空间向量的坐标运算课件.ppt

1 1 空间向量的坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 2 2 空间两点间的距离公式 设A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则AB AB x2 x1 y2 y1 z2 z1 3 3 若A B两点的坐标分别是A 2cos 2sin 1 B 3cos 3sin 1 则 的取值范围是 A 0 5 B 1 5 C 1 5 D 1 25 解析 3cos 2cos 3sin 2sin 0 1 cos 1 1 5 答案 B 4 平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作 如果 那么向量叫做平面的法向量 给定一点A和一个向量 那么过点A 以向量为法向量的平面是完全确定的 几点注意 1 法向量一定是非零向量 2 一个平面的所有法向量都互相平行 3 向量是平面的法向量 向量是与平面平行或在平面内 则有 5 垂直关系 6 例2已知平面经过三点A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 试求平面的一个法向量 解 A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 设平面的法向量是依题意 有 即解得z 0且x 2y 令y 1 则x 2 平面的一个法向量是 7 8 9 10 11 12 六 夹角 13 例2 1 求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值 x y z A D B A1 D1 C1 B1 解 1 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示 则 A 0 0 0 B1 1 0 1 C 1 1 0 C1 1 1 1 X1 z1 0 X1 y1 0 取x1 1 得y1 z1 1 C 故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 14 如图 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 SO 平面OABC 且OS OC BC 1 OA 2 求 异面直线SA和OB所成的角的余弦值 OS与平面SAB所成角 的正弦值 A 2 0 0 于是我们有 2 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 B 1 1 0 S 0 0 1 则O 0 0 0 解 以o为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示 x y z C 0 1 0 所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为 15 2 设平面SAB的法向量 显然有 16 N 解 如图建立坐标系A xyz 则 17 N 又 18 例二 在长方体中 19 例2 20 解 以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示 设则 所以 所以与所成角的余弦值为 21 5 正方体ABCD A1B1C1D1中 直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为 解析 如图 建立直角坐标系 设正方体棱长为1 则D 0 0 0 A1 1 0 1 B 1 1 0 C1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 设n x y z 为平面A1BD的法向量 22 则 取n 1 1 1 设直线BC1与平面A1BD所成角为 则sin cos n cos 答案 23 巩固练习 1三棱锥P ABCPA ABC PA AB AC E为PC中点 则PA与BE所成角的余弦值为 2直三棱柱ABC A1B1C1中 A1A 2 AB AC 1 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为 24 精品课件学习交流 25 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PC 平面ABCD PC 2 在四边形ABCD中 B C 90 AB 4 CD 1 点M在PB上 PB 4PM PB与平面ABCD成30 的角 1 求证 CM 平面PAD 2 求证 平面PAB 平面PAD 26 思路点拨 27 课堂笔记 以C为坐标原点 CB为x轴 CD为y轴 CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz PC 平面ABCD PBC为PB与平面ABCD所成的角 PBC 30 PC 2 BC 2 PB 4 28 D 0 1 0 B 2 0 0 A 2 4 0 P 0 0 2 M 0 0 1 2 2 3 0 0 29 1 令n x y z 为平面PAD的一个法向量 则令y 2 得n 2 1 n 2 0 1 0 n 又CM 平面PAD CM 平面PAD 30 2 取AP的中点E 则E 2 1 2 1 PB AB BE PA 又 2 1 2 3 0 0 31 BE DA 又PA DA A BE 平面PAD 又 BE 平面PAB 平面PAB 平面PAD 32 小结 1 异面直线所成角 2 直线与平面所成角 33 1 若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 它们所成的角为 则cos cos v1 v2 2 利用空间向量方法求直线与平面所成的角 可以有两种办法 34 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 35 l m l m 36 l l 37 5 如图 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 M和N分别是A1B1和BB1的中点 那么直线AM与CN所成角的余弦值为 38 解析 建立如图所示的坐标系 则A 1 0 0 M 1 1 C 0 1 0 N 1 1 则 0 1 1 0 cos 直线AM与CN所成角的余弦值为 答案 39 2009 全国卷 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 AB AC D E分别为AA1 B1C的中点 DE 平面BCC1 1 证明 AB AC 2 设二面角A BD C为60 求B1C与平面BCD所成的角的大小 40 思路点拨 41 课堂笔记 1 证明 以A为坐标原点 AB为x轴 AC为y轴 AA1为z轴 建立如图所示的直角坐标系A xyz 42 设B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 则B1 1 0 2c E c 于是 0 1 b 0 由DE 平面BCC1知DE BC 0 求得b 1 所以AB AC 43 2 设平面BCD的法向量 x y z 则 0 0 又 1 1 0 1 0 c 故令x 1 则y 1 z 1 1 又平面ABD的法向量 0 1 0 44 由二面角A BD C为60 知 60 故 cos60 求得c 于是 1 1 1 1 Cos 60 所以B1C与平面BCD所成的角为30 45 解 由本例 2 知 1 1 又B 1 0 0 A1 0 0 1 0 1 1 又 2 cos 异面直线B1C与BA1所成角的余弦值为 在本例 2 的条件下 能否求出异面直线B1C与BA1所成角的余弦值 46 47 A B C D 练习 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 M是AA1的中点 则点A1到平面MBD的距离是 48 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 则D 0 0 0 B a a 0 M a 0 a A1 a 0 a DB a a 0 DM a 0 a A1M 0 0 a 设平面MBD的法向量n x y z 则 49 令x 1 得n 1 1 2 A1到平面MBD的距离 答案 A 50 利用向量法求点面距 其步骤如下 1 求出该平面的一个法向量 2 找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量 3 求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模 即可求出点到平面的距离 如图 51 点P到平面 的距离 52 2009 茂名模拟 如图所示 在四面体A BCD中 O E分别是BD BC的中点 CA CB CD BD 2 AB AD 1 求证 AO 平面BCD 2 求异面直线AB与CD所成角的余弦值 3 求点E到平面ACD的距离 53 思路点拨 54 课堂笔记 1 证明 连结OC BO DO AB AD AO BD BO DO BC CD CO BD 在 AOC中 由已知可得AO 1 CO 而AC 2 AO2 CO2 AC2 AOC 90 即AO OC BD OC O AO 平面BCD 55 2 以O为原点 如图建立空间直角坐标系 则B 1 0 0 D 1 0 0 C 0 0 A 0 0 1 E 0 异面直线AB与CD所成角的余弦值为 1 0 1 56 3 设平面ACD的法向量为n x y z 则 令y 1 得n 1 是平面ACD的一个法向量 又EC 0 点E到平面ACD的距离h 57 58 利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证 空间中各种角的求解问题 以代数运算代替复杂的空间的想象 给解决立体几何问题带来了鲜活的方法 另外 空间向量还可以用来解决许多探索性问题 这类问题具有一定的思维深度 更能考查学生的能力 因此其已成为高考命题的热点题型 59 考题印证 2009 福建高考 如图 四边形ABCD是边长为1的正方形 MD 平面ABCD NB 平面ABCD 且MD NB 1 E为BC的中点 1 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 2 在线段AN上是否存在点S 使得ES 平面AMN 若存在 求线段AS的长 若不存在 请说明理由 60 解 1 如图 以D为坐标原点 建立空间直角坐标系D xyz 依题意 易得D 0 0 0 A 1 0 0 M 0 0 1 C 0 1 0 B 1 1 0 N 1 1 1 E 1 0 2分 61 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 6分 1 0 1 3分 5分 62 2 假设在线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN AN 0 1 1 可设AS AN 0 又EA 1 0 1 8分 63 由ES 平面AMN 得即 9分 故 此时AS 0 AS 10分 经检验 当AS 时 ES 平面AMN 11分 故线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN 此时AS 12分 64 自主体验 如图 已知四棱锥P ABCD的底面ABCD为等腰梯形 AB DC AC BD AC与BD相交于点O 且顶点P在底面上的射影恰为O点 又BO 2 PO PB PD 65 1 求异面直线PD与BC所成角的余弦值 2 求二面角P AB C的大小 3 设点M在棱PC上 且 问 为何值时 PC 平面BMD 66 解 PO 平面ABCD PO BD 又PB PD BO 2 PO 则在Rt PDB中 由OP2 OD OB 得OD 1 从而可得OD OC 1 BO AO 2 以O为原点 OA OB OP所在直线分别为x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则O 0 0 0 A 2 0 0 B 0 2 0 C 1 0 0 D 0 1 0 P 0 0 67 68 故直线PD与BC所成角