2015全国高中数学联赛预赛模拟题.doc

2015全国高中数学联赛预赛模拟题71. 定义集合运算: .设，则集合的所有元素之和为_.解：集合的元素：，故集合的所有元素之和为16. 2. 已知是等比数列，则的取值范围是_.解: 设的公比为，则，进而.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列. .显然，. 3. 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成4小块地，在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙.在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，则X的数学期望_.解：X的可能取值为0,1,2,3,4.，即X的分布列为X01234P来源:Zxxk.ComX的数学期望是：.4设函数定义在上，给出下述三个命题：满足条件的函数图象关于点对称；满足条件的函数图象关于直线对称；函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称.其中，真命题的个数是_.解：用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然，故是真命题.用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上，故是真命题.由是真命题，不难推知也是真命题.故三个命题都是真命题5. 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：弦、可能相交于点 弦、可能相交于点的最大值为5 的最小值为1其中真命题为_.解：假设、相交于点，则、共面，所以、四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以是错的容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，最大为，故对当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故对.显然是对的显然是对的.故6.设,则的大小关系是_.解：因为，所以，；又，故7. 设函数，且，则_.A.2 B.1 C.0 D.解：由，令，则为奇函数且单调递增. 而,所以,从而,即,故.8在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为解：由条件得 当时，化为，无解；当时，化为，无解；当时，化为 若，则，线段长度为；若，则，线段长度为；若，则，线段长度为综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为填9.多项式的展开式在合并同类项后，的系数为 .（用数字作答）解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程 的不超过100的自然数解的组数.显然，方程的自然数解的组数为下面求方程的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设.将方程化为记，则方程的自然数解的组数为因此，的系数为.填7651.10.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，其中，表示实数的整数部分，例如， 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .解：令，则 故是周期为5的函数. 计算可知：；. 所以，；.以上各式叠加，得；同理可得.所以，第2008棵树的种植点为.填.11. 如图，在中, 的内切圆分别切边于点,直线分别与直线相交于点, 证明：证法一：分别连接,则四点共圆.所以,从而,又,所以.又 ,得.所以.又由 ,得 ,所以 , 从而.同理，所以四点共圆，由此 ，所以.证法二：因为，又因为，所以四点共圆，因此.同理，所以四点共圆. 又 ，所以.12. 在数列中，（1）求证：数列为等差数列，并求的通项；（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设数列，的前项和为，求证：解：（1）由得：又，数列是首项为1，公差为3的等差数列，即：（2）对任意的整数恒成立，即恒成立对任意的整数恒成立设，则 当时，为递增数列 所以的取值范围为：（3）由，得所以， 13.已知函数在区间上的最小值为，令，求证：解：（1）因为，所以函数的定义域为又.当时， ，即在上是减函数，故因为,所以.又容易证明，所以， .即 14.过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结（I）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；（2）当时，定点平分线段证明：设、. 则椭圆过点、的切线方程分别为，.因为两切线都过点，则有，.这表明、均在直线 上.由两点决定一条直线知，式就是直线的方程，其中满足直线的方程.（1）当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为代入消去得 对一切恒成立. 变形可得 对一切恒成立.故有由此解得直线恒过定点.（