2015年全国各地高考三模数学试题汇编专题2第4讲导数与定积分(理卷B).doc

专题 2 不等式 函数与导数 第 4 讲 导数与定积分 B 卷 一 选择题 每题 5 分 共 30 分 1 2015 山东省滕州市第五中学高三模拟考试 4 0 1 x xe dx A 1 1 e B 1 C 31 2e D 3 2 2 2015 德州市高三二模 4 月 数学 理 试题 9 6 2 2 a x x 展开式的常数项是 15 右图阴影部分是由曲线 2 yx 和 圆 22 xyax 及轴围成的封闭图形 则封闭图形的面积为 A 1 46 B 1 46 C 4 D 1 6 3 江西省新八校 2014 2015 学年度第二次联考 12 已知定义域为R的奇函数 xf的导函 数 x f 当0 x时 0 x xf xf 若 1 sin1sinfa 3 3 fb 3 ln3lnfc 则下列关于cba 的大小关系正确的是 A acb B bca C abc D cab 4 2015 赣州市高三适用性考试 4 5 2015 赣州市高三适用性考试 12 若函数 2 ln 2 0 3 0 xx f x xx 方程 f f xa只 有五个不同的实根 则实数a的取值范围是 A 2 ln2 e B 2 ln3 e C 2 ln2 3 D 3 2 ln2 6 2015 江西省上饶市高三第三次模拟考试 12 定义 如果函数 f x在 a b 上存在 1212 x x axxb 满足 1 f bf a fx ba 2 f bf a fx ba 则称函数 f x是 a b 上的 双中值函数 已知函数 32 f xxxa 是 0 a 上的 双中值函数 则 实数a的取值范围是 A 1 1 3 2 B 3 3 2 C 1 2 1 D 1 3 1 7 2015 山西省太原市高三模拟试题二 12 8 2015 山东省潍坊市第一中学高三过程性检测 9 已知 sincos02015 x f xexxx 则函数 f x的各极大值之和为 A 2014 2 1 1 x ee e B 2 1008 C 22014 2 1 1 x ee e D 1008 二 非选择题 60 分 9 江西省新八校 2014 2015 学年度第二次联考 16 函数xxxxfsin 3 当 2 0 时 恒有0 22 sin2 cos2 mfmf 成立 则实数m的取值范围是 10 2015 山东省滕州市第五中学高三模拟考试 15 若函数 lnf xxax 存在与直线 20 xy 平行的切线 则实数a的取值范围是 11 2015 江西省上饶市高三第三次模拟考试 15 设定义域为 0 的单调函数 xf 对任意 0 x 都有6 log 2 xxff 若 0 x是方程4 xfxf的一个解 且 1 0 Naaax 则实数a 12 2015 山东省实验中学第二次考试 11 定积分 1 0 2 x xe dx 13 2015 山东省实验中学第二次考试 13 函数 2 sincosf xxxxx 则不等 式 ln1fxf 的解集为 14 2015 盐城市高三年级第三次模拟考试 14 若函数 f x lnx ax2 bx a 2b 有两 个极值点 x1 x2 其中 2 1 a0 且 f x2 x2 x1 则方程 2a f x 2 bf x 1 0 的实根个数为 15 2015 徐州 连云港 宿迁三市高三第三次模拟 17 本小题满分 10 分 如图 在 P 地正西方向km8的 A 处和正东方向km1的 B 处各一条正北方向的公路AC和 BD现计 划在AC和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和F 为缓解交通压力 决定修建两条互相垂 直的公路 PE 和 PF设 2 0 EPA 1 为减少周边区域的影响 试确定FE 的位置 使 PAE与 PFB的面积之和最小 2 为节省建设成本 试确定FE 的位置 使PFPE 的值最小 16 江西省新八校 2014 2015 学年度第二次联考 21 本小题满分 10 分 已知函数 kx exf k为不零的实数 e为自然对数的底数 1 若函数 xfy 与 3 xy 的图象有公共点 且在它们的某一处有共同的切线 求k的值 2 若函数 33 2 xfkxxxh 在区间 1 k k内单调递减 求此时k的取 值范围 17 2015 徐州 连云港 宿迁三市高三第三次模拟 20 本小题满分 10 分 已知函数 3 1 23 bxaxxxf 其中ba 为常数 1 当1 a时 若函数 xf在 1 0 上的最小值为 3 1 求b的值 2 讨论函数 xf在区间 a上单调性 3 若曲线 xfy 上存在一点 P使得曲线在点 P 处的切线与经过点 P 的另一条切线互 相垂直 求a的取值范围 专题 2 不等式 函数与导数 第 4 讲 导数与定积分 B 卷 答案与解析 1 答案 C 命题立意 本题主要考查定积分的运算 解析 0 20 1 1 11131 1 222 xx xe dxxe ee 2 答案 A 命题立意 本题旨在考查定积分的计算 解析 二项式展开的通项公式为 6 6 2636 166 2 2 3602 k kkkk r a TCxC x x kk 故由题意有 2 62 6 215 2Ca 交点坐标为 0 0 1 1 1 1 所求解的面积为 1 22 0 111 8246 Sx dxRah 故选 A 3 答案 A 命题立意 考查导数法求函数的单调性 考查推理能力 较难题 解析 令 xxfxg 则 xf xxfxg 当0 x时 0 x xf xf 当0 x时 0 x g 当0 x时 函数 xf单调递增 函数 xf是奇函数 3 3 3 3ffb 又23ln1 11sin0 1 sin 3 ln 3 fff 1sin3ln3 1 sin1sin 3 ln3ln 3 3fff 即acb 4 答案 C 命题立意 本题主要考查积分的计算 根据积分的运算法则进行求解即可 解析 1 231 1 1 1 sin cos 3 xx dxxx 112 333 选 C 5 答案 C 命题立意 本题主要考查函数与方程的应用 利用换元法转化为两个函数关系 利用数 形结合是解决本题的关键 解析 设 tf x 则 af t 作出函数 tf x 和 af t 的图象如图 若2a 时 af t 有一个根 t 且0t tf x 只有一个解 则方程 af f x 有 1 个根 若2a 时 af t 有两个根 12 0 1tt 方程 1 tf x 有 1 个解 2 tf x 有 1 个解 则方程 af f x 有 2 个根 若22 1 2an 时 af t 有 3 个根 123 1 0 0 12 2 ttt 此时每个方程 tf x 有各有 1 个解 则方程 af f x 有 3 个根 若2 1 2an 时 af t 有 3 个根 123 1 0 0 2 2 ttt 此时方程 1 tf x 有 1 个解 2 tf x 有 1 个解 3 tf x 有 2 个解 则方程 af f x 有 4 个根 若2 1 23na 时 af t 有 3 个根 123 0 01 23ttt 此时方程 1 tf x 有 1 个解 2 tf x 有 1 个解 3 tf x 有 3 个解 则方程 af f x 有 5 个根 若32ln3a 时 af t 有 2 个根 12 01 23tt 此时方程 1 tf x 有 1 个解 2 tf x 有 3 个解 则方程 af f x 有 4 个根 若2ln3a 时 af t 有 2 个根 12 01 3tt 此时方程 1 tf x 有 1 个解 2 tf x 有 2 个解 则方程 af f x 有 3 个根 综上满足条件的a的取值范围是 3 2ln3 选 C 易错警示 本题在求解的过程中 利用换元法转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问 题是解决本题的关键 同时 根据条件要对a进行分类讨论 比较复杂 6 答案 B 命题立意 本题重点考查了本题主要考查了导数的几何意义 二次函数的性质与方程根 的关系 属于中档题 解析 由题意可知 在区间 0 a 存在 x1 x2 1 x1 x2 a 满足 f x1 a2 a f x x3 x2 a f x x2 2x 方程 x2 2x a2 a 在区间 0 a 有两个解 令 g x x2 2x a2 a 0 x a 则解得 a 3 实数 a 的取值范围是 3 故选 B 7 答案 D 命题立意 本题考查利用导数研究抽象函数的单调性 难度较大 解析 在 ln x xfxf x x 中 令xe 得 1 efef e e 得 0fe 且 ln x f x x fx x 2 ln xxf x x 令 ln g xxxf x 则 11ln1 ln xx g xf xxfxf xf x xxxx 当0 xe 时 0g x g x单调递增 当xe 时 0g x g x单调递减 所以 max g xg e 1 10 所以 0fx f x在 0 单调递减 没有最值 8 答案 A 命题立意 本题重点考查利用导数求函数的极值以及等比数列的求和公式 难度中等 解析 因为 sincos cossin 2sin xxx fxexxexxex 所以当 2 2 xkk 时 0fx 当 2 22 xkk 时 0fx 即当 2xk 时 f x取得极大值 其极大值为 22 2 sin 2 cos 2 kk fkekke 又因为02015x 所 以函数 f x的各极大值之和为 210072014 352015 22 1 1 11 x eeee Seeee ee 9 答案 2 1 命题立意 考查导数法求函数的单调性 函数的奇偶性 考查转化能力 较难题 解析 xxxxfsin 3 0cos13 2 xxxf xf是R的减函 数且为奇函数 由0 22 sin2 cos2 mfmf 可得 22sin2cos2 mm 在 2 0 恒成立 2 sin1 2 sin1 2 1 sin1 sin1 2 1 sin22 2cos 22 m在 2 0 恒成立 2 sin1 2 sin1 u在 2 0 单调递减 1 0 u 2 1 m 10 答案 命题立意 本题主要考查导数的几何意义 解析 11 答案 1 命题立意 本题考查函数的零点位置问题 解析 对任意的 0 x 都有6 log 2 xxff 又由 xf是定义在 0 上的单调函数 则xxf 2 log 为定值 设xxft 2 log 则 xtxf 2 log 又由6 tf 可得6log2 tt 可解得4 t 故 2ln 1 log4 2 x xfxxf 又 0 x是方程4 xfxf的一个解 所以 0 x是函数 2ln 1 log4 2 x xxfxfxF 的零点 分析易得 0 4ln 1 1 2ln2 1 1 2 0 2ln 1 1 FF 故函数 xF的零点介于 2 1 之间 故 1 a 12 答案 e 命题立意 本题旨在考查定积分与微积分基本定理 解析 1 0 2x ex dx x2 ex 1 0 12 e1 02 e0 e 13 答案 1 e e 命题立意 本题旨在考查函数的单调性与最值 解析 函数 f x xsinx cosx x2 满足 f x xsin x cos x x 2 xsinx cosx x2 f x 故函数 f x 为偶函数 由于 f x sinx xcosx sinx 2x x 2 cosx 当 x 0 时 f x 0 故函数在 0 上是增函数 当 x 0 时 f x 0 故函数在 0 上是减函数 不等式 f lnx f 1 等价于 1 lnx 1 1 e x e 易错警示 判断函数为偶函数是关键 利用导数求得函数在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 将所给的不等式等价变形为 1 lnx 1 注意通过分类讨论解对数 不等式得解 14 答案 5 命题立意 本题旨在考查导数及其应用 函数的极值 方程的根 解析 由于函数 f x lnx ax2 bx a 2b 有两个极值点 x1 x2 那么 f x x 1 2ax b x bxax12 2 x xxxxa 2 21 0 可得 x1 x2 a b 2 x1x2 a2 1 而关 于 f x 的方程 2a f x 2 bf x 1 0 有两个根 则 f x x1或 f x x2 而 f x2 x2 x1 那么根据对应的图形 数形结合可得 f x x1有三个实根 f x x2有 两个实根 故方程 2a f x 2 bf x 1 0 的实根个数为 5 个 15 答案 1 当 AE 1km BF 8km 时 PAE 与 PFB 的面积之和最小 2 当 AE 为 4km 且 BF 为 2km 时 PE PF 的值最小 命题立意 本题旨在考查三角函数的应用问题 三角形的面积公式 基本不等式 导数 及其应用 函数的单调性等 解析 1 在 Rt PAE 中 由题意可知APE AP 8 则8tanAE 所以 1 32tan 2 PAE SPAAE A 2 分 同理在 Rt PBF 中 PFB PB 1 则 1 tan BF 所以 11 22tan PBF SPBBF A 4 分 故 PAE 与 PFB 的面积之和为 1 32tan 2tan 5 分 1 2 32tan 2tan 8 当且仅当 1 32tan 2tan 即 1 tan 8 时 取 故当 AE 1km BF 8km 时 PAE 与 PFB 的面积之和最小 6 分 2 在 Rt PAE 中 由题意可知APE 则 8 cos PE 同理在 Rt PBF 中 PFB 则 1 sin PF 令 81 cossin fPEPF 0 2 8 分 则 33 2222 8sincos8sincos cossinsincos f 10 分 令 0f 得 1 tan 2 记 0 1 tan 2 0 0 2 当 0 0 时 0f f 单调减 当 0 2 时 0f f 单调增 所以 1 tan 2 时 f 取得最小值 12 分 此时 1 tan84 2 AEAP 2 tan BP BF 所以当 AE 为 4km 且 BF 为 2km 时 PE PF 的值最小 14 分 16 答案 1 e k 3 2 1 3 3 k 命题立意 考查导数的几何意义 导数法求函数的单调性 考查转化能力 较难题 解析 1 设曲线与有共同切线的公共点为 则 3 0 xe 0 kx yf x 3 xy 00 P xy 1 式 又曲线与在点处有共同切线 且 2 0 3 0 3xx yf x 2 yx 00 P xy kx fxke 2 0 3 0 xkekx 2 式 联立 1 2 有 k xxxkx 3 03 00 2 0 3 0 或 舍去 则 e kex0 3 有 2 由得函数 kx f xe 3kx3x x h 2 kx e 所以 k xk kxek xe kx xkexh kxkxkx 6323233 222 kx ek xkx32 kx e k xk xk 2 3 又由区间知 解得 或 1 k k 1 k k 01k 1k 当时 由 0 2 3 kx e k xk xk 得kx k 3 2 即函数01k h x 的单调减区间为 k k 3 2 要使得函数在区间内单 h x 33 f h 2 kxxxx 1 k k 调递减 则有 k k k k k 3 1 2 10 解得 1 3 3 k 当时 由 0 2 3 kx e k xk xk 得kx3 或 即函数1k h x 2 x k 的单调减区间为 k 3 和 h x 2 k 要使得函数在区间内单调递减 则有 2 22 h xf x xkx 1 k k k k k 3 1 1 或 这两个不等式组均无解 1 2 k k k 综上 当1 3 3 k时 函数在区间内单调递减 33 f h 2 kxxxx 1 k k 17 答案 1 b 2 2 当 3 3 a 时 f x 在区间 a 上是单调增函数 当 33 33 a 时 f x 在区间 a 2 1aa 上是单调减函数 在区间 2 1aa 上是单调增函数 当 3 3 a 时 f x 在区间 a 2 1aa 2 1aa 上是单 调增函数 在区间 2 1aa 2 1aa 上是单调减函数 3 33 33 命题立意 本题旨在考查导数及其应用 导数的几何意义 两直线的位置关系 函数的 单调性与最值 考查分类讨论思维 解析 1 当 a 1 时 f x x2 2x 1 所以函数 f x 在 0 1 上单调减 2 分 由 f 1 即 1 1 b 解得 b 2 4 分