高中数学第一章直线多边形圆3圆与四边形学案北师大版选修4_1.doc

3 圆与四边形对应学生用书P261圆内接四边形的性质定理文字语言符号语言图形语言性质定理圆内接四边形的对角互补若四边形ABCD内接于圆O，则有ACBD180推论圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角.四边形ABCD内接于O，E为AB延长线上一点，则有CBED2四点共圆的判定定理文字语言符号语言图形语言判定定理如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆在四边形ABCD中，BD180或AC180，那么四边形ABCD内接于圆推论如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆在四边形ABCD中，延长AB到E.若CBED，则A，B，C，D共圆由圆内接四边形的性质定理知，圆的内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？提示：矩形、正方形、等腰梯形对应学生用书P27证明四点共圆例1如图所示，在ABC中，ABAC，延长CA到P，再延长AB到Q，使得APBQ.求证：ABC的外心O与A，P，Q四点共圆思路点拨本题主要考查四点共圆的判断解题时，先连接OA，OC，OP，OQ，PQ.要证O，A，P，Q四点共圆，只需证CAOOQP即可，为此只要证CPOAQO即可精解详析如图，连接OA，OC，OP，OQ，PQ.在OCP和OAQ中，OCOA，OCPOAC.由已知CAAB，APBQ，CPAQ.又O是等腰ABC的外心且ABAC，OACOAQ，OCPOAQ.OCPOAQ.APOAQO，OPOQ.OPQOQP.CAOBAC(APQPQA)(OPQAPOOQPAQO)2OQPOQP.O，A，P，Q四点共圆判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)1在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DEAB，DFAC，E，F是垂足求证：E，B，C，F四点共圆证明：如图，连接EF.DEAB，DFAC，A，E，D，F四点共圆12.1C2C90.BEFC180.B，E，F，C四点共圆.证明线段相等或角相等例2如图，AB是O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：DEADFA.思路点拨本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论精解详析连接AD，因为AB为圆的直径，所以ADB90.又EFAB，EFA90，所以A，D，E，F四点共圆所以DEADFA.利用圆内接四边形的判定或性质定理，证明线段相等或角相等时，可构造全等或相似三角形，以达到证题的目的2(新课标全国卷)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE; (2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知CBCE得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形.证明比例式问题例3如图，已知CF是O的切线，C为切点，弦ABCF，E为圆周上一点，CE交AB延长线于点D，求证：(1)ACBC；(2)BC2CDCE.思路点拨本题主要考查利用圆内接四边形性质定理及相似三角形知识证明比例式问题解题时，先利用弦切角定理推证(1)，再由A，B，E，C四点共圆得出BEDBAC，后证BCEDCB.可得结论精解详析(1)ABCF，FCABAC.CF是O的切线，FCAABC.BACABC.ACBC.(2)BEC180BED，A，B，E，C四点共圆，BEDBAC.BEC180BAC.由(1)得BACABC，DBC180ABC，BECDBC.又BCEDCB，BCEDCB.，即BC2CDCE.证明比例式问题常用三角形相似而寻找角的等量关系，圆内接四边形的性质定理往往起到关键性的作用注意结合图形进行判断，同时注意等量代换的使用3在ABC中，ABAC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D.(1)求证：；(2)若AC3，求APAD的值解：(1)证明：CPDABC，DD，DPCDBA，.又ABAC，.(2)ACDAPC，CAPCAP，APCACD，AC2APAD9.本课时常考查圆内接四边形的判定定理及性质定理的应用该定理在角相等、线段相等及比例式的证明中有广泛的应用属中低档题考题印证如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径命题立意本题主要考查圆内接四边形的判定定理的应用以及分析问题、解决问题的能力自主尝试(1)证明：连接DE，根据题意在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.对应学生用书P29一、选择题1四边形ABCD的一个内角C36，E是BA延长线上一点，若DAE36，则四边形ABCD()A一定有一个外接圆B四个顶点不在同一个圆上C一定有内切圆D四个顶点是否共圆不能确定解析：选A因为C36，DAE36，所以C与BAD的一个外角相等，由圆内接四边形判定定理的推论知，该四边形有外接圆，故选A.2圆内接四边形ABCD中，若ABC125，则D等于()A60B120C140 D150解析：选B因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以ABCD1254，所以D180120.3如图，四边形ABCD是O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，CBE40，则AOC()A20 B40C80 D100解析：选C四边形ABCD是O的内接四边形，且CBE40，由圆内接四边形的性质知DCBE40，又由圆周角定理知：AOC2D80.4.如图，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCDECD32，那么BOD()A120 B136C144 D150解析：选C由圆内接四边形性质知ADCE，而BCDECD32，且BCDECD180，ECD72.又由圆周角定理知BOD2A144.二、填空题5(陕西高考)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF .解析：B，C，F，E四点在同一个圆上，AEFACB，又AA，AEFACB，即，EF3.答案：36.如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点若ACB120，则APB .解析：连接OA，OB，PAOPBO90，ACB120，AOB120.又P，A，O，B四点共圆，故APB60.答案：607如图，AB10，BC8，CD平分ACB，则AC ，BD .解析：ACB90，ADB90.在RtABC中，AB10，BC8，AC6.又CD平分ACB.即ACDBCD，ADBD，BD5.答案：658如图，在圆内接四边形ABCD中，ABAD，AC1，ACD60，则四边形ABCD的面积为 解析：过A作AEBC于E，AFCD于F.因为ADFABC180(圆的内接四边形对角之和为180)，ABEABC180，所以ABEADF，又ABAD，AEBAFD90，所以AEBAFD，所以S四边形ABCDS四边形AECF，AEAF.又因为EAFC90，ACAC，所以RtAECRtAFC.因为ACD60，AFC90，所以CAF30，因为AC1，所以CF，AF，所以S四边形ABCD2SACF2CFAF.答案：三、解答题9如图，圆内接四边形ABCD，过C点作对角线BD的平行线交AD的延长线于E点求证：DEABBCCD.证明：连接AC，则BACBDC，因为CEBD，所以DCEBDC，所以DCEBAC，因为ABCD是圆内接四边形，所以CDEABC，所以CDEABC，所以，即DEABBCCD.10.如图所示，圆O是ABC的外接圆，BAC与ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD，DC.(1)求证：BDDCDI.(2)若圆O的半径为10 cm，BAC120，求BCD的面积解：(1)证明：因为AI平分BAC，所以BADDAC，所以，所以BDDC.因为BI平分ABC，所以ABICBI.因为BADDAC，DBCDAC，所以BADDBC.又因为DBIDBCCBI，DIBABIBAD，所以DBIDIB，所以BDI为等腰三角形，所以BDID，所以BDDCDI.(2)当BAC120时，ABC为钝角三角形，所以圆心O在ABC外连接OB，OD，OC，则DOCBOD2BAD120，所以DBCDCB60，所以BDC为正三角形所以OB是DBC的平分线，延长CO交BD于点E，则OEBD，所以BEBD.又因为OB10，所以BCBD2OBcos 3021010，所以CEBCsin 601015，所以SBCDBDCE101575.所以BCD的面积为75.11(新课标全国卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D. (1)证明：DBDC；(2)设圆