4函数的单调性(教师版).doc

第三课时 函数的单调性一：知识呈现1增函数与减函数一般地，设函数的定义域为。 增函数 减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 X1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2.图像描述增函数减函数图象描述自左向右看图象是 逐渐上升的 自左向右看图象是：逐渐下降的注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 3函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：4判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）5.单调性常用结论（1）函数与函数的单调性相反（2）当恒为正或恒为负时，函数与的单调性相反（3）增减增减增减增减减增增减当时增减增减增减当时增减增减减增6复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增 减 增 减 增 减 以上规律还可总结为：“ 同增异减 ”.二：典型例题考点一：函数单调性的判断例1对于函数y=x3, (1)画出它的图象，(2)写出它的单调区间，并用定义证明之. 解:由图像知:y=x3的单调增区间为（-，+）. 证明:显然y=x3的定义域为（-，+）, 在R内任取x1和x2, 使x1x2, f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)(x1+x2)2+x22 x1x2,x1-x20, 又(x1+x2)20, x220，且(x1+x2)2与x22至多一个为0， f(x1)-f(x2)0 即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-,+)内为增函数. 例2.讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：，对称轴 若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在a,2内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.练习1：证明函数在（0，+）上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且，则练习2：证明函数在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且，考点二：函数单调性的运用例3函数f(x)在区间(2，)上是递增的，求实数a的取值范围解：f(x)a.任取x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).函数f(x)在区间(2，)上为增函数，f(x1)f(x2)0，x120，x220，12a.即实数a的取值范围是.评析：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画逆用函数单调性的定义，根据x1x2与f(x1)f(x2)是同号还是异号构造不等式，通过分离参数来求其取值范围例4.已知函数f (x) (a1).(1)若a0，则f (x)的定义域是 ；(2)若f (x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是 .解析：当a0且a1时，由3ax0得x，即此时函数f(x)的定义域是(，；(2)当a10，即a1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，则需3a10，此时1a3.当a10，即a1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，则需a0，此时a0.综上所述，所求实数a的取值范围是(，0)(1,3.答案：(1)(，(2)(，0)(1,3考点三:函数单调性与最值例5.已知函数对任意总有，且当时，（1） 求证：函数是R上的减函数；（2） 求在 上最大值和最小值。解：(1)解法一：函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.六：课后练习1、求证：函数在区间上是单调增函数。2、判断下列说法正确的是 。（1）若定义在上的函数满足，则函数是上的单调增函数；（2）若定义在上的函数满足，则函数在上不是单调减函数；（3）若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数；（4）若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数。3、函数在上是_ _；函数在上是_ _ _。（单调性）4、若函数，求函数的单调区间。5、已知函数且，求函数在区间2，3内的最值。6、函数在区间（上是减函数，求实数a的取值范围。7、（1）函数在上的最大值和最小值分别是_ _。（2）、函数在上的最大值为_，最小值为_。（3）、求