高中数学第二章空间向量与立体几何3.3空间向量运算的坐标表示学案北师大版选修2_1.doc

3.3空间向量运算的坐标表示学习目标1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一空间向量的坐标运算思考设m(x1，y1)，n(x2，y2)，那么mn，mn，m，mn如何运算？梳理空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法ab减法ab数乘a数量积ab知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0模|a|_夹角cosa，bcosa，b类型一空间向量的坐标运算例1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b等于()A.(2，4,2) B.(2,4，2)C.(2,0，2) D.(2,1，3)反思与感悟关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.跟踪训练1若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)(2b)2，则x_.类型二空间向量平行、垂直的坐标表示例2已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，c.求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.引申探究若将本例(2)中改为“若kab与ka2b互相垂直”，求k的值.反思与感悟(1)平行与垂直的判断应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程.选择坐标形式，以达到简化运算的目的.跟踪训练2在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.证明：(1)AB1GE，AB1EH；(2)A1G平面EFD.类型三空间向量的夹角与长度的计算例3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.(1)求证：EFCF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长.反思与感悟通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便在写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.跟踪训练3如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点. (1)求证：EFDC；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB.1.已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()A.(16,0,4) B.(8，16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4)2.若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，则a(bc)的值为()A.4 B.15 C.3 D.73.已知a(2，3,1)，则下列向量中与a平行的是()A.(1,1,1) B.(4,6，2) C.(2，3,5) D.(2，3,5)4.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A.1 B. C. D.5.已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为_.1.在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标.2.两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB| .3.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.提醒：完成作业第二章33.3答案精析问题导学知识点一思考mn(x1x2，y1y2)，mn(x1x2，y1y2)，m(x1，y1)，mnx1x2y1y2.梳理(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3知识点二a1b1a2b2a3b30|a|题型探究例1A跟踪训练12例2解(1)因为(2，1,2)，且c，所以设c(2，2)，得|c|3|3，解得1.即c(2，1,2)或c(2,1，2).(2)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4).又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.引申探究解由题意知kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k,4).因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0，即(k1)(k2)k280，解得k2或k，故所求k的值为2或.跟踪训练2证明如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，由中点性质得E，F，G，H.(1)(1,0,1)，. ，2， 1010，即AB1GE，AB1EH.(2)，00，00，即A1GDF，A1GDE.又DFDED，A1G平面EFD.例3(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G.所以， ，.因为00，所以，即EFCF.(2)解因为10()，| ，| ，所以cos，.(3)解|CE| .跟踪训练3(1)证明分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，0)，F(，)，P(0,0，a)，(，0，)(0，a,0)0，EF