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第四节差商与Newton插值公式 优点 具有严格的规律性 便于记忆 缺点 不具有承袭性 即每当增加一个节点时 不仅要增加求和的项数 而且以前的各项也必须重新计算 为了克服这一缺点 本讲将建立具有承袭性的插值公式 Newton插值公式 本讲主要内容 差商的定义及性质 Newton插值多项式的构造 Lagrange插值多项式 且 同样 承袭性 为实数 而且有 这样 2 4 1差商及其基本性质 定义1称 为f x 在x0 x1点的一阶差商 称为函数f x 在x0 x1 xk点的二阶差商 一阶差商的差商 一般地 k 1阶差商的差商 称为f x 在x0 x1 xk点的k阶差商 一般f xi 称为f x 在xi点的零阶差商 记作f xi f xi xj xk 是指 f xi xj xk f xi xk f xi xj xk xj 一般的 可定义区间 xi xi 1 xi n 上的n阶差商为 它表明差商与节点的排列次序无关 即 f x0 x1 x2 xn f x1 x0 x2 xn f x1 x2 xn x0 性质1差商可以表示为函数值的线性组合 即 称之为差商的对称性 也称为对称性质 性质2由性质1立刻得到 性质3若f x 在 a b 上存在n阶导数 且节点x0 x1 xn a b 则至少存在一点 a b 满足下式 例1f x 6x8 7x5 10 求f 1 2 9 及f 1 2 10 解f 1 2 9 6 f 1 2 10 0 差商表 计算原则 任意一个k k 1 阶差商的数值等于一个分式的值 分子为该数左侧的数减去左上侧的数之差 分母为同行最左侧的插值节点值减去这一行往上数第k个插值节点值之差 2 4 2牛顿插值公式 英1642 1727 构造差商表 利用差商表的最外一行 构造Newton插值多项式 且有如下递推形式 设x是 a b 上一点 由一阶差商定义得 同理 由二阶差商定义 如此继续下去 可得一系列等式 得 得 牛顿插值公式推导二 依次把后式代入前式 最后得 Rn x 称为牛顿型插值余项 由插值多项式的唯一性知 它与拉格朗日插值多项式是等价的 即Ln x Nn x 由此即得性质1 余项公式 由此即得性质3 例2已知f x shx的数表 求4次牛顿插值多项式 并由此计算f 0 596 的近似值 解由上表可得过前5点的4次牛顿插值多项式为 1 11600 1 51533 1 18600 1 27573 1 38410 0 43348 0 52493 0 28000 0 35893 0 22863
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