高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件新人教B版选修1_1.ppt

第三章 导数及其应用 3 1 3导数的几何意义 学习目标 1 了解导函数的概念 了解导数与割线斜率之间的关系 2 理解曲线的切线的概念 理解导数的几何意义 3 会求曲线上某点处的切线方程 初步体会以直代曲的意义 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 如果一个函数是路程关于时间的函数 那么函数在某点处的导数就是瞬时速度 这是导数的实际意义 那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数 它具有怎样的几何意义呢 答 设函数y f x 的图象如图所示 AB是过点A x0 f x0 与点B x0 x f x0 x 的一条割线 此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时 割线AB绕点A转动 它的极限位置为直线AD 这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线 于是 当 x 0时 割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k 即k f x0 预习导引 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的 也就是说 曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率是 相应地 切线方程为 斜率 f x0 y f x0 f x0 x x0 要点一已知过曲线上一点求切线方程 例1若曲线y x3 3ax在某点处的切线方程为y 3x 1 求a的值 解 y x3 3ax 设曲线与直线相切的切点为P x0 y0 要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y 2x2 7 求 1 曲线上哪一点的切线平行于直线4x y 2 0 1 设切点为 x0 y0 则4x0 4 x0 1 y0 5 切点坐标为 1 5 2 曲线过点P 3 9 的切线方程 解由于点P 3 9 不在曲线上 设所求切线的切点为A x0 y0 则切线的斜率k 4x0 故所求的切线方程为y y0 4x0 x x0 解得x0 2或x0 4 所以切点为 2 1 或 4 25 从而所求切线方程为8x y 15 0或16x y 39 0 规律方法若题中所给点 x0 y0 不在曲线上 首先应设出切点坐标 然后根据导数的几何意义列出等式 求出切点坐标 进而求出切线方程 曲线上 得x0y0 1 联立可解得x0 1 y0 1 所求直线方程为x y 2 0 要点三求切点坐标例3在曲线y x2上过哪一点的切线 1 平行于直线y 4x 5 1 因为切线与直线y 4x 5平行 所以2x0 4 x0 2 y0 4 即P 2 4 是满足条件的点 2 垂直于直线2x 6y 5 0 解因为切线与直线2x 6y 5 0垂直 3 倾斜角为135 解因为切线的倾斜角为135 所以其斜率为 1 即2x0 1 规律方法解答此类题目时 所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键 由这些信息得知函数在某点处的导数 进而可求此点的横坐标 解题时要注意解析几何知识的应用 如直线的倾斜角与斜率的关系 平行 垂直等 跟踪演练3已知抛物线y 2x2 1 求 1 抛物线上哪一点的切线平行于直线4x y 2 0 解设点的坐标为 x0 y0 则 即f x0 4x0 1 抛物线的切线平行于直线4x y 2 0 斜率为4 即f x0 4x0 4 得x0 1 该切点为 1 3 2 抛物线上哪一点的切线垂直于直线x 8y 3 0 解 抛物线的切线与直线x 8y 3 0垂直 切线的斜率为8 即f x0 4x0 8 得x0 2 该切点为 2 9 1 2 3 4 1 已知曲线y f x 2x2上一点A 2 8 则点A处的切线斜率为 A 4B 16C 8D 2 C 1 2 3 4 2 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则 A a 1 b 1B a 1 b 1C a 1 b 1D a 1 b 1 1 2 3 4 解析由题意 知k y x 0 又 0 b 在切线上 b 1 故选A 答案A 1 2 3 4 1 2 3 4 答案B 1 2 3 4 4 已知曲线y f x 2x2 4x在点P处的切线斜率为16 则P点坐标为 3 30 课堂小结 2 函数f x 在点x0处的导数 是一个具体数值 不是变量 导函数 是一个函数 二者有本质的区别 但又有密切关系 f x0 是其导函数y f x 在x x0处的一个函数值 3 利用导数求曲线的切线