高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示课件苏教版选修2_1.ppt

第3章3 1空间向量及其运算 3 1 3空间向量基本定理 3 1 4空间向量的坐标表示 1 了解空间向量基本定理及其意义 2 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 3 掌握空间向量线性运算的坐标运算 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一空间向量基本定理 答案 1 定理如果三个向量e1 e2 e3不共面 那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数组 x y z 使p xe1 ye2 ze3 2 基底与基向量如果三个向量e1 e2 e3不共面 那么空间的每一个向量都可由向量e1 e2 e3线性表示 我们把 e1 e2 e3 称为空间的一个 e1 e2 e3叫做 空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 基向量 基底 3 正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是 那么这个基底叫做正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是时 称这个基底为单位正交基底 通常用 表示 4 推论设O A B C是的四点 则对空间任意一点P 都存在惟一的有序实数组 x y z 使得 答案 两两互相垂直 单位向量 不共面 i j k 空间直角坐标系Oxyz中 i j k分别为x y z轴方向上的 对于空间任意一个向量a 若有a xi yj zk 则有序实数组 叫向量a在空间直角坐标系中的坐标 特别地 若A x y z 则向量的坐标为 x y z x y z 单位向量 答案 知识点二空间向量的坐标表示 知识点三坐标运算 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b a R a b a 0 R a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 b1 a1 b2 a2 b3 a3 答案 思考 1 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同 答案 返回 答案空间向量的坐标运算多3个竖坐标 2 已知a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b 且b1b2b3 0 类比平面向量平行的坐标表示 可得到什么结论 题型探究重点突破 题型一空间向量的基底 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 e1 2e2 e3 3e1 e2 2e3 e1 e2 e3 3 e1 e2 2 e3 e1 e2 e3不共面 空间向量有无数个基底 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底 关键是要判断它们是否共面 如果从正面难以入手 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断 反思与感悟 解析答案 题型二用基底表示向量 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 1 空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示 只要基底选定 这一向量用基底表达的形式是惟一的 2 用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键 解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用 反思与感悟 解析答案 解如右图 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中连结AC AD1 解析答案 例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面 M N分别是AB PC的中点 并且PA AD 1 建立适当坐标系 求向量的坐标 题型三空间向量的坐标表示 解析答案 反思与感悟 解以AD AB AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如下图所示 建系时要充分利用图形的线面垂直关系 选择合适的基底 在写向量的坐标时 考虑图形的性质 充分利用向量的线性运算 将向量用基底表示 反思与感悟 跟踪训练3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面 M N分别是AB PC的中点 并且PA AD 1 建立适当坐标系 求向量的坐标 解析答案 返回 解如图所示 因为PA AD AB 1 且PA 平面ABCD AD AB 以 e1 e2 e3 为基底建立空间直角坐标系A xyz 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 已知A 2 3 1 v 关于x轴的对称点是A 7 6 则 v的值分别为 解析答案 解析 A与A 关于x轴对称 2 10 7 1 2 3 4 5 2 与向量m 0 1 2 共线的向量是 填序号 2 0 4 3 6 12 1 1 2 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知向量a b c是空间的一个基底 下列向量中可以与p 2a b q a b构成空间的另一个基底的是 填序号 2a b c a c 解析 p 2a b q a b p与q共面 a b共面 而c与a b不共面 c与p q可以构成另一个基底 同理a c与p q也可构成一组基底 解析答案 1 2 3 4 5 4 如图在边长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 取D点为原点建立空间直角坐标系 O M分别是AC DD1的中点 写出下列向量的坐标 解析 A 2 0 0 M 0 0 1 O 1 1 0 B1 2 2 2 2 0 1 解析答案 1 1 2 1 2 3 4 5 解析答案 课堂小结 1