数值分析实验(3)

实验三 函数逼近与快速傅里叶变换 P95 专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907一、实验目的1、熟悉matlab编程。2、学习最小二乘法及程序设计算法。二、实验题目1、对于给函数在区间上取，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行对比。2、由实验给出数据表0.00.10.20.30.50.81.01.00.410.500.610.912.022.46试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。3. 给定数据点如表所示00.50.60.70.80.91 11.751.962.192.442.713.00用最小二乘法求拟合数据的二次多项式，并求平方误差。 三、实验原理与理论基础1最小二乘原理与线性拟合：在函数的最佳平方逼近中，如果只在一组离散点集上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据的曲线拟合，这里，要求一个函数与所给数据拟合，若记误差，设是Ca,b上线性无关函数族，在中找一函数使误差平方和，这 里 （）。这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。 数据拟合是根据测定的数据间的相互关系，确定曲线的类型，然后再根据在给定点上误差的平方和达到最小的原则，即求解无约束问题：确定出最优参数：，从而得到拟合曲线2、多项式拟合。3、定义1：设有数据和权系数称：为函数4、用正交函数最佳平方逼近： 为避免出现正规方程组的系数矩阵是病态矩阵的情况，在选择多项式时需要考虑正交的多项式是正交基，即：于是正规方程组可以简化为： （1）解方程得到：这里避免了求解病态方程组，提高了计算系数的精确度。对任意的其最佳平方逼近函数为：由式（1）以及，导出平方误差为：其平方根称为均方误差。5、由题意决定,即决定拟合多项式，分别计算，用组成方阵A,用组成矩阵B，利用A/B求出该多项式的系数，再利用求出平方误差。四、实验内容解：1、 i = 0:10; x = -1+0.2*i; y = 1./(1+25*x.2); p=polyfit(x,y,3); s=vpa(poly2sym(p) s = - 0.00000000000000016864439246388428423588689609742*x3 - 0.57518273581808898597955703735352*x2 + 0.000000000000000042557797397088199024277357508168*x + 0.48412492484890701227584486332489 f=polyval(p,x); plot(x,f,x,y,o )2、 x=0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1; y=1 0.41 0.5 0.61 0.91 2.02 2.46; p1=polyfit(x,y,3)%三次多项式拟合p1 = -6.6221 12.8147 -4.6591 0.9266 p2=polyfit(x,y,4)%四次多项式拟合p2 = 2.8853 -12.3348 16.2747 -5.2987 0.9427 y1=polyval(p1,x); y2=polyval(p2,x);%多项式求值 plot(x,y,c-,x,y1,r:,x,y2,y-.) p3=polyfit(x,y,2)%观察图像，类似抛物线，故用二次多项式拟合。p3 = 3.1316 -1.2400 0.7356 y3=polyval(p3,x); plot(x,y,c-,x,y1,r:,x,y2,y-.,x,y3,k-)%画出四种拟合曲线3、M文件：function =zuixiaoercinihe2(x,y)n=length(x);k00=0;for i=1:n k00=k00+1;endk01=0;for i=1:n k01=k01+x(i);endk02=0;for i=1:n k02=k02+x(i)*x(i);endk11=0;for i=1:n k11=k11+x(i)*x(i);endk12=0;for i=1:n k12=k12+x(i)*x(i)*x(i);endk22=0;for i=1:n k22=k22+x(i)*x(i)*x(i)*x(i);endk0y=0;for i=1:n k0y=k0y+y(i);endk1y=0;for i=1:n k1y=k1y+x(i)*y(i);endk2y=0;for i=1:n k2y=k2y+x(i)*x(i)*y(i);endA=k00 k01 k02;k01 k11 k12;k02 k12 k22;B=k0y;k1y;k2y;C=AB;p=C(1);q=C(2);r=C(3);syms m;拟合的二次函数为f=p+q*m+r*m*ml=0;for i=1:n l=l+(p+q*x(i)+r*x(i)*x(i)-y(i)*(p+q*x(i)+r*x(i)*x(i)-y(i);end该拟合函数的平方误差为end五、实验结果1、 i = 0:10; x = -1+0.2*i; y = 1./(1+25*x.2); p=polyfit(x,y,3); s=vpa(poly2sym(p) s = - 0.00000000000000016864439246388428423588689609742*x3 - 0.57518273581808898597955703735352*x2 + 0.000000000000000042557797397088199024277357508168*x + 0.48412492484890701227584486332489 f=polyval(p,x); plot(x,f,x,y,o )2、 x=0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1; y=1 0.41 0.5 0.61 0.91 2.02 2.46; p1=polyfit(x,y,3)%三次多项式拟合p1 = -6.6221 12.8147 -4.6591 0.9266 p2=polyfit(x,y,4)%四次多项式拟合p2 = 2.8853 -12.3348 16.2747 -5.2987 0.9427 y1=polyval(p1,x); y2=polyval(p2,x);%多项式求值 plot(x,y,c-,x,y1,r:,x,y2,y-.) p3=polyfit(x,y,2)%观察图像，类似抛物线，故用二次多项式拟合。p3 = 3.1316 -1.2400 0.7356 y3=polyval(p3,x); plot(x,y,c-,x,y1,r:,x,y2,y-.,x,y3,k-)%画出四种拟合曲线3、 x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x = 0 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00y = 1.0000 1.7500 1.9600 2.1900 2.4400 2.7100 3.0000 zuixiaoercinihe2(x,y)ans =拟合的二次函数为f =m2 + m + 1ans =该拟合函数的平方误差为l = 5.8178e-030六、实验结果分析与小结1、通过这次实习，我学会了如何使用matlab根据已知点或者函数进行线性拟合，并慢慢熟悉编写函数后如何进行改错，有些过程作了简单的注释，也明白了课本中最小二乘法算法如何逼近、如何运算，对第三章的理论内容有了更深的了解。只有真正操作了才能将理论转为实践，有新的发现。2、不足的地方仍然是matlab的使用。虽然很简单的最基础的会了一点，可是使用matlab仍有困难，有些函数编写不太对，结果出不来