第三章 ARMA的特性.ppt

时间序列分析 时间序列的线性模型模型的阶数模型阶数的确定模型参数的估计模型的检验平稳时间序列的预报非平稳时间序列及其预报 时间序列的线性模型 自回归模型AR p 滑动平均模型MA q 自回归滑动平均混合模型ARMA p q 一 自回归模型AR p 设 Xt 为零均值的实平稳时间序列 阶数为P的自回归模型定义为 模型 8 1 简记为AR p 它是一个动态模型 是时间序列 Xt 自身回归的表达式 所以称为自回归模型 满足AR p 模型的随机序列称为AR p 序列 其中 k k 1 2 p 称 其中 为自回归系数 从白噪声序列 at 所满足的条件看出 at之间互不相关 且at与以前的观测值也不相关 因此 at 也称为新信息序列 它在时间序列分析的预报理论中有重要意义 为方便起见 引进延迟算子的概念 令BXt Xt 1 B2Xt B BXt Xt 2 一般地有BkXt Xt k k 1 2 称B为一步延迟算子 Bk为k步延迟算子 于是 5 1 式可表为 B Xt at 5 2 其中 B 1 1B pBp 5 3 平稳性条件 若 5 2 式中 B 0的根全在单位圆外 即所有根的模都大于1 则称此条件为AR p 模型的平稳性条件 当模型 5 2 满足平稳性条件时 1 B 存在且一般是B的幂级数 于是 5 1 式又可写成是Xt 1 B at 称为AR p 模型的逆转形式 模型 5 2 可以看作是把相关的序列 Xt 变为一个互不相关序列 at 的系统 二 滑动平均模型MA q 设 Xt 为零均值的实平稳时间序列 阶数为q的滑动平均模型定义为 其中 k k 1 2 q 称为滑动平均系数 并简记模型 5 4 为MA q 满足MA q 模型的随机序列称为MA q 序列 用延迟算子表示 5 4 式可以写成Xt B at 5 5 其中 B 1 1B pBq 5 6 对于由 5 5 式决定的MA q 模型 若满足 B 0的根全在单位圆外 即所有根的模都大于1 则称此条件为MA q 模型的可逆性条件 当模型 5 5 满足可逆性条件时 1 B 存在 此时 5 5 式可以写成at 1 B Xt 它称为MA q 模型的逆转形式 模型 5 5 中的Xt可以看作是白噪声序列 at 输入线性系统的输出 三 自回归滑动平均混合模型ARMA p q 设 Xt 为零均值的实平稳时间序列 P阶自回归q阶滑动平均混合模型定义为 其中 B 和 B 分别为 5 3 式和 5 6 式所表示 且它们无公因子 B 满足平稳性条件 B 满足可逆性条件 模型 5 7 记为ARMA p q 满足ARMA p q 模型的随机序列称为ARMA p q 序列 或 B Xt B at 5 8 显然 ARMA p 0 AR p ARMA 0 q MA q 如同平稳过程的时域分析与频域分析有对应关系一样 ARMA p q 序列与具有有理谱密度的平稳序列之间也存在对应关系 那么 一个平稳序列在什么条件下是ARMA p q 序列呢 定义5 1设 Xt 为零均值实平稳时间序列 它的谱密度f 是e i2 的有理函数 其中 和 是形如 5 3 式和 5 6 式的多项式 且它们无公 因子 满足平稳性条件 满足可逆性条件 则称 Xt 是具有有理谱密度的平稳序列 定理5 1均值为零的平稳时间序列 Xt 满足 5 8 式的充要条件是 Xt 具有形如 5 9 式的有理谱密度 证明略 8 以上定理告诉我们 只要平稳时