高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大小值与导数课件新人教A版选修2_2.ppt

1 3 3函数的最大 小 值与导数 主题函数的最值1 观察图中在 a b 上函数y f x 的图象 找出它们的极大值和极小值 提示 f c f e 是函数y f x 的极小值 f d f g 是函数y f x 的极大值 2 观察1中函数y f x 的图象 你能找出函数f x 在区间 a b 上的最大值 最小值吗 若将区间改为 a b f x 在 a b 上还有最值吗 提示 函数y f x 在区间 a b 上的最大值是f g 最小值是f b 若区间改为 a b 则f x 有最大值f g 无最小值 3 观察如图所示函数y f x 的图象 该函数有最大值吗 提示 由图可见在最高点处图象是间断的 因此该函数没有最大值 结论 函数有最值的条件如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 微思考 1 函数在某一区间上的最大值一定是这个区间上所有函数值中的最大值吗 提示 是 2 极值能在区间端点处取得吗 最值呢 提示 极值只能在区间内取得 但是最值可以在区间端点处取得 3 函数最值和 恒成立 问题有什么联系 提示 解决 恒成立 问题 可将问题转化为函数的最值问题 如f x 0恒成立 只要f x 的最小值大于0即可 对含参不等式恒成立问题 求参数范围时 可先分离参数 预习自测 1 下列说法正确的是 A 函数在其定义域内若有最值与极值 则其极大值便是最大值 极小值便是最小值B 闭区间上的连续函数一定有最值 也一定有极值 C 若函数在其定义域上有最值 则一定有极值 反之 若有极值 则一定有最值D 若函数在给定区间上有最值 则有且仅有一个最大值 一个最小值 但若有极值 则可有多个极值 解析 选D 由极值与最值的区别知选D 2 连续函数f x 在 a b 上有最大值是有极大值的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选A 因为区间 a b 为开区间 所以连续函数f x 在 a b 上有最大值能推出函数有极大值 但有极大值函数不一定有最大值 3 函数f x x2 4x 1在 1 5 上的最小值和最大值为 A 2 6B 3 2C 2 6D 3 6 解析 选D f x 2x 4 当x 1 2 时 f x 0 当x 2 5 时 f x 0 又因为f 1 12 4 1 1 2 f 5 52 4 5 1 6 所以f x x2 4x 1在 1 5 上的最小值为f 2 22 4 2 1 3 最大值为6 4 已知函数y x2 2x 3在区间 a 2 上的最大值为 则a等于 解析 当a 1时 最大值为4 不合题意 当 1 a 2时 f x 在 a 2 上是减函数 f a 最大 解得或 舍 答案 5 求函数 x 3 1 的最大值与最小值 仿照教材P97例5的解析过程 解析 因为f x x3 2x2 4x 5 所以f x 3x2 4x 4 令f x 0 得x1 2 x2 因为f 2 13 f 3 8 f 1 4 所以函数f x 在 3 1 上的最大值为13 最小值为 类型一求函数的最值 典例1 求函数y 5 36x 3x2 4x3在区间 2 上的最大值与最小值 解题指南 求函数的最值与求函数的极值相似 但最值与极值不一定相同 先列出表格 再进行判断 从而求出最值 解析 y 12x2 6x 36 令y 0 x1 2 x2 列表 由于当时 y 0 所以y在上为增函数 因此 函数y在 2 上只有最小值 无最大值 方法总结 闭区间 a b 上连续的函数f x 必有最值 1 给定的区间必须是闭区间 f x 在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值 如 x 0 1 f x 在区间 0 1 连续 但没有最大值和最小值 如图 2 在闭区间上的每一点必须连续 即在闭区间上有间断点 也不能保证f x 有最大值和最小值 如函数在 1 1 上有间断点 没有最小值 如图 3 若连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 巩固训练 函数在 0 2 上的最大值是 A 当x 1时 B 当x 2时 C 当x 0时 y 0D 当时 解析 选A 令y 0 得x 1 因为x 0时 y 0 x 1时 x 2时 所以最大值为 x 1时取得 类型二与参数有关的最值问题 典例2 1 已知函数f x 2x3 6x2 a在 2 2 上有最小值 37 求a的值 并求f x 在 2 2 上的最大值 2 2017 秦皇岛高二检测 设函数 0 a 1 若x 0 3a 试求函数f x 的最值 解题指南 1 按求函数最值的步骤求出最小值 再结合已知求得a 进而求出f x 在 2 2 上的最大值 2 先求导数 求出极值点 通过列表确定函数的单调区间 进而求函数的最值 解析 1 f x 6x2 12x 6x x 2 令f x 0 得x 0或x 2 又f 0 a f 2 a 8 f 2 a 40 f 0 f 2 f 2 所以当x 2时 f x min a 40 37 得a 3 所以当x 0时 f x max 3 2 f x x2 4ax 3a2 令f x 0 解得x a或x 3a x 0 3a 列表如下 由表知 当x 0 a 时 函数f x 为减函数 当x a 3a 时 函数f x 为增函数 所以当x a时 f x 的最小值为 当x 0或x 3a时 f x 的最大值为b 方法总结 已知函数最值求参数的步骤 1 求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值 2 通过比较它们的大小 判断出哪个是最大值 哪个是最小值 3 结合已知求出参数 进而使问题得以解决 巩固训练 2017 包头高一检测 若函数f x x 1 x 2 x2 ax b 的图象关于x 0对称 则f x 的最小值为 A B C D 解析 选C 因为函数f x x 1 x 2 x2 ax b 的图象关于x 0对称 所以f 1 f 1 f 2 f 2 即 2 1 a b 0 0 4 4 2a b 求得b 2 a 1 所以f x x 1 x 2 x2 x 2 x4 5x2 4 所以 显然 在上 f x 0 f x 为减函数 在上 f x 0 f x 为增函数 故当x 时 当时 所以函数f x 取最小值 类型三与最值有关的恒成立问题 典例3 2017 潍坊高二检测 已知函数f x x3 ax2 bx c在与x 1处都取得极值 1 求a b的值及函数f x 的单调区间 2 若对x 1 2 不等式f x c2恒成立 求c的取值范围 解题指南 1 由已知条件求a b的值并确定函数f x 的单调区间 2 对x 1 2 不等式f x c2恒成立应进行转化 解析 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 因为f 1 3 2a b 0 解得 b 2 所以f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如表 所以函数f x 的递增区间为和 1 递减区间为 2 由 1 知 x 1 2 当时 为极大值 因为f 2 2 c 所以f 2 2 c为最大值 要使f x c2 x 1 2 恒成立 只需c2 f 2 2 c 解得c 1或c 2 延伸探究 1 若典例 1 中条件不变 问法改为求函数f x 在区间 1 2 上的最值 结果如何 解析 f x 3x 2 x 1 当x变化时 f x f x 变化情况如表 由于2 c 所以f x 在区间 1 2 上的最大值为2 c 最小值为 2 若典例 2 中条件不变 问法 若对x 1 2 不等式f x c2恒成立 改为 若存在x 1 2 不等式f x c2成立 结果如何 解析 x 1 2 当x 1时 为极小值 又 所以为最小值 因为存在x 1 2 不等式f x c2成立 所以只需 解得c R 方法总结 1 证明不等式 研究方程根的个数 两函数图象的交点个数 图象的分布范围等问题 导数和数形结合是一种很有效的工具 经常通过分析函数的变化情况 结合图形分析求解 2 恒成立问题向最值转化也是一种常见题型 1 要使不等式f x h在区间 m n 上恒成立 可先在区间 m n 上求出函数的最大值f x max 只要h f x max 则上面的不等式恒成立 2 要使不等式f x h在区间 m n 上恒成立 可先在区间 m n 上求出函数f x 的最小值f x min 只要f x min h 则不等式f x h恒成立 补偿训练 设函数f x 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值 1 求a b的值 2 若对于任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 解析 1 f x 6x2 6ax 3b 因为函数f x 在x 1及x 2时取得极值 所以f 1 0 f 2 0 即 解得 2 由 1 可知 f x 2x3 9x2 12x 8c f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 当x 0 1 时 f x 0 当x 1 2 时 f x 0 当x 2 3 时 f x 0 所以 当x 1时 f x 取极大值f 1 5