微积分试题库.docx

1. 已知函数在的某个邻域内有连续的导数，且 求及 (-1 2)2. 已知在处可导，且则 , .( )3. 解：法1法2：设，则，由拉格朗日中值定理得 4. 求不定积分解: 5. 求不定积分解：6.计算下列定积分.(1) 解: (2) 解: 7. 求下列广义积分. (1) 解： (2) 解：故该广义积分发散.8. 计算定积分解: 9.求定积分解法1：解法2：而所以原式解法3：利用等式10.0xy求双扭线所围图形的面积. 解：由方程知 ，即 或， 得或， 故双纽线的两个分支分别位于第一象限和第三象限，由对称性11.求圆与心形线所围图形公共部分的面积解：设为心形线与轴在第四象限围成的图形的面积，则，由对称性 0xy12.半径为的半球形水池内存满水，求吸出池中全部水所做的功.解法1：如图选取坐标系，图中半圆为半球体的截面，水的密度 ,半圆的方程为，将水池中位于中的水吸出所作的功的微元为 （焦耳）解法2：如图选取坐标系，图中半圆为半球体的截面，水的密度 ,设半球体的半径为 水池中位于的表面的水的面积为，表面距水面的距离为，故图中薄片的体积为，因而将水池中位于的薄片的水吸出所作的功的微元为 （焦耳）13. 某加油站把汽油存放在地下一容器中，容器为水平放置的圆柱体. 如果圆柱的底面半径为，长度为，并且最高点位于地面下方处，设容器装满了汽油，试求把容器中的汽油从容器中全部抽出所做的功(汽油的密度为).解：如图选取坐标系，图中圆为圆柱体 的截面，圆的方程为，将容器位于区间上的汽油抽出所作的功的微元（焦耳）14. 已知，求的表达式 解法1：故令，则，即解法2（换元法）：令，则，所以 两边对积分，则 ，即15. 设在区间上连续，证明解法1：由于在区间上连续，由闭区间上连续函数的最值定理，必存在，使得在区间上，所以 解法2：由于在区间上连续，由闭区间上连续函数的最值定理，必存在，使得在区间上，。由于在区间上连续，利用中值定理或泰勒公式，使得，所以 16. 曲线和轴围成一平面图形，求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.解：曲线与 轴的交点为， 选为积分变量，则体积微元 为17. 求由曲线与轴所围成的平面图形绕直线旋转一周所得的旋转体的体积.解：曲线关于轴对称(只画出第一象限的图形)，与轴的 交点坐标为、，设以，围成的平面图形为，绕所得的旋转体的体积记为，为使成为坐标轴，做坐标平移，则曲线在新坐标系中的方程为，它的图像与轴（直线）的交点为、，且关于轴对称，选为积分变量，利用对称性，则18.在椭圆绕其长轴旋转所成的椭球体上，沿其长轴方向穿心打一圆孔，使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求该圆孔的直径.解：设圆孔的直径为，由方程 知轴是椭圆的长轴，所求旋转体可视为由轴正向上的图形绕轴所得，选取为积分变量，如图，在上的体积微元由题意 得 ，解得故圆孔的直径19.半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需做多少功？解：如图选取坐标系，图中的圆为球体 的截面，其方程为，小区间上球体薄片的体积微元为，将球从水中取出时，此薄片在水中经过的距离为，在空气中经过的距离为，因为球的密度与水相同，在水中重力与浮力大小相等，方向相反，所以小薄片在水中移动时作功为零.在空气中20.容器上部为圆柱形，高为，下半部为半球形，半径为，容器盛水到圆柱的一半，该容器埋在地下，容器口离地面，求将其中的水全部吸上地面所做的功.解：如图选取坐标系，图为容器的截面， 半球截面的方程为，设将圆柱部分吸出所作的功为，将半球部分吸出所作的功为，则在小区间上薄片的体积微元，所求功(焦耳)21.水管的一端与储水器相连，另一端是阀门，已知水管直径为，储水器的水面高出水管上部边缘，求阀门所受侧压力.解：如图选取坐标系，图中的圆为阀门 的截面，其方程为，小区间上阀门所受侧压力微元为(牛顿)22.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为，），汽锤第一次击打将桩打进地下. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数. 问(1) 汽锤击打桩次后，可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：表示长度单位米）解：设：(1)第次击打后，桩被打进地下总深度为，汽锤第次所作的功为,由题设，当桩被打进地下深度为时，土层对桩的阻力为，故,由题设，汽锤每次击打所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数，故则前次击打所作功总和为又从而有 ，则 ，故即汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下米.(2) ，即击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下米.23. 24. 已知数列，求该数列的极限解：因为(1)证明该数列单调递减因为所以即该数列单调递减。(2)证明该数列有下界，即该数列的下界为。(3)求该数列的极限由单调有界准则，该数列的极限存在。设则对两端同时取极限得，所以25. 26. 求设，则所以上述公式作为递推公式，由得所以即27. 确定常数，使极限存在，且不为零，并求极限的值. 解： 由已知条件存在，且不为零，可知，且函数的最高方幂为，故，即 又，得，推得，即28. 解：注：第一步的处理很巧妙，避开了直接使用罗必达法则对根式求导的繁琐，值得借鉴.29. 设函数在点处可导，且，求.解：因为在点处可导，故在点处连续，即所以错误解法：最后一步求极限用到了在点处的连续可导性，但题目条件不足.30. 证明解：（利用拉格朗日中值公式）设，则，当时，即严格单调递增. 又 在满足拉格朗日中值定理，故有，从而有 即 31. 求下列不定积分. (1)解: (2) 解: (3) 解: 32. 解：方程变形为，由反函数的求导公式可想到变形为 ，因而，将视为因变量，视为自变量，该方程为的伯努利方程，方程两端同除：，令，代入方程得，这是一个一阶线性非齐次的微分方程，其中，故原微分方程的通解为，即33. 设函数在上连续，若由曲线、直线、与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积为，试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解.解：由题意得，即两端分别对求导得 ，故所求微分方程为，这是一个齐次微分方程，变形为，令，代入方程得，这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得，两端积分得，化简得，故曲线方程为，由初始条件得，故曲线方程为，或34.35.36. 设星形线， 上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的三次方，求星形线在第