高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系学案新人教B版必修2.doc

2.2.3两条直线的位置关系学习目标1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想.知识链接1.直线的倾斜角的取值范围0180.2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率k.3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.预习导引1.两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l1：A1xB1yC10,l2：A2xB2yC20的位置关系,可以用方程组的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2A2B10且B1C2B2C10(A2C1A1C20)或(A2B2C20)有唯一解相交有一个交点A1B2A2B10或(A2B20)有无数个解重合无数个交点A1A2,B1B2,C1C2(0)或(A2B2C20)(2)两条直线l1：yk1xb1,l2：yk2xb2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示.位置关系平行重合相交一般相交垂直图示k,b满足条件k1k2且b1b2k1k2且b1b2k1k2k1k212.两条直线垂直对坐标平面内的任意两条直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20,有l1l2A1A2B1B20.如果B1B20,则l1的斜率k1,l2的斜率k2.又可以得出：l1l2k1k21.要点一直线的交点问题例1求经过原点,且经过直线2x3y80和xy10的交点的直线l的方程.解方法一解方程组得所以直线2x3y80和xy10的交点坐标为(1,2).又直线l经过原点,所以直线l的方程为,即2xy0.方法二设所求直线方程为2x3y8(xy1)0,直线过原点(0,0),80,8,直线方程为2x3y88x8y80,10x5y0,即2xy0.规律方法本题中的方法一是通法通解.方法二利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题.跟踪演练1求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P,且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.解方法一解方程组得 P(0,2).因为l3的斜率为,且ll3,所以直线l的斜率为,由斜截式可知l的方程为yx2,即4x3y60.方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0,即(1)x(2)y420,又ll3,3(1)(4)(2)0,解得11,直线l的方程为4x3y60.要点二两条直线的平行关系例2判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(1,2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(1,1)；(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(1,3),N(2,0)；(4)l1经过点A(3,2),B(3,10),l2经过点M(5,2),N(5,5).解(1)k11,k2,k1k2,l1与l2不平行；(2)k11,k21,k1k2,l1l2或l1与l2重合.(3)k11,k21,k1k2,数形结合知,l1l2.(4)l1与l2都与x轴垂直,l1l2.规律方法判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.跟踪演练2已知直线l1经过点A(3,a),B(a1,2),直线l2经过点C(1,2),D(2,a2).若l1l2,求a的值.解设直线l2的斜率为k2,由斜率公式得k2.若l1l2,则l1的斜率k1,由斜率公式k1,则,a1或a6.经检验,当a1或a6时,l1l2.要点三两条直线的垂直关系例3判断下列各题中的直线l1,l2是否垂直：(1)l1经过点A(1,2),B(1,2),l2经过点P(2,1),Q(2,1)；(2)l1经过点A(3,4),B(3,6),l2经过点P(5,20),Q(5,20).解(1)直线l1的斜率k12,直线l2的斜率k2,因为k1k211,所以l1与l2不垂直.(2)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率k20,所以l1l2.规律方法两条直线垂直需判定k1k21,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条斜率不存在,另一条斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.跟踪演练3已知ABC三个顶点坐标分别为A(2,4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.解由斜率公式可得kAB,kBC0,kAC5.由kBC0知,直线BCx轴,BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2,由k1kAB1,k2kAC1,即k11,k251,解得k1,k2.综上可知BC边上的高所在直线的斜率不存在；AB边上的高所在直线的斜率为；AC边上的高所在直线的斜率为.1.直线l1：2x3y20；l2：2x3y20的位置关系是()A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合答案B解析A1B2A2B10且A1C2A2C1,l1l2.2.已知直线l1的斜率k1,直线l2的斜率k2,则l1与l2的位置关系为()A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法确定答案C解析k1k21,l1l2.3.下列说法正确的有()若两直线斜率相等,则两直线平行；若l1l2,则k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交；若两直线斜率都不存在,则两直线平行.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案A解析当k1k2时,l1与l2平行或重合,不成立；中斜率不存在时,不正确；同,也不正确.只有正确.故选A.4.直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直,则l的方程是()A.3x2y10 B.3x2y70C.2x3y50 D.2x3y80答案A解析与2x3y40垂直的直线方程为3x2ym0,把(1,2)代入直线方程得m1.5.一条光线从A(3,2)发出,到x轴上的M点后,经x轴反射通过点B(1,6),则反射光线所在直线的斜率为_.答案2解析如图所示,作A点关于x轴的对称点A,所以点A在直线MB上.由对称性可知A