2016届吉林省四平一中高三上学期第三次月考数学试卷(文科)(解析版.doc

2015-2016学年吉林省四平一中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）.docx一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（i是虚数单位）等于（）A4+3iB43iC4+3iD43i2已知等差数列an满足，a3+a15=20，则S17等于（）A90B95C170D3403已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若=（0），=（0），则的最小值是（）A.9BC5D4已知函数y=sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则（）A=1，=B=1，=C=2，=D=2，=5已知向量、的夹角为60，且|=2，|=1，则向量与向量+2的夹角等于（）A150B90C60D306将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是（）Ay=cos4xBy=cosxCy=sin（x+）Dy=sinx7设数列an为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意nN*，都有SnSk成立，则k的值为（）A22B21C20D198若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对9设、都是锐角，且cos=，sin（+）=，则cos=（）ABC或D或10设f（x）是定义在R上的偶函数，对xR，都有f（x2）=f（x+2），且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）A（1，2）B（2，+）C（1，）D（，2）11在ABC中，AC=6，BC=7，O是ABC的内心，若，其中0x1，0y1，动点P的轨迹所覆盖的面积为（）ABCD12函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）ex+1的解集为（）Ax|x0Bx|x0Cx|x1，或x1Dx|x1，或0x1二、填空题.(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13不等式的解集是14若=（2+，1），=（3，），若，为钝角，则实数的取值范围是15一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，依此类推，若an1=20，an=21，则n=16给出下列四个命题：若f（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；若m1，则函数y=log（x22xm）的值域为R；“函数f（x）=在定义域内是奇函数”的充分不必要条件是“a=1”；定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=f（x），且y=f（x）为奇函数，则f（x）为R上的偶函数其中正确的命题序号是三、解答题.17已知函数f（x）=2cosxsin（x+）（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间（0，上总有实数解，求实数k的取值范围18设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn19在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（cosA，cosB）、=（2c+b，a），且（1）求角A的大小；（2）若a=4，求ABC面积的最大值20已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（an）（1）证明：+是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=anan+1，Sn=b1+b2+bn，求证：Sn21已知函数f（x）=lnxax（aR）（） 求函数f（x）的单调区间；（） 当a0时，求函数f（x）在1，2上最小值请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是O的割线，AC=AB（1）证明：AC2=ADAE；（2）证明：FGAC选修4-4：坐标系与参数方程23（2015秋牡丹江校级期末）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），直线l经过点P（2，2），倾斜角（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程；（2）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲24（2014西藏一模）已知函数f（x）=|2x+1|x3|（）求不等式f（x）4的解集；（）求函数y=f（x）的最小值2015-2016学年吉林省四平一中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）.docx参考答案与试题解析一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（i是虚数单位）等于（）A4+3iB43iC4+3iD43i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】把分子展开平方运算，然后利用付数的除法运算进行化简【解答】解： =故选D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题2已知等差数列an满足，a3+a15=20，则S17等于（）A90B95C170D340【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质和求和公式可得S17=，代入已知计算可得【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a17=a3+a15=20，再由等差数列的求和公式可得S17=170故选C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题3已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若=（0），=（0），则的最小值是（）A.9BC5D【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】由已知可得=x=，从而可得，的关系，利用基本不等式可求【解答】解：由D，E，F三点共线可设=（0），=（0）=x=D为BC的中点即+=2则=（）（+）=当且仅当即时取等号故选D【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是根据已知向量的知识寻求基本不等式的条件4已知函数y=sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则（）A=1，=B=1，=C=2，=D=2，=【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题；综合题【分析】通过图象求出函数的周期，再求出，由（，1）确定，推出选项【解答】解：由图象可知：T=，=2；（，1）在图象上，所以 2+=，=故选D【点评】本题考查y=Asin（x+）中参数的物理意义，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力5已知向量、的夹角为60，且|=2，|=1，则向量与向量+2的夹角等于（）A150B90C60D30【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题【分析】先求出及|= 的值，再根据cos= 求出 的值【解答】解：由题意可得=21cos60=1，设向量与向量+2的夹角等于，则|=2故cos=再由 0180，可得=30，故选D【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量数量积公式，求向量的模的方法，属于中档题6将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是（）Ay=cos4xBy=cosxCy=sin（x+）Dy=sinx【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】函数y=sin2x的图象向左平移个单位，推出y=cos2x，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=cosx的图象即可【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象，再将其周期扩大为原来的2倍，得到函数y=cosx的图象，故选B【点评】本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，基础题7设数列an为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意nN*，都有SnSk成立，则k的值为（）A22B21C20D19【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】根据条件求出等差数列的公差d=2，进而由an=a4+（n4）d求出通项，再判断an0，an0时n的范围，而对任意的nN+，都有SnSk成立，则可知Sk为和的最大值，可求【解答】解：a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，3a4=99，3a5=93，即a4=33，a5=31，则d=a5a4=3133=2an=a4+（n4）d=332（n4）=2n+41当n20时，an0，当n21时，an0S20最大对任意的nN+，都有SnSk成立Sk为和的最大值k=20故选：C【点评】本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的通项公式及求和公式的应用，考查学生的运算和推理能力8若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【专题】压轴题；新定义【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x0）交点个数即可【解答】解：根据题意：当x0时，x0，则f（x）=（x）24（x）=x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x24x，则函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的函数是y=x24x由题意知，作出函数y=x24x（x0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x0）交点个数即可得到友好点对的个数如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2即f（x）的“友好点对”有：2个故答案选 C【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决9设、都是锐角，且cos=，sin（+）=，则cos=（）ABC或D或【考点】两角和与差的余弦函数【专题】三角函数的求值【分析】由、都是锐角，且cos值小于，得到sin大于0，利用余弦函数的图象与性质得出的范围，再由sin（+）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出+为钝角，可得出cos（+）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sin和cos（+）的值，将所求式子中的角变形为（+），利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值【解答】解：、都是锐角，且cos=，又sin（+）=，+，cos（+）=，sin=，则cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=故选A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键10设f（x）是定义在R上的偶函数，对xR，都有f（x2）=f（x+2），且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）A（1，2）B（2，+）C（1，）D（，2）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】作图题；函数的性质及应用【分析】作出在区间（2，6内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，对xR，都有f（x2）=f（x+2），f（x）是周期函数，且周期为4；当x2，0时，f（x）=（）x1，其在区间（2，6内的图象如右图，在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f（x）的图象与y=loga（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则loga（2+2）3，且loga（6+2）3解得，a（，2）故选D【点评】本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质根据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题11在ABC中，AC=6，BC=7，O是ABC的内心，若，其中0x1，0y1，动点P的轨迹所覆盖的面积为（）ABCD【考点】余弦定理的应用；轨迹方程；三角形五心【专题】计算题【分析】由，0x1，0y1，知动点P的轨迹为以OA，OB为邻边的平行四边形内部（含边界），由AC=6，BC=7，cosA=，利用余弦定理解得AB=5，sinA=，由此能求出动点P的轨迹所覆盖的面积【解答】解：，0x1，0y1，动点P的轨迹为以OA，OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界），AC=6，BC=7，cosA=，BC2=AC2+AB22ABACcosA49=36+AB226AB，5AB212AB65=0 解得：AB=5 sinA=，SABC=65=6，设ABC内切圆半径为r，则（5+6+7）r=6，r=，SAOB=，动点P的轨迹所覆盖的面积为：2SAOB=故选A【点评】本题考查动点的轨迹所覆盖的面积的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理、三角函数性质的灵活运用12函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）ex+1的解集为（）Ax|x0Bx|x0Cx|x1，或x1Dx|x1，或0x1【考点】函数单调性的性质；导数的运算【专题】函数的性质及应用【分析】构造函数g（x）=exf（x）ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式exf（x）ex+1的解集【解答】解：令g（x）=exf（x）ex，则g（x）=exf（x）+f（x）1对任意xR，f（x）+f（x）1，g（x）0恒成立即g（x）=exf（x）ex在R上为增函数又f（0）=2，g（0）=1故g（x）=exf（x）ex1的解集为x|x0即不等式exf（x）ex+1的解集为x|x0故选A【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=exf（x）ex，是解答的关键二、填空题.(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13不等式的解集是（1，2）【考点】指数函数的单调性与特殊点【专题】计算题【分析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化成相同的形式，化底数为3，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系，得到未知数的范围【解答】解：，y=2x是一个递增函数，x2x2，1x2故答案为：（1，2）【点评】本题考查指数函数的单调性，解题的关键是把题目变化成能够利用函数的性质的形式，即把底数化成相同的形式14若=（2+，1），=（3，），若，为钝角，则实数的取值范围是且3【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】由两向量的数量积小于0求出的范围，去掉使两向量共线反向的情况得答案【解答】解：=（2+，1），=（3，），由=3（2+）+0，得若共线，则（2+）3=0，解得：=3或=1即当=3时，共线反向若，为钝角，则且3故答案为：且3【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查由向量的数量积判断向量的夹角，关键是注意共线反向的情况，是中档题15一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，依此类推，若an1=20，an=21，则n=211【考点】归纳推理；数列的函数特性【专题】计算题【分析】利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出数21所在的组，求出第210项为20，之后的21项就是21，从而得出n的值【解答】解：一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，依此类推，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，则当n=20，1+2+3+n=210，a210=20，a211=a212=21，若an1=20，an=21，则n=211故答案为：211【点评】本题考查数列的函数特性解答关键是利用已知条件，判断出数列具有的函数性质，利用函数性质求出特定项16给出下列四个命题：若f（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；若m1，则函数y=log（x22xm）的值域为R；“函数f（x）=在定义域内是奇函数”的充分不必要条件是“a=1”；定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=f（x），且y=f（x）为奇函数，则f（x）为R上的偶函数其中正确的命题序号是【考点】命题的真假判断与应用【专题】规律型；转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】f（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0取得极值的必要不充分条件；若m1，则1m0，因此真数x22xm=（x1）21m可以取到所有大于0的实数，即可得出函数y=log（x22xm）的值域；由奇函数的定义可得：f（x）+f（x）=0，化为（a21）（e2x+1）=0，可得a21=0，解得a即可判断出正误由y=f（x）为奇函数，可得f（x）=f（x），因此=f（x）=f（x+），可得f（x）=f（x），即可得出奇偶性【解答】解：f（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0取得极值的必要不充分条件，例如f（x）=x3，f（x）=3x2，虽然满足f（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点；若m1，则1m0，因此真数x22xm=（x1）21m可以取到所有大于0的实数，因此函数y=log（x22xm）的值域为R，正确；“函数f（x）=在定义域内是奇函数”，可得f（x）+f（x）=+=0，化为（a21）（e2x+1）=0，a21=0，解得a=1“函数f（x）=在定义域内是奇函数”的充分不必要条件是“a=1”正确定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=f（x），且y=f（x）为奇函数，f（x）=f（x），=f（x）=f（x+），f（x）=f（x），则f（x）为R上的偶函数，正确综上可得：其中正确的命题序号是 故答案为：【点评】本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题.17已知函数f（x）=2cosxsin（x+）（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间（0，上总有实数解，求实数k的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性、初相，得出结论（2）由题意f（x）=log2k，1，关于x的方程f（x）=log2k 在区间（0，上总有实数解，求得k的范围【解答】解：（1）函数f（x）=2cosxsin（x+）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+=sin（2x+），函数f（x）的最小正周期为 =，初相（2）x（0，2x+（，sin（2x+），1根据f（x）=log2k，1，关于x的方程f（x）=log2k 在区间（0，上总有实数解，故1log2k，求得k【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、初相，正弦函数的定义域和值域，属于中档题18设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n1时，2Sn1=3n1+3，两式相减2an=2Sn2Sn1，可求得an=3n1，从而可得an的通项公式；（）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n1时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，于是可求得T1=b1=；当n1时，Tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），利用错位相减法可求得bn的前n项和Tn【解答】解：（）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n1时，2Sn1=3n1+3，此时，2an=2Sn2Sn1=3n3n1=23n1，即an=3n1，所以an=（）因为anbn=log3an，所以b1=，当n1时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，所以T1=b1=；当n1时，Tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），所以3Tn=1+（130+231+332+（n1）32n），两式相减得：2Tn=+（30+31+32+32n（n1）31n）=+（n1）31n=，所以Tn=，经检验，n=1时也适合，综上可得Tn=【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题19在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（cosA，cosB）、=（2c+b，a），且（1）求角A的大小；（2）若a=4，求ABC面积的最大值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）利用数量积之间的关系，结合两角和的三角函数的公式，即可求角A的大小；（2）若a=4，根据余弦定理，结合三角形的面积公式，即可求ABC面积的最大值【解答】解：（1）由正弦定理可得（2sinC+sinB）cosA+sinAcosB=0，即2sinCcosA+（sinBcosA+sinAcosB）=0，整理可得sinC+2sinCcosA=00C，sinC0，；（2）由余弦定理，a2=b2+c22bccosA，即16=b2+c2+bc3bc，故故ABC的面积为，当且仅当时，ABC面积取得最大值【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理以及两角和差的三角公式是解决本题的关键20已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（an）（1）证明：+是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=anan+1，Sn=b1+b2+bn，求证：Sn【考点】数列递推式；数列的求和【专题】证明题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）由已知可得数列递推式，取倒数后构造等比数列，由等比数列的通项公式求得数列an的通项公式；（2）把数列an的通项公式代入bn=anan+1，整理后利用裂项相消法求Sn，放缩得答案【解答】证明：（1）由已知，取倒数得：，变形得是首项为=，公比为3的等比数列，；（2）bn=anan+1 =Sn=b1+b2+bn=【点评】本题考查数列的函数特性，考查了数列递推式，考查等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题21已知函数f（x）=lnxax（aR）（） 求函数f（x）的单调区间；（） 当a0时，求函数f（x）在1，2上最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】综合题【分析】（）求出函数f（x）=lnxax（aR）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间（）a0时，用导数研究函数f（x）在1，2上的单调性确定出最小值，借助（）的结论，由于参数的范围对函数的单调性有影响，故对其分类讨论，【解答】解：（）函数的定义域是（0，+）f（x）=lnxaxf（x）=a当a0时，f（x）0，函数在定义域上是增函数；当a0时，令导数为0解得x=，当x时，导数为负，函数在（，+）上是减函数，当x时，导数为正，函数在（0，）上是增函数（）由（）的结论知当1，2，+）时，即a1时，函数函数f（x）在1，2上是减函数，故最小值为f（2）=ln22a当1，2（0，时，即0a时，函数函数f（x）在1，2上是增函数，故最小值为f（1）=a当1，2时，函数f（x）在1，上是增函数，在，2上是减函数，故最小值为minf（1），f（2）【点评】本题考查用导数研究函数的单调性，解题的键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题属于第一种类型本题的第二小问是根据函数在闭区间上的最值，本题中由于参数的存在，导致导数的符号不定，故需要对参数的取值范围进行讨论，以确定函数在这个区间上的最值请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修