高二数学线面角练习及解答.doc

1.（2009浙江卷理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( C )A B C D . 【解】取BC的中点E，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有ABCA1B1C1GFE2正三棱柱的棱长都为2，为的中点，则与面GEF成角的正弦值 （ A ）A B C D3把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（ C ）A B C D 【解】：C 当三棱锥体积最大时，平面，取的中点，则是等要直角三角形，即4. 如图，在四边形中，点为线段上的一点.现将沿线段翻折到（点与点重合），使得平面平面，连接，.()证明：平面；()若，且点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值.解：()连接，交于点,在四边形中，,又平面平面，且平面平面=平面 6分()如图，过点作的垂线，垂足为，连接， 并取中点，连接，平面平面，且平面平面=，平面，即为直线与平面的所成角，由()可知，且，又，设，则有，又为的中点，在中，由勾股定理得，解得，直线与平面的所成角的正弦值即.5.在如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点（第5题）（）求证：；（）求直线与平面所成角的正切值.解：(1)证明：因为AC=BC，M是AB的中点， 所以CMAB 2分又EA 平面ABC， 所以CMEA 4分因为ABEA=A所以CM平面EAB.所以CMEM 7分(2)连结MD，（第20题）设EAa，BDBCAC2 a，在直角梯形ABDE中，AB2a，M是AB的中点，所以DE3a，EM，DM，得DEM是直角三角形，其中DMEM，10分又因为DMCM,因为EMCM=M,所以DM平面CEM所以DEM是直线DE和平面CEM所成的角12分在RtDEM中，tanDEM，故直线与平面所成角的正切值为.14分6CBAD在四边形ABCD中，,且，沿将其折成一个二面角，使.（1） 求折后与平面所成的角的余弦值；（2） 求折后点到平面的距离.ACBD解：（1）作AO平面BCD于O，连结BO,则ABO为AB与平面BCD所成角. 2分 ， 4分oCBAD 且由已知，易得，所以，折后AB与平面BCD所成的角的余弦值为 6分（2）连结AC，在RtABO中，第7题ABMA1B1C1C 8分 10分所以，C到平面ABC的距离等于 12分7如图，在直三棱柱中，90，30， 是棱的中点. （）求证：； （）求直线与平面所成角的正弦值.8.如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，、分别是棱、的中点. （1）求证:； （2） 求直线与平面所成的角的正切值解：因为底面，所以因为底面是正方形，所以，故，所以， （3分）又因为，点是棱的中点，所以，故，所以. （7分）（）过点作，连接由是棱的中点，底面是正方形可得，又由底面得到，所以为直线与平面所成的角， （10分）设，得到，在中， ，. （14分）9.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABC是边长为2的菱形，BAD=60，M为PC的中点. （1）求证：PA/平面BDM； （2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值.10.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，M为PC的中点. （1）求证：PA/平面BDM； （2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值.证明：连结AC，交BD于点O,连结MO 因为MO是的中位线， 所以MO 又因为面PAD中， 所以面PAD（2）因为，点M到面ADC的距离，所以。 因为为等腰三角形，且M为PC的中点,所以。 取PB的中点E,AD的中点N，连结ME,PN,NE,BN 因为四边形DMEN为平行四边形 所以 又因为为等腰三角形，所以 所以. 因为，且 所以面. 所以。 因为 所以，因为所以 所以 所以所以1.（2009北京卷文）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.解：（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， O，E分别为DB、PB的中点， OE/PD，又，OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.2.（2009浙江卷文）如图，平面，分别为的中点（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值解：（）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ，所以3.（2009江西卷文）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值；（3）求点到平面的距离解：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。4.（2009湖南卷文） 如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值。解:（）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （）解法 1: 过点A作AF垂直于点,连接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直线AD和平面所成的角。 因为DE，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因为，所以E= = 4, , .即直线AD和平面所成角的正弦值为 .5. 如图，四棱锥SABCD的底面是菱形，ADC=120，SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点，且DEa(01). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()求证：对任意的（0，1），都有ACBE；() 当=时，求直线BC与平面ACE所成角的正弦值。解：（）连结BD交AC于点O，因为SD平面ABCD，所以SDAC 四边形ABCD是菱形 ACBD AC平面SBD而BE在平面SBD内 ACBE()因为ADBC，所以直线AD与平面ACE所成的角就是直线BC与平面ACE所成的角由()知，平面ACE平面SBD，平面ACE平面SBDOE 过D作DFBE于F，则DF平面ACE DAF为直线AD与平面ACE所成的角在直角三角形EDO中，故直线BC与平面ACE所成角的正弦值是6.（2009江西卷理）在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.解：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设D到平面ACM的距离为，由即，可求得，设所求角为，则，。（1） 可求得PC=6。因为ANNC，由，得PN。所以。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。7.(2009湖南卷理)如图4，在正三棱柱中，D是的中点，点E在上，且。（I） 证明平面平面（II） 求直线和平面所成角的正弦值。 解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD， A