数学必修5《数列》单元总结复习.ppt

数学必修 数列 单元总结复习 一 知识回顾 仍成等差 仍成等比 等差数列 等比数列 定义 通项 通项推广 中项 性质 求和公式 关系式 适用所有数列 等差 等比数列的设法及应用 1 三个数成等差数列可设为 或者 2 三个数成等比数列 则这三个数可设为 也可以设为 例1 1 已知三个数成等差数列 其和为15 其平方和为83 求此三个数 析 设这三个数为 则 所求三个数分别为3 5 7 解得x 5 d 或7 5 3 2 二 知识应用 根据具体问题的不同特点而选择不同设法 运用等差 等比数列的性质 例2 1 已知等差数列满足 则 3 已知在等差数列 an 的前n项中 前四项之和为21 后四项之和为67 前n项之和为286 试求数列的项数n 析 C 2 已知等差数列前项和为30 前项和为100 则前项和为 C 例3 等差数列 an 中 a1 0 S9 S12 该数列前多少项的和最小 分析 如果等差数列 an 由负数递增到正数 或者由正数递减到负数 那么前n项和Sn有如下性质 当a1 0 d 0时 当a1 0 d 0时 思路1 寻求通项 n取10或11时Sn取最小值 即 易知 由于 等差数列的最值问题 例 等差数列 an 中 a1 0 S9 S12 该数列前多少项的和最小 分析 等差数列 an 的通项an是关于n的一次式 前项和Sn是关于n的二次式 缺常数项 求等差数列的前n项和Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法 思路2 从函数的角度来分析数列问题 设等差数列 an 的公差为d 则由题意得 a10 d 0 Sn有最小值 又 n N n 10或n 11时 Sn取最小值 即 例3 等差数列 an 中 a1 0 S9 S12 该数列前多少项和最小 分析 数列的图象是一群孤立的点 数列前n项和Sn的图象也是一群孤立的点 此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点 求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n 因为S9 S12 又S1 a1 0 所以Sn的图象所在的抛物线的对称轴为直线n 9 12 2 10 5 所以Sn有最小值 数列 an 的前10项或前11项和最小 n Sn o n 10 5 类比 二次函数f x 若f 9 f 12 则函数f x 图象的对称轴为 直线x 9 12 2 10 5 若f x 2 f 2 x 则函数f x 图象的对称轴为 直线x 2 思路3 函数图像 数形结合 令 故开口向上 过原点抛物线 1 分组求和法 若数列的通项可转化为的形式 且数列可求出前n项和则 例3 求下列数列的前n项和 1 解 1 该数列的通项公式为 小活页P31例1 分析 观察数列的前几项 这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和 这种方法叫什么呢 裂项相消法 评 裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项 进而达到求和的目的 2 拆项相消法 或裂项法 若数列的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即 或 则可用如下方法求前n项和 常见的拆项公式有 例4 求和Sn 1 2x 3x2 nxn 1 x 0 1 分析 这是一个等差数列 n 与一个等比数列 xn 1 的对应相乘构成的新数列 这样的数列求和该如何求呢 Sn 1 2x 3x2 nxn 1 xSn x 2x2 n 1 xn 1 nxn 1 x Sn 1 x x2 xn 1 nxn n项 这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和 这样我们就可以化简求值 错位相减法 例4 求和Sn 1 2x 3x2 nxn 1 x 0 1 解 Sn 1 2x 3x2 nxn 1 xSn x 2x2 n 1 xn 1 nxn 得 1 x Sn 1 x x2 xn 1 nxn 3 错位相减法 设数列是公差为d的等差数列 d不等于零 数列是公比为q的等比数列 q不等于1 数列满足 则的前n项和为 练习 求和Sn 1 2 3 4 5 8 2n 1 2n 答案 求和Sn 1 2 3 4 5 8 2n 1 2n 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为 则由题意得 解析 通项特征 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法 错位相减法 错项法 等差 等比数列的综合应用 解析 两式相减 错位相减法 1 观察数列 30 37 32 35 34 33 36 38的特点 在括号内适当的一个数是 2 在等比数列中 a4 a6 3 则a5 a3 2a5 a7 3 在等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 则2a10 a12的值为 A 20B 22C 24D 28 31 9 C 4 已知数列 an 中 a1 1 并且3an 1 3an 1 则a301 A 100B 101C 102D 103 B 5 若 an 是等比数列 且an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 那么a3 a5的值等于 A 5B 1C 15D 10 A 三 基础练习 6 等差数列 an 中 已知前4项和是1 前8项和是4 则a17 a18 a19 a20的值等于 A 7B 8C 9D 10 C 7 首项为 24的等差数列从第10项开始为正数