初二一元二次方程提高班教案.docx

第十七章 一元二次方程第一节 一元二次方程的概念知识点一：一元二次方程的定义一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程例1 下列方程是一元二次方程的有_。（1）x2+5=0（2）x23xy+7=0（3）x+=4（4）m32m+3=0（5）x25=0（6）ax2bx=4例2 已知（m+3）x23mx1=0是一元二方程，则m的取值范围是 。知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c0（a0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c0（a0）的一般形式.其中，尤其注意a0的条件，有了a0的条件，就能说明ax2+bx+c0是一元二次方程.若不能确定a0，并且b0，则需分类讨论：当a0时，它是一元二次方程；当a0时，它是一元一次方程.例3 把方程(13x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.例4 a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足+(b2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.知识点三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c0（a0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c0（a0）成立，则m一定是ax2+bx+c0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.例5 若m是方程x2+x10的一个根，试求代数式m3+2m2+2014的值. 第二节 一元二次方程的解法（一）直接开平方法依据：平方根的意义，即如果，那么，这种方法称为直接开平方法。解题步骤：1.将一元二次方程常数项移到方程的一边。2.利用平方根的意义，两边同时开平方。3.得到形如：4.写出方程的解：。例1 解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 例2 如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_（二）配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。用配方法解一元二次方程的方法的助手:完全平方式:式子 a22ab+b2 叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2.例3 如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值例4 求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数例5 用配方法解方程 ax2+bx+c=0（a0）（三）公式法由上例5可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例6 用公式法解下列方程（1）2x2=x+1 (2) x2 + =x 例7 用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0(四)因式分解法1.提公因式法例8 解下列方程（1） （2）2. 平方差公式与完全平方公式例9 解下列方程（1） （2）3.十字相乘法步骤：（1） 二次项系数为1的情况：将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘积的形式，且p + q = 一次项系数。分解结果为 （x +p）(x +q)=0（2） 二次项系数不为1的情况：将二次项系数分成两个数（式）a ,b的乘积的形式，常数项分解成p ,q的乘积的形式，且a q +b p = 一次项系数。分解结果为 （ax +p）(bx +q)=0例10 解下列方