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数据、模型与决策案例分析报告数据、模型与决策案例分析一Quality associates管理报告2014年01月02日目录一、案例背景3二、案例分析框架4三、案例问题解答9四、案例结论与建议.12一、案例背景案例9-1 Quality Associates 有限公司Quality Associates有限公司是一家咨询公司，为委托人监控其制造过程提供抽样和统计程序方面的建议。在一个应用项目中，一名委托人向Quality Associates提供了其程序正常运行时的800个观察值，组成一个样本。这些数据的样本标准差为0.21。Quality Associates建议改委托人连续地定期选取样本容量为30的随机样本以对改程序进行监测。通过对这些样本的分析，委托人可以迅速知道该程序运行状况是否令人满意。当改程序的运行令人不满意时，应采取措施以避免出现问题。设计规格要求该过程的均值为12，Quality Associates建议该委托人采用如下形式的假设检验。原假设：H0:只要拒绝H0，就应采取纠正措施。以下为在第一天运行时，间隔一小时这种新型统计控制过程程序所搜集的样本数据。这些数据可供我们使用，它们被保存在本书附带的光盘中，文件名为Quality。Sample 1Sample 211.5512.1312.0011.6212.2012.0711.6212.0912.0411.6912.1612.1111.5211.9311.9811.5912.0012.0511.7512.2112.3011.8212.2812.3711.9012.3212.1811.9712.3912.2511.6411.9311.9711.7112.0012.0411.8011.8512.1711.8711.9212.2412.0311.7611.8512.1011.8311.9211.9412.1612.3012.0112.2312.3711.9211.7712.1511.9911.8412.22Sample 3Sample 411.9112.1211.6012.0212.1112.3011.3611.6111.9512.0211.9012.2711.7512.2111.9612.0512.2212.2911.9511.5612.2212.1811.8812.4712.1411.9511.7512.1112.0312.0311.7212.0111.9612.0712.3512.1711.6112.0611.9512.0512.0911.9411.8511.7611.8911.6411.7711.9712.1611.8211.8812.3912.2012.2311.9112.1211.9311.6511.7912.25管理报告：1、 对每个样本在0.01的显著性水平下进行假设检验，如果需要采取措施的话，确定应该采取何种措施？给出每一检验的检验统计量和p-值;2、 考虑四个样本中每一样本的标准差。假设总体标准差为0.21是否合理;3、 当样本均值在=12附近多大限度以内时，我们可以认为该过程的运行令人满意？如果超过上限或低于下限，则应对其采取纠正措施。在质量控制中，这类上限或下限被称做上侧或下侧控制限;4、 当显著性水平变大时，暗示着什么？这时，哪种错误或误差将增大？二、案例分析框架（一）问题界定本案例问题属于决策中的假设检验。假设检验是抽样推断中的一项重要内容，它是根据原始资料做出一个总体指标是否等于某一个数值，某一随机变量是否服从某种概率分布的假设，然后利用样本资料采用一定的统计方法计算出有关检验的统计量，依据一定的概率原则，以较小的风险来判断估计数值与总体数值(或者估计分布与实际分布)是否存在显著差异，是否应当接受原假设的一种检验方法。在决策中的假设检验，不论是否拒绝原假设，都必须采取相应的措施，因为我们除了要控制发生第一类错误的概率，也要对发生第二类错误的概率进行控制。（二）解决方案假设检验的原理是含概率意义的反证法：在原假设为真的前提下考虑某统计量的一次实现值，若该值的出现是一个小概率事件，则表明原假设成立的前提是不正确的，从而拒绝原假设。 步骤：1、提出原假设和备择假设。 原假设：样本与总体或样本与样本间的差异是由抽样误差引起的； 备择假设：样本与总体或样本与样本间存在本质差异。2、制定检验的显著性水平。显著性水平即预先设定的检验水准。当检验假设为真，但被错误地拒绝的概率，记作，通常取=0.05或=0.01。3、收集样本数据，计算检验统计量的值。由样本观察值按相应的公式计算出统计量的大小，如Z值、t值等。4、选定检验方法根据资料的类型和特点，可分别选用临界值方法和P-值方法。 （1）临界值方法根据显著性水平确定临界值及拒绝规则，然后利用检验统计量的值与拒绝规则决定是否拒绝原假设。（2）P-值方案根据统计量的大小及其分布确定检验假设成立的可能性P的大小并判断结果。若P，结论为按所取水准不显著，不拒绝H0，即认为差别很可能是由于抽样误差造成的，在统计上不成立；如果P,结论为按所取水准显著，拒绝H0，则认为此差别不大可能仅由抽样误差所致，很可能是实验因素不同造成的，故在统计上成立。（三）案例数据分析1、确定数据性质在做数据分析前，需要先确定该数据的性质，即数据是否属于正态分布。因为该4个样本随机抽取于间隔一小时的第一天生产中，且样本容量n足够大，n均等于30，因此可以视该数据分布为正态分布，可以使用正态分布的分析工具进行分析。2、检验数据是否异常测量方法：利用z分数检验，我们把z分数大于3或小于-3的数据视为异常值。Sample 1Sample 2Sample 3Sample 411.55-1.85 11.62-1.8511.910.1012.02-0.3011.62-1.54 11.69-1.5411.36-2.5512.02-0.3011.52-1.99 11.59-1.9911.75-0.6712.05-0.1511.75-0.95 11.82-0.9511.950.2912.180.4811.90-0.27 11.97-0.2712.141.2112.110.1411.64-1.45 11.71-1.4511.72-0.8212.07-0.0511.80-0.72 11.87-0.7211.61-1.3512.05-0.1512.030.32 12.100.3211.85-0.1911.64-2.1411.94-0.08 12.01-0.0812.161.3112.391.5011.92-0.18 11.99-0.1811.910.1011.65-2.0912.130.78 12.200.7812.121.1212.110.1412.090.60 12.160.6011.61-1.3511.90-0.8811.93-0.13 12.00-0.1312.211.5512.220.6712.211.14 12.281.1411.56-1.5911.88-0.9812.321.64 12.391.6411.950.2912.03-0.2511.93-0.13 12.00-0.1312.010.5812.351.3011.85-0.49 11.92-0.4912.060.8312.090.0411.76-0.90 11.83-0.9011.76-0.6211.77-1.5112.160.91 12.230.9111.82-0.3312.200.5811.77-0.86 11.84-0.8612.121.1211.79-1.4112.000.19 12.070.1911.60-1.3912.301.0612.040.37 12.110.3711.950.2912.270.9211.980.10 12.050.1011.960.3412.291.0112.301.55 12.371.5512.221.6012.471.8912.181.00 12.251.0011.75-0.6712.03-0.2511.970.05 12.040.0511.960.3412.170.4312.170.96 12.240.9611.950.2911.94-0.6911.85-0.49 11.92-0.4911.890.0011.97-0.5412.301.55 12.371.5511.88-0.0412.230.7212.150.8712.220.8711.930.2012.250.8211.9612.0311.8912.08S0.22S0.22S0.21S0.21min Z-分数-1.99min Z-分数-1.99min Z-分数-2.55min Z-分数-2.14max Z-分数1.64max Z-分数1.64max Z-分数1.60max Z-分数1.89结论：通过对以上4个样本的数据分析发现，z最小值出现在样本3中，为-2.55，大于-3，属正常范围；z最大值出现在样本4中，为1.89，小于3，也是正常数据，因此4个样本数据中无异常值。三、案例问题解答1、数据分析表我们首先对4个样本的均值、样本最值、样本方差、样本标准差等进行计算，使用工具为excel。计算公式如下：均值=AVERAGE(X1:X30)最大值=MAX(X1:X30)最小值=MIN（X1：X30）样本方差=VAR(X1：X30)样本标准差s=STDEV(X1:X30)Sample 1Sample 211.5512.1312.0011.6212.2012.0711.6212.0912.0411.6912.1612.1111.5211.9311.9811.5912.0012.0511.7512.2112.3011.8212.2812.3711.9012.3212.1811.9712.3912.2511.6411.9311.9711.7112.0012.0411.8011.8512.1711.8711.9212.2412.0311.7611.8512.1011.8311.9211.9412.1612.3012.0112.2312.3711.9211.7712.1511.9911.8412.22均值11.96样本方差0.0486均值12.03样本方差0.0486求和358.76样本标准差0.2204求和360.86样本标准差0.2204最大值12.32Z值max1.64最大值12.39Z值max1.64最小值11.52Z值min-1.99最小值11.59Z值min-1.99Sample 3Sample 411.9112.1211.6012.0212.1112.3011.3611.6111.9512.0211.9012.2711.7512.2111.9612.0512.2212.2911.9511.5612.2212.1811.8812.4712.1411.9511.7512.1112.0312.0311.7212.0111.9612.0712.3512.1711.6112.0611.9512.0512.0911.9411.8511.7611.8911.6411.7711.9712.1611.8211.8812.3912.2012.2311.9112.1211.9311.6511.7912.25均值11.89样本方差0.0429均值12.08样本方差0.0425求和356.67样本标准差0.2072求和362.44样本标准差0.2061最大值12.22Z值max1.60最大值12.47Z值max1.89最小值11.36Z值min-2.55最小值11.64Z值min-2.142、总体标准差0.21是否合理？解决这一问题的思路是从考量总体方差是否合理进行。总体方差的推断：显著性水平为0.01时，总体方差的区间为：其中：n=30, =0.0485568,=52.335,=13.121,带入不等式得：解得：0.02690.10732开平方得总体标准差的估计：0.1640.3275依据上面的方法按顺序带入=0.0485568，=0.0429197，=0.0424809得：0.1640.3275，0.15420.3080，0.15340.3064 结论：通过对上述4个样本的统计计算，得到总体方差的99%的置信区间的估计，开方得总体标准差0.21均落在估计范围内，因此可以说总体标准差为0.21是合理的。3、对样本进行统计检验，检验样本数据偏离设计标准12的程度。我们采用显著性水平为0.01即置信水平为99%的标准对以上4个样本进行假设检验。原假设：H0:在显著性水平=0.01时，采用双侧检验，采用p-值法，P0.01时拒绝原假设。检验统计量计算公式，其中=0.21，n=30 0=12将公式代入excel表格，求得四个样本的检验统计量如下：Sample 1Sample 211.5512.1312.0011.6212.2012.0711.6212.0912.0411.6912.1612.1111.5211.9311.9811.5912.0012.0511.7512.2112.3011.8212.2812.3711.9012.3212.1811.9712.3912.2511.6411.9311.9711.7112.0012.0411.8011.8512.1711.8711.9212.2412.0311.7611.8512.1011.8311.9211.9412.1612.3012.0112.2312.3711.9211.7712.1511.9911.8412.22均值11.96n30均值12.03n300.210120.21012统计量的值-1.08统计量的值0.75p-值0.2802p-值0.45显著性水平0.01显著性水平0.01拒绝规则若p-值，则拒绝H0拒绝规则若p-值，则拒绝H0结论不能拒绝H0，表明样本运行令人满意结论不能拒绝H0，表明样本运行令人满意Sample 3Sample 411.9112.1211.6012.0212.1112.3011.3611.6111.9512.0211.9012.2711.7512.2111.9612.0512.2212.2911.9511.5612.2212.1811.8812.4712.1411.9511.7512.1112.0312.0311.7212.0111.9612.0712.3512.1711.6112.0611.9512.0512.0911.9411.8511.7611.8911.6411.7711.9712.1611.8211.8812.3912.2012.2311.9112.1211.9311.6511.7912.25均值11.89n30均值12.08n300.210120.21012统计量的值-2.90统计量的值2.12p-值0.0038p-值0.034显著性水平0.01显著性水平0.01拒绝规则p-值，拒绝H0拒绝规则p-值，拒绝H0结论拒绝H0，表明样本运行不令人满意结论不能拒绝H0，表明样本运行令人满意结论：4个样本中，样本3的检验统计表明，该运行过程不令人满意，需要进一步检讨工作流程，加强人员管理与考核，定期进行人员技术培训与操作安全教育，减少操作失误，同时还应定期检查保养机器，提高机器使用寿命，减少机器故障率，提高运营过程的正常率和准确率。4、当样本均值在=12附近多大限度以内时，我们可以认为该过程的运行令人满意？当显著性水平=0.01时，的取值范围是：=12=122.576*0.03834=120.09876即：（11.90124，12.09876）。因此，在99%的置信区间下，样本均值在（11.90124，12.09876）范围内，我们可以认为该程序的运行过程是令人满意的。5、置信水平1-与z值的关系置信水平1-显著性水平/2Z/290%0.10.051.64595%0.050.0251.96099%0.010.0052.576当显著性水平变大时，则z值变小、置信区间变小，因此的取值范围变小，则意味着第一类错误将变大，即实际H0为真时拒绝原假设的概率增大；而当显著性水平变小时，则z值变大，即置信区间变大，则的取值范围变大，意味着第一类错误的概率将变小。6、与的关系假设检验时，根据检验结果做出的判断，即拒绝H0或不拒绝H0，并不是百分之百的正确，可能发生两种错误。下面以样本均数与总体均数比较的t检验为