2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（文）试卷

下学期高二月考文科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 演绎推理“因为对数函数是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（ ）A.大前提错误B.小前提都错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误2. 从装有红球和绿球的口袋内任取2个球（已知口袋中的红球、绿球数都大于2），那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个是红球，至少有一个是绿球B.恰有一个红球，恰有两个绿球C.至少有一个红球，都是红球D.至少有一个红球，都是绿球3. 已知，则下列命题中必然成立的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4. 设是虚数单位，.则等于（ ）A.5B.10C.25D.505. 不等式的解集为（ ）A.B.C.D.6. 曲线（为参数）的对称中心（ ）A.在直线上B.在直线上C.在直线上D.在直线上7. 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数第，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A.B.C.D.8. 设、是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）A.B.C.D.9. 已知正数，满足，则的最小值是（ ）A.B.C.6D.510. 图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到的.图是第1代“勾股树”，重复图的作法，得到图为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A.，B.，C.，D.， 11. 若直线与圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点的个数是（ ）A.0B.1C.2D.无法确定12. 下列四个命题：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型拟合的效果越好；散点图中所有点都在回归直线附近；随机误差满足，其方差的大小可用来衡量预报精确度.其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（每小题5分，共20分）13. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但我没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市。由此可判断乙去过的城市为_.14. 函数的最大值为_.15. 某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是：有_%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”.附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82816. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程是（为参数），圆C的极坐标方程是，则直线被圆C截得的弦长为_.三、解答题（共70分）17.（12分）在中，分别是角，所对的边，且满足.（1）求的值：（2）若，求的面积.18.（12分）己知数列的前n项和，是等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）令.求数列的前n项和.19.（12分）2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动世界，此事件也引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ聊天群有300名网友，乌鲁木齐市某微信群有200名网友，为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名网友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友发表的信息条数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.丹东市乌鲁木齐市（1）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）；（2）为了进一步开展调查，从样本中留言条数超过80条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；（3）规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”.请你根据已知条件完成下列22的列联表：强烈关注非强烈关注合计丹东市乌鲁木齐市合计判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）设，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.21.（12分）设函数，.（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）当时，设函数的最小值为，求证：；（3）求证：对任意的正整数，都有.22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，且倾斜角为.（1）写出直线的参数方程和圆的标准方程；（2）设直线与圆相交于，两点，求的值.参考答案1. A2. B 解：选项A，C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件：选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件.3. D4. C5. A 解：不等式等价于，或，或；解得或.6. B 解：由已知消参得，所以其对称中心为.显然该点在直线上，故选B.7. A 解：x与y正相关，排除C，D；B中方程不过样本点的中心.8. C 解：选项A：恒成立；选项B显然恒成立；选项D要证成立，只需证，也就是证，即证，而显然成立，原不等式得证；选项C显然，不成立.9. D 解：由，用表示可以得到，且，所以，不妨设，则，并且，当且仅当即时取等号，所以的最小值是5.10. D 解：当时，正方形的个数有个；当时，正方形的个数有；.，则个.最大的正方形面积为1，当时，由勾股定理知正方形面积的和为2，以此类推，第n代“勾股数”所有正方形面积的和为n+1，故选D.11.C 解：因为直线与圆没有公共点，所以，即，所以点在圆的内部，而该圆在椭圆内部，故点在椭圆的内部，所以过点的直线与椭圆一定相交，故公共点的个数是2.12. B 解：中越大，拟合效果越好；中回归直线同样可以远远偏离变异点；正确.注意，e是随机变量，其方差衡量预报精度.故选B.13. A14. 5 解：由柯西不等式得.，当且仅当，即时，等号成立.15. 99 解：因为6.669与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”.故填99.16.解：圆在直角坐标系下的方程为，直线的普通方程为，圆心到直线的距离是，弦长为.17. 解：（1）因为正弦定理，又，所以，即，所以，即.故.（2）由得，即.将代入得，解得或，根据得，同正，所以，.可得，代入正弦定理可得，所以，所以.18. 解：（1）因为数列的前n项和，所以，当时，又对也成立，所以.又因为是等差数列，设公差为d，则.当时，；当时，解得，所以数列的通项公式为.（2）由，于是，两边同乘以2，得，两式相减，得，所以.19. 解：（1）.所以丹东市网友的平均留言条数是64条.（2）留言条数超过80条的网友中，丹东市网友有（人），乌鲁木齐市网友有（人），丹东市网友设为A，B，C，乌鲁木齐市网友为a，b.从5人中随机取出2次的所有取法为，共计10种情况，其中至少有一名乌鲁木齐市网友的结果为，共计7种，因此，至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率为.（3）列联表如下：强烈关注非强烈关注合计丹东市154560乌鲁木齐市152540合计3070100的观测值.因为，所以没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关.20. 解：（1）由已知得，设点，则，且.所以，当，即时，；当，即时，.（2）由题意可知，过点的直线的斜率存在.设的方程为，由消去，化简整理得，解得.设，则，.又为锐角，所以，即，有，解得，所以.即.21. 解：（1）由题意知对恒成立，且，故的取值范围为.（2）证明：由，及，可得函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，则，故当时，当时，从而可知在上单调递增，在上单调递减，