高中数学第三章三角恒等变换3.2.2半角的正弦余弦和正切学案新人教B版必修4.doc

32.2半角的正弦、余弦和正切预习课本P145146，思考并完成以下问题 (1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？ 半角公式点睛(1)有了半角公式，只需知道cos 的值及相关的角的条件便可求的正弦、余弦、正切的值(2)对于S和C，R，但是使用T时，要保证(2k1)(kZ)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)半角公式对任意角都适用()(2)tan ，只需满足2k(kZ)()答案：(1)(2)2若cos ，且(0，)，则cos的值为()A.BC D.答案：A3已知cos ，则sin等于()A B.C. D答案：B4已知cos ，且180270，则tan _.答案：2求值问题典例已知sin ，求sin，cos，tan的值解，sin ，cos ，且，sin ，cos ，tan2.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值活学活用已知sincos，450540，求tan的值解：由题意得2，即1sin ，得sin .450540，cos ，tan2.三角函数式的化简典例化简：(2)解原式.又2，cos0，原式cos .一题多变1变条件若本例中式子变为：(0)，求化简后的式子解：原式.因为0，所以0，所以sin0，所以原式cos .2变条件若本例中的式子变为：，求化简后的式子解：原式，.cos0.原式cos.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径如升幂、降幂、配方、开方等 三角恒等变换的综合应用题点一：与三角函数性质综合应用1(浙江高考)函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_解析：由题意知，f(x)sin 2x(1cos 2x)1sin，所以最小正周期T.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故单调递减区间为(kZ)答案：(kZ)题点二：与平面向量综合应用2已知向量a(1sin 2x，sin xcos x)，b(1，sin xcos x)，函数f(x)ab.求f(x)的最大值及相应的x值解：因为a(1sin 2x，sin xcos x)，b(1，sin xcos x)，所以f(x)1sin 2xsin2xcos2x1sin 2xcos 2xsin1.因此，当2x2k，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值1.题点三：三角变换在实际生活中的应用3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB100 米，宽BC50 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且EHF为直角，如图所示(1)设CHEx(弧度)，试将三条路的全长(即HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)解：(1)在RtCHE中，CH50，C90，CHEx，HE.在RtHDF中，HD50，D90 ，DFHx，HF.又EHF90，EF，三条路的全长(即HEF的周长)L.当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x；当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x.故此函数的定义域为.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求HEF的周长L的最小值即可由(1)得L，x，设sin xcos xt，则sin xcos x，L.由tsin xcos xsin，x，得t，从而11，当x，即CE50时，Lmin100(1)，所以当CEDF50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成f(x)asin xbcos xk的形式；(3)利用辅助角公式化为f(x)Asin(x)k的形式，研究其性质 层级一学业水平达标1已知cos (18090)，则cos()AB.C D.解析：选B因为18090，所以9045.又cos ，所以cos ，故选B.2已知，cos ，则tan()A3 B3C. D解析：选D因为，且cos ，所以，tan ，故选D.3若，则 等于()Acos sin Bcos sin Ccos sin Dcos sin 解析：选B，sin 0，则 |cos |sin |cos (sin )cos sin .4已知sin cos ，则2cos21()A. B.C D解析：选Csin cos ，平方可得1sin 2，可得sin 2.2cos21cossin 2.5函数ysincos的最小正周期和最大值分别为()A，1 B，C2，1 D2，解析：选Aysincoscos 2x，该函数的最小正周期为，最大值为1.6若sin2cos0，则tan _.解析：由sin2cos0，得tan2，则tan .答案：7若3sin xcos x2sin(x)，(，)，则_.解析：3sin xcos x22sin，因(，)，.答案：8函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_解析：ysin 2xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以该函数的最小正周期为.答案：9求证：sin 2.证明：左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边，原式成立10已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值解：(1)因为f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin1，因为，所以4.所以4，故.层级二应试能力达标1已知2sin 1cos ，则tan()A.B.或不存在C2 D2或不存在解析：选B由2sin 1cos ，即4sin cos 2cos2，当cos0时，则tan不存在；当cos0时，则tan.2设acos 6sin 6，b，c，则有()Aabc BabcCacb Dbca解析：选Casin 30cos 6cos 30sin 6sin 24，bsin 26，csin 25，acb.3化简22sin2得()A2sin B2sinC2 D2sin解析：选C原式12sincos1cos2sin cos2sin sin 2.4已知coscos，则sin cos 的值是()A. BC D.解析：选Ccoscossincossincos 2.cos 2.，2，sin 2，且sin cos 0.(sin cos )21sin 21.sin cos .5设为第四象限角，且，则tan 2_.解析：2cos 21，所以cos 2，又是第四象限角，所以sin 2，tan 2.答案：6已知AB，那么cos2Acos2B的最大值是_，最小值是_解析：AB，cos2Acos2B(1cos 2A1cos 2B)1(cos 2Acos 2B)1cos(AB)cos(AB)1coscos(AB)1cos(AB)，当cos(AB)1时，原式取得最大值；当cos(AB)1时