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三角形的重心 高中数学毛维 播种行为 收获习惯 主要内容 一 三角形重心的定义二 重心的五个重要性质三 三角形的五 心 简介 连接AD BE 交于点O O点即为 ABC的重心 如图所示 在 ABC中 点D E分别是BC AC的中点 A B C D E 重心的定义 三角形的三条中线交于一点 这点称为三角形的重心 重心分中线之比为2 1 即AO OD 2 1 A B C D E O 取EC中点H 连接DH 可证AO OD 2 1 重心性质1 重心性质2 连接CO并延长 交AB于F 根据性质1 可以证明 过点D作DG CF 交AB于G 三角形的三中线必然交于一点 此点恰是重心 故F为AB中点 AF FG 2 1 FG GB 1 1 分别延长中线 可交对边的中点 易知 S AOB 2S BOD S BOC 重心性质3 B C O A 由中线向量的性质 如果O为 ABC的重心 那么 重心性质4 B C O A D E F 重心向量常见变化形式 2 3 中线AD上的点P满足 1 B C O A N M 连接AO 因为M O N三点共线 可得 所以 重心性质5 则 设直线l过重心O 交AB AC于点M N B C A N M 它的逆命题也成立 则直线l必过 ABC的 重心 C 友情链接 1 2010年湖北卷 已知 ABC和点M满足 若存在实数m使得 成立 则 A 2B C 3D 6 解析 补充内容 三角形 五心 向量形式的充要条件 设O为 ABC所在平面内一点 角A B C所对的边长分别为a b c 则 1 O为重心 三条中线的交点 2 O为垂心 三条垂线的交点 3 O为外心 中垂线交点 外接圆圆心 4 O为内心 角平分线交点 内切圆圆心 5 O为 A旁心 旁切圆圆心 A平分线与两外角平分线交点 1 2 3 常考 4 5 只作了解 友情链接 2 2009 宁夏海南卷 已知O N P在 ABC所在平面内 且 则O N P依次是 ABC的 A 重心外心垂心 C 外心重心垂心 D 外心重心内心 B 重心外心内心 答案 C 解析 提示 连GA 课后思考 1 设G为 ABC的重心 M N分别为AB CA的中点 求证 四边形GMAN和 GBC的面积相等 G AMG的面积 GBM的面积 GAN的面积 GNC的面积 课后思考 2 已知A B C三点不共线 且点O满足 下列结论正确的是 A C D B 提示 小结 1 重心的定义 2 重心五个性质及其变化形式 3
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