2010-2011学年广东省梅州、聿怀两校联考高二(上)期中数学试卷(理科).doc

2010-2011学年广东省梅州、聿怀两校联考高二（上）期中数学试卷（理科） 2010-2011学年广东省梅州、聿怀两校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2009江西）下列命题是真命题的为（）A若，则x=yB若x2=1，则x=1C若x=y，则D若xy，则x2y22（5分）（2010深圳二模）如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（）A命题p不一定是假命题B命题q不一定是真命题C命题q一定是真命题D命题p与命题q真假性相同3（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a2，a5成等比数列，则a2等于（）A4B2C3D34（5分）（2006山东）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A1B2C1D5（5分）（2013韶关一模）已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A1k1Bk0Ck0Dk1或k16（5分）（2004重庆）一元二次方程ax2+2x+1=0，（a0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）Aa0Ba0Ca1Da17（5分）若双曲线x2y2=1点P（a，b）到直线y=x距离为+b的值（）ABC2D28（5分）如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）不等式的解集为_10（5分）若半径为1的动圆与圆x2+y2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程是_11（5分）（2008江苏二模）若正方体的表面积为6，且它的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积等于_12（5分）不等式组表示的平面区域的面积为_13（5分）（2004江苏）设数列an的前n项和为Sn，Sn=（对于所有n1），且a4=54，则a1的数值是_14（5分）设数列an的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，a100的“理想数”为_三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立，命题q：关于x的方程x2x+a=0有实数根，如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围16（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，（1）求sinC的值； （2）求ABC的面积17（14分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点求证：（1）C1O面AB1D1；（2 ）A1C面AB1D118（14分）如图，是第七届国际数学教育大会（ICME7）的会徽，它是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1，它可以形成近似的等角螺线记an=|OAn|，n=1，2，3，（1）写出数列的前4项；（2）猜想数列an的通项公式（不要求证明）；（3）若数列bn 满足，试求数列bn 的前n项和Sn19（14分）已知M（a，2）是抛物线y2=2x上的一个定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为180，且与抛物线分别交于P、Q两个不同的点（1）求a的值；（2）求证：满足条件的直线PQ是一组平行直线20（14分）（2012安徽模拟）如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧若点M在点O正北方向，且|MO|=3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）2010-2011学年广东省梅州、聿怀两校联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2009江西）下列命题是真命题的为（）A若，则x=yB若x2=1，则x=1C若x=y，则D若xy，则x2y2考点：四种命题的真假关系3173200分析：逐一判断即可解答：解：由得x=y，而由x2=1得x=1，由x=y，不一定有意义，而xy得不到x2y2故选A点评：本题较简单，A显然正确，其它可不看2（5分）（2010深圳二模）如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（）A命题p不一定是假命题B命题q不一定是真命题C命题q一定是真命题D命题p与命题q真假性相同考点：命题的真假判断与应用3173200专题：计算题分析：根据已知中命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，我们易根据复合命题真假的真值表，判断出命题p与命题q的真假，进而得到答案解答：解：命题“p或q”，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题又命题“非p”也是真命题命题p为假命题故命题q为真命题故选C点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答本题的关键3（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a2，a5成等比数列，则a2等于（）A4B2C3D3考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式3173200专题：计算题分析：由题意可得，a2=a1+2，a5=a1+8，根据 （a1+2）2=a1 （a1+8），求得a1的值解答：解：由题意可得，a2=a1+2，a5=a1+8a1，a2，a5成等比数列，（a1+2）2=a1 （a1+8），a1=1，a2等于 3，故选 C点评：本题考查等差数列的通项公式，等比数列的定义，求出 a1的值是解题的难点4（5分）（2006山东）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A1B2C1D考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用3173200专题：计算题分析：方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围解答：解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c22bccosA得：3=1+c22c1cos=1+c2c，c2c2=0，c=2或1（舍）解法二：（正弦定理）由=，得：=，sinB=，ba，B=，从而C=，c2=a2+b2=4，c=2点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握5（5分）（2013韶关一模）已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A1k1Bk0Ck0Dk1或k1考点：双曲线的简单性质3173200专题：计算题分析：表示双曲线则或解出解答：解：由双曲线标准方程的形式，表示双曲线须或，1k1故选A点评：要准确把握双曲线标准方程形式表示双曲线的充要条件是mn06（5分）（2004重庆）一元二次方程ax2+2x+1=0，（a0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）Aa0Ba0Ca1Da1考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断3173200专题：计算题分析：求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解解答：解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1x2=0，即a0，而a0的一个充分不必要条件是a1故应选 C点评：本考点是一元二次方程分布以及充分不必要条件的定义本题解决的特点是先找出其充要条件，再寻求充分不必要条件7（5分）若双曲线x2y2=1点P（a，b）到直线y=x距离为+b的值（）ABC2D2考点：直线与圆锥曲线的关系3173200专题：计算题分析：由题意可得 =，即|ab|=2，又 a2b2=1，可得（a+b）（ab）=1，且ab，从而a+b=解答：解：点P（a，b）到直线y=x距离为，=，|ab|=2又 a2b2=1，（a+b）（ab）=1，ab，a+b=，故选 B点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式，得到 （a+b）（ab）=1，ab，是解题的关键8（5分）如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）ABCD考点：圆锥曲线的共同特征3173200专题：计算题分析：由题设条件知 ，把A代入椭圆 ，得 ，整理，得e48e2+4=0，由此能够求出椭圆的离心率解答：解：由题意知 ，把A代入椭圆 ，得 ，（a2c2）c2+3a2c2=4a2（a2c2），整理，得e48e2+4=0，0e1，故选D点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）不等式的解集为2，1）考点：一元二次不等式的解法3173200专题：计算题分析：本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法解答：解：2x1故答案为：2，1）点评：本题考查简单的分式不等式求解，属基本题在解题中，要注意等号10（5分）若半径为1的动圆与圆x2+y2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程是x2+y2=9或x2+y2=1考点：轨迹方程3173200专题：计算题分析：若两圆相外切，则有|AO|=1+2=3，若两圆相内切，则有|AO|=21=1，根据两点间的距离公式求得轨迹方程解答：解：设动圆圆心的坐标为A（x，y），若两圆相外切，则有|AO|=1+2=3，即 x2+y2=9若两圆相内切，则有|AO|=21=1，即 x2+y2=1综上，动圆圆心的轨迹方程是 x2+y2=9，或x2+y2=1，故答案为：x2+y2=9，或x2+y2=1点评：本题考查轨迹方程的求法，圆的定义，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键11（5分）（2008江苏二模）若正方体的表面积为6，且它的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积等于考点：球的体积和表面积；球内接多面体3173200专题：计算题；数形结合分析：先由正方体的表面积为6，求得棱长1，再由正方体是球内接多面体得正方体的体对角线是球的直径，由此关系求得球的半径，再由公式求体积解答：解：由题意正方体的表面积为6，可得棱长1，又它的所有顶点都在同一个球面上，直径d=故半径为；故这个球的体积等于=；故答案为：点评：本题考查球的体积和表面积，解题的关键是根据球内接多面体的几何特征求出球的直径，本题考查空间想像能力与根据几何特征进行运算的能力12（5分）不等式组表示的平面区域的面积为36考点：简单线性规划3173200专题：计算题；数形结合分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，并由图形选择合适的公式求解面积解答：解：满足约束条件的可行域如下图示：由图可得，图中阴影部分面积为：S=126=36，故答案为：36点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解13（5分）（2004江苏）设数列an的前n项和为Sn，Sn=（对于所有n1），且a4=54，则a1的数值是2考点：数列的求和3173200专题：计算题；压轴题分析：根据a4=S4S3把Sn=代入，即可求得a4=27a1，进而求得a1解答：解：设数列an的前n项和为Sn，Sn=（对于所有n1），则a4=S4S3=，且a4=54，则a1=2故答案为2点评：本题主要考查了数列的求和问题属基础题14（5分）设数列an的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，a100的“理想数”为102考点：数列的求和3173200专题：计算题；新定义分析：据“理想数”的定义，列出a1，a2，a100的“理想数”满足的等式及2，a1，a2，a100的“理想数”的式子，两个式子结合求出数列2，a1，a2，a100的“理想数”解答：解：为数列a1，a2，an的“理想数”，a1，a2，a100的“理想数”为101又数列2，a1，a2，a100的“理想数”为：=故答案为102点评：本题考查的是新定义的题型，关键是理解透新定义的内容，是近几年常考的题型三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立，命题q：关于x的方程x2x+a=0有实数根，如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题3173200专题：计算题分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据pq为真命题，pq为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立a=0或0a4；（2分）关于x的方程x2x+a=0有实数根=14a0a；（4分）pq为真命题，pq为假命题，即p真q假，或p假q真，（5分）如果p真q假，则有0a4，且aa4；（6分）如果p假q真，则有a0，或a4，且aa0（7分）所以实数a的取值范围为（，0）（，4） （8分）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键16（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，（1）求sinC的值； （2）求ABC的面积考点：解三角形3173200专题：计算题分析：（1）再由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由B的度数，根据三角形的内角和定理用A表示出C，代入到sinC中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将cosA和sinA的值代入即可求出sinC的值；（2）由（1）求出的sinA，以及sinB和b的值，利用正弦定理求出a的值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，把求出的a，以及b与sinC的值代入即可求出面积解答：解：（1）A、B、C为ABC的内角，且，（3分）（6分）（2）由（1）知，又，在ABC中，由正弦定理得：又，b=2，ABC的面积（12分）点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理及三角形的面积公式熟练掌握公式与法则是解题的关键17（14分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点求证：（1）C1O面AB1D1；（2 ）A1C面AB1D1考点：空间中直线与平面之间的位置关系3173200专题：证明题分析：（1）欲证C1O面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1B1D1=O1，连接AO1，易得C1OAO1，AO1面AB1D1，C1O面AB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证A1C面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1CB1D1，同理可证A1CAB1，又D1B1AB1=B1，满足定理所需条件解答：证明：（1）连接A1C1，设A1C1B1D1=O1，连接AO1，ABCDA1B1C1D1是正方体，A1ACC1是平行四边形，A1C1AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，O1C1AO且O1C1=AO，AOC1O1是平行四边形，C1OAO1，AO1面AB1D1，C1O面AB1D1，C1O面AB1D1；（2）CC1面A1B1C1D1CC1B1D!，又A1C1B1D1，B1D1面A1C1C，即A1CB1D1，同理可证A1CAB1，又D1B1AB1=B1，A1C面AB1D1点评：本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力18（14分）如图，是第七届国际数学教育大会（ICME7）的会徽，它是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1，它可以形成近似的等角螺线记an=|OAn|，n=1，2，3，（1）写出数列的前4项；（2）猜想数列an的通项公式（不要求证明）；（3）若数列bn 满足，试求数列bn 的前n项和Sn考点：数列的应用；数列的求和3173200分析：（1）由an=|OAn|，可以求出a1，a2，a3，a4的值；（2）由a1，a2，a3，a4可以猜想数列an的通项公式an；（3）由 =，可得其前n项和Sn解答：解：（1）数列an中，由an=|OAn|，得a1=|OA1|=1，a2=|OA2|=，a3=|OA3|=，a4=|OA4|=2；（2）由a1=1，a2=，a3=，a4=2=，可以猜想数列an的通项公式为：an=（其中nN*）；（3）在数列bn中，因为=，所以其前n项和为：Sn=（）+（）+（）+（）=点评：本题考查了数列的通项公式及其前n项和Sn定义的应用，解题时应明确题意，理清解题思路，认真解答，以免出错19（14分）已知M（a，2）是抛物线y2=2x上的一个定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为180，且与抛物线分别交于P、Q两个不同的点（1）求a的值；（2）求证：满足条件的直线PQ是一组平行直线考点：直线与圆锥曲线的综合问题3173200专题：计算题分析：（1）将M代入抛物线求出a即可，（2）利用直线MP，MQ的倾斜角的和为则其斜率互为相反数，设出MP的方程，将方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出P的纵坐标与k的关系；同理得到Q的纵坐标与k的关系；利用两点连线的斜率公式求出PQ的斜率即得解答：解：（1）：将点M（a，2）的坐标代入抛物线方程，得4=2a，a=2，即为所求（4分）（2）证明：依题意，直线MP和直线MQ的倾斜角均不为0和90，即它们的斜率均在且不为0（5分）则直线MP的方程为m（y2）=x2，直线MQ的方程为m（y2）=x2，（7分）得点Q的坐标为（2（m+1）2，2（m+1）（11分）（13分）故直线PQ是一组平行直线（14分）点评：本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常用的方法是将它们的方程联立，通过韦