函数定义有 arg2 2 0 1 i zk wzz ek 因为在所给割缝区域上幅角 主值为 3 arg 22 z 所以arg 1 由 1 wi 有 2 2 i k ie 所以0k 因此所确定的单值分支为 arg 2 i z wze 又因为arg 2 i 所以 arg 24 222 1 222 i i wii eeii 故选 D 5 设z满足方程 iz i e k 则 zRe A 12 k B 2 1 2 k C k2 D k 答案 B 解析 因为 2 2 LnArg Ln 22 ikik iiiiii ieeee 所以 2 2 2 zkki k k 由此Re 2 2 zk 故选 B 6 设 LnLn 1 f zzz Im f z在2z 的初始值取为零 点z从2开始沿2z 逆 时针方向运动一周再回到2 此时Im f z的值为 国防科大 复变函数 A 0 B C D 2 答案 A 解析 因为 LnLn 1 lnln1 ArgArg 1 f zzzzzizz 所以 Im ArgArg 1 f zzz 当z从2开始沿2z 逆时针方向运动一周再回到2时 Arg z和Arg 1 z 均增加2 所以ArgArg 1 zz 的改变量为零 因此选 A 二 填空题 1 若ln 2 zi 则 2 z 答案 1 解析 由于 2 ln 2 i zi zei 所以 2 1z 2 2Re sin i 答案 0 解析 因为 2222 sin2 22 eeee ii i 2Re sin i0 故答案为 0 3 设 f z是函数 arg2 5 5 5 0 1 2 3 4 i zk wzz ek 在沿正实轴割开的割缝区域的一 个单值分支 若 7 10 i fie 则k的值为 答案 1 解析 因为 3 arg 2 i 所以 若 73 2 1052 i ik efie 由此知1k 4 函数 2 1wz 的支点个数为 答案 2 解析 函数可能的支点为1 1 由于 Arg 1 Arg 1 2 2 1 1 1 1 1 i zz wzzzzze 设C为包含1但不包含1 的简单闭曲线 则沿逆时针方向绕C一周时Arg 1 z 增加2 而Arg 1 z 没有改变 所以函数值由原来的w变成w 因此1z 为函数的支点 同样 可以验证1z 也为函数的支点 作包含1和1 的简单闭曲线C 则逆时针方向绕行一周时 国防科大 复变函数 Arg 1 z 和Arg 1 z 均增加2 从而函数值没有改变 所以z 不是函数的支点 因 此函数的支点个数为2 三 是非题 1 对任意的0 z 必有 2 Ln2Lnzz 答案 错误 解析 反例取 1z 2 Ln Ln 1 2 0 1 2 zk i k 11 2Ln 2Ln 1 2 2 0 1 2 zki k 2 Lnz 包含的元素比2Lnz元素多 所以结论不正确 2 函数zsin在区域 2Im0 zzD内有界 答案 正确 解析 由于sin sin sin