高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义教学案新人教B版选修1_1.doc

3.1.3导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义知识链接如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是导数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答：设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线于是，当x0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即kf(x0).预习导引导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)要点一已知过曲线上一点求切线方程例1若曲线yx33ax在某点处的切线方程为y3x1，求a的值解yx33ax.y3x23xx(x)23a3x23a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得解得a1.规律方法一般地，设曲线C是函数yf(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知kli，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程跟踪演练1求曲线y在点处的切线方程解因为.所以这条曲线在点处的切线斜率为，由直线的点斜式方程可得切线方程为y(x2)，即x4y40.要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y2x27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程解y (4x2x)4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x04，x01，y05，切点坐标为(1，5)(2)由于点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程跟踪演练2求过点A(2,0)且与曲线y相切的直线方程解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y|xx0得所求直线方程为yy0(xx0)由点(2,0)在直线上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y01，联立可解得x01，y01，所求直线方程为xy20.要点三求切点坐标例3在曲线yx2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135.解f(x)2x，设P(x0，y0)是满足条件的点(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即P(2,4)是满足条件的点(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点(3)因为切线的倾斜角为135，所以其斜率为1.即2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点规律方法解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等跟踪演练3已知抛物线y2x21，求：(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x. (4x02x)4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该切点为(1,3)(2)抛物线的切线与直线x8y30垂直，切线的斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该切点为(2,9).1已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )A4B16C8D2答案C解析f(2) (82x)8，即斜率k8.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则( )Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1答案A解析由题意，知ky|x01，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.3已知曲线yx22上一点P，则过点P的切线的倾斜角为()A30B45C135D165答案B解析yx22，yx.y|x11.点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45.4已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为_答案(3,30)解析设点P(x0,2x4x0)，则f(x0)4x04，令4x0416得x03，P(3,30)1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个具体数值，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导函数yf(x)在x