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生活中的优化问题举例 1 优化问题 优化问题就是最值问题 导数是求函数最值的有力工具 2 例1 用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形 然后把四边翻折90o 再焊接而成 问该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 面积 容积的最值问题 3 1 解决面积 容积的最值问题 要正确引入变量 将面积或容积表示为变量的函数 结合实际问题的写出定义域 利用导数求解函数的最值 题后感悟 4 2 步骤 5 1 如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 变式训练 6 例2 已知A B两地相距200千米 一只船从A地逆水而行到B地 水速为8千米 小时 船在静水中的速度为v千米 小时 8 v v0 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比 当v 12千米 小时时 每小时的燃料费为720元 为了使全程燃料费最省 船在静水中的速度为多少 费用最省 用料最少问题 7 2 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 变式训练 9 利润最大问题 10 3 某集团为了获得更大的收益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t 百万元 可增加销售额约为 t2 5t 百万元 0 t 3 1 若该公司将当年的广告费控制在300万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司由此获得的收益最大 变式训练 11 甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v 千米 时 的平方成正比 比例系数b b 0 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v 千米 时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 12 解应用题的思路和方法解应用题首先要在阅读材料 理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题 就是从实际问题出发 抽象概括 利用数学知识建立相应的数学模型 再利用数学知识对数学模型进行分析 研究 得到数学结论 然后再把数学结论返回到实际问题中去 其思路如下 小结 13 1 审题 阅读理解文字表达的题意 分清条件和结论 找出问题的主要关系 2 建模 将文字语言转化成数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 解模 把数学问题化归为常规问题 选择合适的数学方法求解 4 对
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