高中数学第三章不等式4.3简单线性规划的应用课件北师大版必修5.ppt

4 3简单线性规划的应用 第三章不等式 1 掌握简单线性规划解题的基本步骤 2 了解实际线性规划中的整数解求法 3 会求一些简单的非线性函数的最值 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一用线性规划解决问题的过程 1 寻找约束条件 2 建立目标函数 3 画出可行域 4 求出最优解 知识点二非线性约束条件 思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法 画出约束条件 x a 2 y b 2 r2的可行域 答案 梳理 约束条件不是不等式 这样的约束条件称为非线性约束条件 二元一次 知识点三非线性目标函数 思考 在问题 若x y满足求z 的最大值 中 你能仿照目标函数z ax by的几何意义来解释z 的几何意义吗 z 的几何意义是可行域内的点 x y 与点 1 1 连线的斜率 答案 梳理 下表是一些常见的非线性目标函数 在y轴上的截距 在y轴上的截距最大 或最小 x y a b 平方 交点 x y a b 斜率 斜率 题型探究 类型一实际生活中的线性规划问题 例1某企业生产甲 乙两种产品均需用A B两种原料 已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示 如果生产1吨甲 乙产品可获利润分别为3万元 4万元 求该企业每天可获得的最大利润 解答 设该企业每天生产甲 乙各x y吨 则有 其可行域如图 其中A 2 3 设企业每天可获利润为z 3x 4y 易知A为最优解 zmax 3 2 4 3 18 跟踪训练1预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子 希望使桌子和椅子的总数尽可能的多 但椅子数不少于桌子数 且不多于桌子数的1 5倍 问桌子 椅子各买多少才是最好的选择 解答 设桌子 椅子分别买x张 y把 目标函数z x y 把所给的条件表示成不等式组 即约束条件为 O为顶点的三角形区域 含边界 如图 由图形可知 目标函数z x y在可行域内经过点B时取得最大值 但注意到x N y N 故取 故买桌子25张 椅子37把是最好的选择 类型二非线性目标函数的最值问题 命题角度1斜率型目标函数例2已知实数x y满足约束条件试求z 的最大值和最小值 解答 故z的几何意义是点 x y 与点M 1 1 连线的斜率 因此的最值是点 x y 与点M 1 1 连线的斜率的最值 如图所示 直线MB的斜率最大 直线MC的斜率最小 又 B 0 2 C 1 0 zmax kMB 3 zmin kMC z的最大值为3 最小值为 引申探究1 把目标函数改为z 求z的取值范围 解答 由图易知 kNC k kNB 2 把目标函数改为z 求z的取值范围 解答 反思与感悟 对于形如的目标函数 可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题 跟踪训练2实数x y满足则z 的取值范围是 答案 解析 A 1 0 B 0 C 1 D 1 1 作出可行域 如图所示 的几何意义是点 x y 与点 0 1 连线l的斜率kl 当直线l过B 1 0 时kl最小 最小为 1 又直线l不能与直线x y 0平行 kl 1 综上 k 1 1 命题角度2两点间距离型目标函数例3已知x y满足约束条件试求z x2 y2的最大值和最小值 z x2 y2表示可行域内的点到原点的距离的平方 结合图形知 原点到点A的距离最大 原点到直线BC的距离最小 解答 反思与感悟 当斜率k 两点间的距离 点到直线的距离与可行域相结合求最值时 注意数形结合思想方法的灵活运用 跟踪训练3变量x y满足约束条件 解答 1 设z 求z的最小值 作出可行域如图阴影部分 含边界 所示 由约束条件 解答 2 设z x2 y2 求z的取值范围 z x2 y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方 结合图形可知 可行域上的点到原点的距离中 dmin OC dmax OB 即2 z 29 3 设z x2 y2 6x 4y 13 求z的取值范围 z x2 y2 6x 4y 13 x 3 2 y 2 2的几何意义是可行域上的点到点 3 2 的距离的平方 结合图形可知 可行域上的点到点 3 2 的距离中 dmin 1 3 4 dmax 8 所以16 z 64 解答 当堂训练 1 已知点P x y 的坐标满足约束条件则x2 y2的最大值为 1 2 3 4 答案 解析 A B 8C 16D 10 画出不等式组对应的可行域如图所示 1 2 3 4 2 毕业庆典活动中 某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景 支部先派一人去了解船只的租金情况 看到的租金价格如下表 那么他们合理设计租船方案后 所付租金最少为 元 1 2 3 4 答案 解析 116 设该班租了x只大船 y只小船 则有 1 2 3 4 可行域为如图阴影部分中的整点 设该班所付租金为z元 则 故取 9 1 zmin 12 9 8 116元 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 包括边界 z 可看作可行域上的点 x y 与定点B 1 1 连线的斜率 由图可知z 的最大值为kAB 3 3 若x y满足约束条件则z 的最大值是 1 2 3 4 答案 解析 3 实数x y满足的可行域如图中阴影部分 含边界 所示 1 2 3 4 4 已知实数x y满足约束条件则z x2 y2的最小值为 答案 解析 则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方 故zmin 规律与方法 1 画图对解决线性规划问题至关重要 关键步骤基本上是在图上完成的 所以作图应尽可能准确