英语人教版八年级下册愚公移山.doc

1不等关系不等关系主要有以下几种类型：（1）表示常量与常量之间的不等关系；（2）表示变量与常量之间的不等关系；（3）表示函数与函数之间的不等关系；（4）表示一组变量之间的不等关系2不等式的定义用不等号表示不等关系的式子叫_，如，等用“”或“”连接的不等式叫严格不等式，用“”或“”连接的不等式叫非严格不等式3不等式的分类按成立条件分绝对不等式无论用什么实数代替不等式中的字母都成立，如条件不等式只有用某些实数代替不等式中的字母才能成立，如矛盾不等式无论用什么实数代替不等式中的字母都不能成立，如 按不等号开口方向分同向不等式在两个不等式中，每一个不等式的左边都大于右边，或每一个不等式的左边都小于右边，如与异向不等式在两个不等式中，一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，如与4ab和ab的含义不等式等价于读法含义aba不大于b a小于或等于bab和ab中有一个成立即可aba不小于b a大于或等于bab和ab中有一个成立即可5实数大小比较的依据实数的特征：（1）任意实数的平方不小于0；（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，则点A，B在数轴上的表示如图所示：由图可以看出a，b之间具有以下性质：如果ab是正数，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是负数，那么ab反过来也对这可以表示为ab0_；ab0_；ab0_注：“”的左边反映的是实数运算性质，右边反映的则是两个实数ab的大小关系，合起来就是实数的大小与实数运算之间的关系 6不等式的性质性质性质1（对称性）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab即abba性质2（传递性）如果ab，bc，那么ac即ab，bcac如果cb，ba，那么ca即cb，baca性质3 （可加性）如果ab，那么acbc即abacbc（推论：移项法则）如果abc，那么acb即abcacb性质4（可乘性）如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc性质5（同向可加性）如果ab，cd，那么acbd性质6（同向同正可乘性）如果ab0，cd0，那么ac_性质7（可乘方性）如果，那么_（nN，n1）性质8（可开方性）如果，那么_（nN，n2）K知识参考答案：2不等式 4ab ab ab 5bd K重点用不等式（组）表示不等关系、比较两个代数式的大小、不等式的性质K难点不等式性质的应用（判断命题的真假、证明不等式、求代数式的取值范围）K易错忽略不等式性质成立的条件、对不等式的性质理解不够深刻1用不等式（组）表示不等关系（1）常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下：文字语言大于小于大于等于小于等于至多至少不小于不大于数学符号（2）用不等式（组）表示不等关系的解题思路：先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、变量与常量、还是函数与函数之间的不等关系；然后类比等式的建立找到不等关系，选准不等号，将量与量之间用不等号连接 【例1】某铁矿车队有5辆载重为10 t的A型卡车和8辆载重为6 t的B型卡车，且有11名驾驶员，此车队每天至少要运450 t矿石至冶炼厂已知A型卡车每辆每天可往返6次，B型卡车每辆每天可往返9次假设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，试写出满足上述所有不等关系的不等式组【解析】由题意，可得，即【名师点睛】不等式是不等关系的符号表示，在用不等式表示不等关系时，应特别注意能否取等号，像本题中“至少”包含相等的情况，应该取等号将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系，同时要保证不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围 【例2】从下列实际问题中提炼出相应的不等式：（1）向一杯糖水里加点糖，糖水变甜；（2）把A糖水（淡）与B糖水（浓）混合到一起，得到的C糖水一定比淡的浓、比浓的淡【解析】（1）设糖水b克，含糖a克，易知浓度为，加入m克糖后的浓度为提炼出的不等式：若ba0，m0，则（2）设淡糖水克，含糖克，易知浓度为；浓糖水克，含糖克，易知浓度为；则混合后的浓度为提炼出的不等式：若0，0，且，则【名师点睛】用不等式解决实际问题使实际问题数学化，即数学建模，关键是抓住生活中的问题与数学中关系式的特征间的关系2不等式性质的简单应用等式的性质与不等式的性质的对比如下：等式的性质不等式的性质abbaabbaab，bcacab，bcacabacbcabacbcabacbcab，c0acbc；ab，c0acbcab，cdacbdab，cdacbdab0，cd0acbdab0，cd0acbd（nN，n1）（nN，n1）（nN，n2）（nN，n2）【例3】若为实数，则下列命题正确的是_（填序号）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则；（7）若，则；（8）若，则；（9）若，则【答案】（4）（5）（7）【解析】对于（1），若，显然不成立，命题不正确；对于（2），若，则不成立，命题不正确；对于（3），若，则，命题不正确；对于（4），若，则，两边同时除以得，命题正确；对于（5），因为，两边同时乘以可得，两边同时乘以可得，所以，命题正确；对于（6），因为，所以，所以，命题不正确；对于（7），因为，由性质3可得，命题正确；对于（8），若，则不成立，命题不正确；对于（9），若，则不成立，命题不正确故填（4）（5）（7）【名师点睛】（1）理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对理解不等式性质的指导性（2）理解不等式的性质成立的条件以及是否具有可逆性是掌握性质的关键例如，性质6不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立；性质7若忽略nN，n1，就有可能得出错误的结论同时应注意：除了性质1和性质3，其他性质都不可逆3利用不等式的性质求代数式的取值范围利用不等式的性质求代数式的取值范围的一般思路：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解【例4】（1）已知1a2，3b5，求|a|，ab，ab，3a2b的取值范围；（2）已知2ab5，1ab4，求5ab的取值范围【解析】（1）因为1a2，所以0|a|2；因为3b5，所以2ab7；因为1a2，5b3，所以相加得6ab1；因为33a6，102b6，所以相加得133a2b0（2）方法一 令A(ab)B(ab)5ab，可得，解得，因为42(ab)10，33(ab)12，且2(ab)3(ab)5ab，所以75ab22方法二 令abm，abn，则由，解得，故5ab，由2m5，1n4，可得72m3n22，所以75ab22【名师点睛】同向不等式中只有一个带等号，那么等号是传递不过去的例如，若ab且bc，则ac；若ab且bc，则ac如果两个不等式都带有等号，则有：若ab且bc，则ac，其中ac时必须ab且bc，否则ac是不成立的，同向不等式相加也是这样4比较大小（1）作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论（2）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若ab，bc，则ac；若ab，bc，那么ac其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值注意：采用作差法时只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么并不重要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式乘积的形式；作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反【例5】（1）已知a0，b0，试比较与的大小；（2）已知a0，b0，试比较与的大小；（3）已知5a6，试比较a225与ln(a5)的大小【解析】（1）因为a0，b0，所以0，0，所以当ab时，ab0，则，即；当ab时，ab0，则，即；当ab时，ab0，则，即综上，可得：当a0，b0时，当且仅当ab时等号成立（2）方法一 作差法，因为，所以，当且仅当ab时等号成立，所以(当且仅当ab时取等号)方法二 作商法，当且仅当ab时等号成立，所以(当且仅当ab时取等号)方法三 因为，所以由性质8可知，也可以先平方再作差，然后比较大小平方比较法通常应用于无理式的大小比较，且多与作差法或作商法联用同学们可以自己动手尝试一下，此处不再赘述（3）由5a6，结合相关函数的图象与性质，易得a2250，ln(a5)0，故a2250ln(a5)，即a225ln(a5)【名师点睛】比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）指数形态的比较大小问题一般采用作商法转化为同底指数幂，利用指数函数的单调性来处理5证明不等式利用性质证明不等式，本质上还是比较大小，所不同的是比较大小的目标不明确，而证明不等式的目标明确【例6】（1）已知ab，mn，c0，证明：acmcbcnc(bnc)2；（2）已知x1，y1，证明：【解析】（1）因为ab，mn，所以ambn，又c0，所以(am)c(bn)c，即acmcbcnc0又(bnc)20，所以acmcbcnc(bnc)2（2）采用作差法证明，因为x1，y1，所以x10，y10，xy1，所以0，故0，所以【名师点睛】简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形进行证明；对于比较复杂的不等式的证明，直接利用不等式的性质不易进行证明，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明6忽略不等式性质成立的条件、对不等式的性质理解不够深刻【例7】已知6a16，3b4，c1，求及的取值范围【错解】因为6a16，3b4，所以，即，由3b4，c1可得【错因分析】错解中使用了同向不等式相除，而不等式没有这样的性质，从而导致错误【正解】因为3b4，所以，又6a16，所以，即由及c1可得【名师点睛】要求代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除解题时必须准确利用性质，做到步步有依据，从而避免改变代数式的取值范围而出错同时应注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”，但“乘负反序”“同号取倒反序”等2若d0，d1，m，nN*，则与的大小关系是A BCD不能确定3已知则的取值范围是A(0，)B()C(0，) D()4已知满足且，下列选项中不一定成立的是ABCD5已知1a1，则与1a的大小关系为_6（1）已知xyz0，求证：；（2）已知：3ab1，2c1，求证：16(ab)c208（1）已知，且，试比较与的大小；（2）已知，试比较a4b4与4a3(ab)的大小9已知，则的大小关系是A BC D无法确定11若2c1ab1，则(ca)(ab)的取值范围为_12已知三个不等式：ab0，bcad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成_个正确命题13已知a0，A1a2，B1a2，C，D，试判断A，B，C，D的大小关系14【2014四川文】若，则一定有ABCD15【2016浙江理】已知实数a，b，c，A若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100B若|a2bc|a2bc|1，则a2b2c2100C若|abc2|abc2|1，则a2b2c2100D若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c21001一元二次不等式的定义我们把只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_的不等式，称为一元二次不等式例如：x2x0，2x23x10，x23x0，x2x20都是一元二次不等式注：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数；（2）一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为02一元二次不等式的一般形式一元二次不等式的一般形式：ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0其中a，b，c为常数，且a03一元二次不等式的解与解集使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的_，所有的解组成的集合叫做这个一元二次不等式的_例如x1是不等式x22x0的解，不等式x22x0的解集为注：将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式叫做不等式的同解变形4三个“二次”之间的关系yax2bxc(a0)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根ax2bxc0(a0)的解集或Rax2bxc0(a0)的解集_注：上述表格是解一元二次不等式的一个依据，其中x1，x2具有三重身份：（1）相应的一元二次方程的实数根；（2）相应的二次函数的零点；（3）相应的一元二次不等式解集的区间端点5一元二次不等式的解法由上述三个“二次”之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤如下： （1）通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且右边为0)；（2）计算判别式，求相应的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根；（3）画出对应二次函数yax2bxc(a0)的图象；（4）根据图象及一元二次不等式解集的几何意义写出解集我们可以用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，如下：K知识参考答案：1一 2 3解 解集4K重点三个“二次”之间的关系、一元二次不等式的解法及步骤K难点含参不等式的求解、高次(分式)不等式的求解、穿针引线法的应用K易错解含参不等式时不能正确分类或忽略对二次项系数的讨论1解不含参数的一元二次不等式解不含参数的一元二次不等式有以下3种方法：方法一 若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集其依据是上一节所学的有关因式积的符号法则，即：若ab0，则a，b同号；若ab0，则a，b异号因此我们可以将二次三项式进行因式分解，然后利用上述符号法则来求解一元二次不等式方法二 若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得方法三 若上述两种方法不能解决，则采用求一元二次不等式解集的通法判别式法【例1】解下列不等式：（1）2x27x30；（2）x24x50；（3）4x218x0；（4）x23x50；（5）2x23x20；（6）2x23x10【解析】（1）因为72423250，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为x|x，或x3（2）原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5（3）原不等式可化为0，所以原不等式的解集为（4）原不等式可化为x26x100，(6)24040，所以方程x26x100无实根，又二次函数yx26x10的图象开口向上，所以原不等式的解集为（5）原不等式可化为2x23x20，因为942270，所以方程2x23x20无实根，又二次函数y2x23x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R（6）原不等式等价于，可化为x23x20，解得x2或x1；可化为x23x100，解得2x5故原不等式的解集为2，1)(2，5【名师点睛】（1）一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集是部分与整体的关系，不要将二者混淆；（2）如果能对一个多项式进行因式分解，则运用符号法则可快速解决相应不等式的解集问题，但利用符号法则的前提是能熟练地对多项式进行因式分解2解含参数的一元二次不等式在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a0，a0，a0；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(0)，一根(0)，无根(0)；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x2【例2】（1）解关于x的不等式：x2(a1)xa0(aR)；（2）解关于x的不等式：x2ax10(aR)；（3）解关于x的不等式：ax2(a1)x10 (aR)【解析】（1）原不等式可以化为(xa)(x1)0(aR)，当a1时，不等式的解集为x|xa或x1；当a1时，不等式的解集为x|x1； 当a1时，不等式的解集为x|x1或xa（2）对于方程x2ax10，其判别式a24(a2) (a2)，当2a2时，0，方程无实根，不等式的解集为；若a2时，0，方程有两个相等的实根x1x21，不等式的解集为x|x1；若a2时，0，方程有两个相等的实根x1x21，不等式的解集为x|x1；当a2或a2时，0，方程有两个不相等的实根，不等式的解集为x|x（3）原不等式可化为(ax1)(x1)0，当a0时，(x) (x1)0，原不等式的解集为x|x1；当a0时，原不等式为x10，原不等式的解集为x|x1；当1a0时，(x) (x1)0，原不等式的解集为x|x或x1；当a1时，(x1)20，原不等式的解集为x| x1；当a1时，(x) (x1)0，原不等式的解集为x|x1或x【名师点睛】（1）若不等式对应的一元二次方程可以因式分解，则可根据一元二次方程的根的大小分类进行讨论；（2）若一元二次方程根的判别式符号不确定，应由0，0，0分情况进行讨论；（3）若二次项的系数含有参数，则先对不等式中二次项的系数进行讨论，然后按照不等式的求解方法求解3三个“二次”之间的关系在解决具体的数学问题时，应明确三个“二次”之间的相互联系，并在一定条件下相互转化已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”之间的关系，其解题的一般思路为：（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号；（2）由根与系数的关系或直接代入方程，求出参数的值或参数之间的关系【例3】（1）已知关于x的不等式a(x1)x2xb的解集为x|2x3，求的值；（2）已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|3x4，求关于x的不等式cx2bxa0的解集【解析】（1）根据三个“二次”之间的关系可得：2和3是方程a(x1)x2xb的两根，故，即，解得，故（2）方法一 由不等式ax2bxc0的解集为x|3x4，可知a0，且3和4是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可知7，12，由a0易知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，即x2x0，解得x或x，所以不等式cx2bxa0的解集为(，)(，)方法二 由不等式ax2bxc0的解集为x|3x4，可知a0，且3和4是方程ax2bxc0的两根，所以ax2bxca(x3)(x4)ax27ax12a，故b7a，c12a，故不等式cx2bxa0，即12a x27axa0，即12a(x)(x)0，即(x)(x)0，解得x或x，所以不等式cx2bxa0的解集为(，)(，)【名师点睛】根据三个“二次”之间的关系可知：给出一元二次不等式的解集，则可知不等式中二次项系数的符号和相应一元二次方程的根若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是相应一元二次方程的根，但要注意解集的形式与二次项系数的联系4不等式恒成立问题求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：（1） 利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题，设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)0恒成立a0且0； f(x)0恒成立a0且0；f(x)0恒成立a0且0； f(x)0恒成立a0且0注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论a0的情况（2）将参数分离出来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题（转化为f(x)a或f(x)a或f(x)a或f(x)a恒成立的问题）即：若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)a恒成立am；若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)a恒成立am；若f(x)在定义域内存在最小值m，则f(x)a恒成立am；若f(x)在定义域内存在最小值m，则f(x)a恒成立am【例4】（1）已知关于x的不等式(m1)x2x10对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）已知关于x的不等式(m23m2)x22(m1)x10对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；（3）若不等式kx22x1k0对满足的所有k都成立，求x的取值范围；（4）已知f(x)x22ax4，x1，1，若f(x)1恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）当m10，即m1时，x10，显然不符合题意；当m10，即m1时，对应抛物线开口向上，即m10，且对于方程(m1)x2x10，(1)24(m1)0，即故当时，不等式(m1)x2x10对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为（2）当m23m20，即m1或2时，显然m1符合题意，m2不符合题意；当m23m20时，由相应的二次函数的函数值对一切实数x恒为正数，可得m23m20且4(m1)24(m23m2)0，解得m1综上可得，实数m的取值范围为1，）（3）原不等式可化为，设，则是关于k的一次函数，且是单调函数，根据题意可得，即，解得，故x的取值范围为（4）原问题等价于：当x1，1， f(x)min1由于f(x)图象的对称轴为xa，故或或，即或或，即2a2故实数a的取值范围为2，2【名师点睛】（2）中易漏掉对m23m2的讨论，当二次项系数含参时，需讨论不等式是否为一元二次不等式；对于含参的函数在闭区间上的函数值恒大于等于某个常数的问题，可以利用函数的图象与性质求解5一元二次不等式的实际应用【例5】在一段限速为60 km/h的城市道路上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了事后交警现场勘查测得甲车的刹车距离略超过30 m，乙车的刹车距离略超过28 m已知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间的关系分别为0.1x0.01x2，0.05x0.005x2试判断甲、乙两车有无超速现象【解析】由题意知，对于甲车，有0.1x0.01x230，即x210x30000，解得x50或x60(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过50 km/h，根据题意知刹车距离略超过30 m，由此估计甲车的车速不会超过限速60 km/h；对于乙车，有0.05x0.005x228，即x210x56000，解得x70或x80(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过60 km/h，即超过规定限速【名师点睛】用一元二次不等式解决实际问题的步骤：（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为关于一元二次不等式的问题；（3）解一元二次不等式，从而得到实际问题的解6简单分式不等式和高次不等式的解法（1）简单分式不等式的解法已知f(x)与g(x)是关于x的多项式，不等式，称为分式不等式前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解具体如下：，即或，即；，即或，即；，即，即或；，即，即或【例6】（1）不等式的解集为_；（2）不等式的解集为_【答案】（1）；（2）或【解析】（1）原不等式可化为，即，故原不等式的解集为（2）原不等式可化为，即，即且，故原不等式的解集为或【名师点睛】对于形如，为非零实数或代数式的分式不等式，求解的方法是先把不等式的右边化为0，通分后利用符号法则转化为整式不等式即可求解，但应特别注意分母不为0这一隐含条件（2）简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式解高次不等式的方法有两种：方法一 将高次不等式f(x)0(0)中的多项式f(x)分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐方法二 穿针引线法：（1）将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x的系数为正）或二次不可约因式的乘积；（2）求出各因式的实数根，并在数轴上标出；（3）自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；（4）记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集【例7】（1）不等式的解集为_；（2）不等式的解集为_【答案】（1）或；（2）【解析】（1）原不等式等价于，令，各因式对应的根分别为2，1，2，结合图1可得原不等式的解集为或（2）原不等式等价于，各因式对应的根为2（5重根），1（3重根），3（2重根）结合图2可得原不等式的解集为【名师点睛】应用穿针引线法可快速求解一元二次不等式的解集，但应深刻理解穿针引线法，正确把握应用穿针引线法的步骤及要点，这是正确解题的前提7解含参不等式时不能正确分类【例8】解不等式【错解】原不等式可化为，即，等价于，即，因为，所以当，即或时，；当，即时，；当，即时，综上，当或时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或【错因分析】显然当a0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的实际上错解中的变形非同解变形，因为a1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a10时的情况， 【正解】显然当时，原不等式是不成立的当a0时原不等式可化为，即，等价于(*)，当时，(*)式可转化为，即，即当时，(*)式可转化为当时，(*)式可转化为又当时，所以当或时，；当时，；当时，综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为【名师点睛】在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错8忽略对二次项系数的讨论【例9】已知关于x的不等式mx2mxm10恒成立，则m的取值范围为_ 【错解】由于不等式mx2mxm10对一切实数x都成立，所以m0且m24m(m1)0，解得m0故实数m的取值范围为(，0)【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m的值是否为0而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解【正解】由于不等式mx2mxm10对一切实数x都成立，当m0时，10恒成立；当m0时，易知m0且m24m(m1)0，解得m0综上，故实数m的取值范围为(，01若关于x的方程x2(a21)xa20的一根比1小、另一根比1大，则a的取值范围为A(1，1) B(，1)(1，)C(2，1) D(，21，)2若不等式组的解满足2x29xa0，则Aa9 Ba9 Ca9D0a93若不等式ax2bxc0的解集为(，1)(3，)，令f(x)ax2bxc，则Af(4)f(0)f(1) Bf(4)f(1)f(0)Cf(0)f(1)f(4)Df(0)f(4)f(1)4设集合Pm|1m0，QmR|mx24mx40对任意实数x恒成立，则下列关系式中成立的是APQBQPCPQDPQ5（1）若函数f(x)(x22axa)的定义域为R，则实数a的取值范围为_；（2）对任意a1，1，函数f(x)x2(4a)x2a4的值恒小于零，则x的取值范围为_6将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为使利润不低于2500元，则售价应不高于_元7解关于的不等式：8解关于x的不等式：ax22xa09若不等式f(x)ax2xc0的解集是x2x1，则函数yf(x)的大致图象是ABCD10在R上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围为A(1，1) B(0，2)C(，)D(，)11某厂去年生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销量为1000辆今年为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本，若每辆摩托车投入成本增加的比例为x(0x1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，则（1）今年的利润y与投入成本增加的比例x的关系式为_；（2）为使今年的利润高于去年的利润，x的取值范围为_12已知不等式ax2bxc0的解集为xx，其中0，求不等式cx2bxa0的解集13设函数f(x)mx2mx6m（1）若对于m2，2，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围；（2）若对于x1，3，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围14【2015新课标全国】已知集合A=2，1，0，1，2，B=x|(x1)(x2)0，则ABA1，0B0，1C1，0，1D0，1，215【2015广东文】不等式的解集为 （用区间表示）16（1）【2015江苏】不等式的解集为_；（2）【2014江苏】已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_1二元一次不等式(组)及其解集的定义（1）二元一次不等式的定义我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是_的不等式称为二元一次不等式（2）二元一次不等式组的定义我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组（3）二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集（4）二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是，二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合2二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成_，以表示区域不包括边界不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，把边界画成_对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域如下表：二元一次不等式AxByC0(A0，B0)AxByC0(A0，B0)AxByC0(A0，B0)AxByC0(A0，B0)平面区域3二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的_，即各个不等式表示的平面区域的公共部分不等式组表示的平面区域可能是一个多边形区域，也可能是一个无界区域，还可能由几个子区域合成，若不等式组的解集为，则它不表示任何区域K知识参考答案：11 2虚线 实线 3交集K重点二元一次不等式(组)解集的定义及表示的平面区域K难点点所在平面区域的判断K易错明确不等式中等号的含义及平面区域的判断1画二元一次不等式表示的平面区域画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：第一步：直线定界，即画出边界AxByC0，要注意是虚线还是实线；第二步：特殊点定域，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号就可以断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域对于AxByC0(0)表示的平面区域，具体的定域方法如下表：定域的方法特殊点定域在直线的一侧选取一个特殊点，代入不等式，成立则在此侧，不成立则在对面；当C0时，常选(0，0)作为特殊点；当C0时，常选(0，1)或(1，0)作为特殊点系数定域A的符号判定法A的符号与AxByC的符号相比，同右异左B的符号判定法B的符号与AxByC的符号相比，同上异下注：由A的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同右异左”(“同”表示A的符号与AxByC的符号相同)；由B的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同上异下”（“同”表示B的符号与AxByC的符号相同）即只需由A或B的符号与AxByC的符号的异同可直接确定平面区域【例1】画出下列不等式表示的平面区域：（1）xy；（2）3x2y6；（3）5x2y100【解析】（1）作直线xy0(画成实线)，取特殊点(1，0)，代入xy有10，故所求区域在点(1，0)所在的区域，即直线xy0的右下方，如图1中阴影部分所示（2）作直线3x2y60(画成虚线)，取特殊点(0，0)，代入3x2y6有60，故所求区域在点(0，0)所在区域的另一侧，即直线3x2y60的右上方，如图2中阴影部分所示（3）作直线5x2y100(画成实线)，取特殊点(0，0)，代入5x2y10有100，故所求区域在点(0，0)所在区域的另一侧，即直线5x2y100的右上方(含边界)，如图3中阴影部分所示图1 图2图3【名师点睛】一般情况下，对于不是标准形式的二元一次不等式，要作出它所表示的平面区域，可以先把它化成标准形式(形如AxByC，保证A0)，再作图2画二元一次不等式组表示的平面区域画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：（1）画线：画出各不等式对应的直线，注意根据不等号的特征确定相应直线是画成虚线还是画成实线 （2）定域：根据特殊点或x，y的系数确定各不等式表示的区域，不等式组表示的区域由以上区域的公共部分构成【例2】（1）画出不等式组表示的平面区域；（2）求由直线xy10，2x4y10和4x2y10围成的三角形区域(包括边界)表示的不等式组【解析】（1）首先，在平面直角坐标系中画出直线2xy20，2xy20，x20，特殊点可以选为(0，0)，将(0，0)代入，得200220，200220，0220，从而(0，0)在2xy20，x2所表示的区域内，不在2xy20所表示的区域内，即在它所对的另一个区域内从而不等式组所表示的平面区域如图1中阴影部分所示 图1 图2（2）画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图2中阴影部分所示取原点O(0，0)，并代入xy1得10；代入2x4y1得10；代入4x2y1得10结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为【名师点睛】（1）要作出不等式组表示的平面区域，可以先画出相应的直线，然后代入特殊点进行验证（2）给出直线方程，要求用不等式组表示它们围成的平面区域，只需在这些直线所围成的区域内(或区域外)任取一点(不在这些直线上)，利用其坐标分别确定相应的不等式，进而得到相应的不等式组【例3】（1）画出不等式表示的平面区域；（2）画出不等式表示的平面区域【解析】（1）可化为或，易得上述两个不等式组表示的平面区域如图1中阴影部分所示（2）由可得，可化为或，易得上述两个不等式组表示的平面区域如图2中阴影部分所示 图1 图2【名师点睛】若题设条件涉及的不等式组不是标准的二元一次不等式组，则要先根据相关的运算法则进行转化高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式组，从而画出这些不等式组表示的平面区域对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式（组），然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域3点与平面区域的位置关系（1）判断所给点是否在二元一次不等式所表示的平面区域内，就是将点的坐标代入二元一次不等式若不等式成立，则点在二元一次不等式所表示的平面区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的平面区域内（2）由点与平面区域的关系可得：若直线l：AxByC0(A，B不全为0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则当点M，N在直线l同侧时，(Ax1By1C )(Ax2By2C)0；当点M，N在直线l的异侧时，(Ax1By1C )(Ax2By2C)0上述结论可概括为“同侧同号，异侧异号”【例4】（1）若点P(m，1)到直线xy10的距离为，且点P在不等式2xy30表示的平面区