江南中学数学选拔赛试卷.doc

江南中学数学选拔赛试卷2012.2班级_姓名_ 一、选择题(有且只有一个正确答案，每小题5分，满分30分)1、一个凸多边形的每一个内角都等于150，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ）A、42条 B、54条 C、66条 D、78条2、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分BAD交BC于E， 若CAE=15则BOE=（ ）A、30 B、45 C、60 D、753、从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ）（A） (B) (C) (D)4、的末尾三位数字是（ ）（A）125 (B)375 (C)625 (D)8755、若实数满足方程组：,则有（ ）（A）x+2y+3z=0 (B) 7x+5y+2z=0 (C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=06、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ）（A）15 (B)18 (C)21 (D)24二、填空题(每小题6分，满分30分)7.不论实数k为何值，直线(2k+1)x+(1-k)y+7-k=0恒经过的定点坐标是 。8化简：= 9某人想买A、B、C三件物品，若买l 3件A物品，5件B物品， 9件C物品，则需925元；若买2件A物品，4件B物品，3件C物品，则需32元。试问若买A物品，B物品， C物品各2件，则需 元。10已知实数x，y满足x2+xy+y2=1，则x2-xy+y 2的最大值是 ，最小值是 。 11.一本书共有61页，顺次编号为1，2，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（即：形如的两位数被当成了两位数），结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是 .三、解答题(第12题8分，第13、l6题10分，第14、l5题l4分，满分40分)12.xyO已知，抛物线（）经过、两点，图中的曲线是它的一部分根据图中提供的信息，（）确定，的符号；（）当变化时，求的取值范围13.设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为若均为整数，且 ，求满足条件的直角三角形的个数ABCD14.如图，在中，点在边上，且将以直线为轴做轴对称变换，得到，连接，（）求证；（）求的大小15.ACD图（a）（）如图（），在正方形内，已知两个动圆与互相外切，且与边AB、AD相切，与边BC、CD相切若正方形的边长为1，与的半径分别为，求与的关系式；BCAD图（b）求与面积之和的最小值B（）如图（b），若将（）中的正方形改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则与面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值16.有7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好比赛一场，且没有平局如果其中有3个人X、Y、Z，比赛结果为X胜Y，Y胜Z，Z胜X，那么我们称X、Y、Z构成一个“圈”求这7个人的比赛中，“圈”的数目的最大值参考答案： 、选择题（每小题5分，共30分）1 .解：选B2 .解：选D3 .解：由，而故删去后，可使剩下的数之和为1.故选C4.解：=5=5，因125被8除余l，所以被8除余l，故知被8除余5，而在125、375、625、875四数中，只有125被8除余5，故选A5.解：由（1）、（3）得，,故x0，代人（2）解得，所以，54.检验知此组解满足原方程组.于是10X7yZ0故选D6. 解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线；这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；共得21个菱形. 故选C二、填空题(每小题6分，满分30分)7. 解：（-2，-5）8. 解：3-19. 解：2.110. 解：设x2-xy+y2=Ax2-xy+y2=A与x2+xy+y2=1相加可以得到：2（x2+y2）=1+A （1）x2-xy+y2=A与x2+xy+y2=1相减得到：2xy=1-A （2）（1）+（2）2得：2（x2+2xy+y2）=2（x+y）2=3-A0A3，（1）-（2）2得：2（x-y）2=3A-10，A综上：A311.解：l2611891，20081891117，由于形如的页码被当成后，加得的和数将相差9，因为只能在1，2，9中取值，8，得972，由于11772456354，设弄错的两位数是和，若9=72，9=45，只有19，而可以取l6，27，38，49；这时+的最大值是68；若9=63，9=54，则可以取18，29，而可以取17，28，39，+的最大值也是68三、解答题(每题8分，满分40分)12.解：（）如图，由抛物线开口向上，得1分由抛物线过点，得 2分由抛物线对称轴在轴的右侧，得，又 ，得， 4分（）由抛物线过点，得即，由，得 6分， 8分13.解：由勾股定理，得 3分又，得即整理，得即 4分因为均为正整数，不妨设，可得或或可解出或或所以，满足条件的直角三角形有3个 8分ABCD14.解：（）【证明】是沿做轴对称变换得到的，.有，1分，2分取中点P，连接，则为等边三角形，为等腰三角形，3分有，即 4分BDFGAC（）【解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，即点在的平分线上，13分，即点在的平分线上，6分于是，则点在的平分线上7分又,有8分15.解：（）如图（），在正方形ABCD中，连接，显然与在上，ACD图（a）B且，由， 2分根据题意，可得，即与的面积之和，这里，由，3分当时，与是等圆，其面积和的最小值为-4分BCAD图（b）（）如图（b），作辅助线，得到Rt，则，在Rt中，即解得或由于，故不合题意，应舍去 6分与的面积之和，而，当且仅当时，等号成立，当时，与面积和存在最小值，最小值为，即8分16.解：两场1人负二场，图中表现为“箭头二出”与“箭头二进”。如果我们把表示3个人比赛结果的胜负图中，角两边“箭头一进一出”的角称为“好角”，角两边“箭头二出”或“箭头二进”的角称为“坏角”，那么当比赛结果构成圈时，图中有3个“好角”（图1），不构成圈时有1个“好角”、2个“坏角”（图2）。 设某个人胜k（k=0,1,2,3,4,5,6）场，则他负（6-k）场，可产生k(6-k)个“好角”。k=0,1,2,3,4,5,6时，k(6-k)=0，5，8，9，8，5，0，所以k(6-k)9，即每个人胜负构成的“好角”不超过9个。 再设7个人共构成n个圈，则“好角”共有3n+(35-n)个。 由3n+(35-n)97=63，得n14。 另一方面：14个圈是可能的。不妨设7个人为A、B、C、D、E、F、G，让他们按顺时针围着圆桌坐下，假如每人胜他左边的3人而负于他右边的3人，则含A的“圈”有（ABE），（ACE），（ACF），（ADE），（ADF），（ADG）共6个 这时“圈”的数目共有 “圈”的数目不超过14也可以用下面的方法说明：假如一次比赛后发现至少有15个圈，不妨设含A的“圈”数最多，则含A的“圈”数7 假设有s个人胜A而t个人负于A，s+t=6由于对称性不妨设s3（1）当s0时，t=6，没有含A的“圈”；当s1时，t=5，含A的“圈”最多5个；所以当s0或1时，含A的“圈”数7 （2）若s2，则t=4不妨设B、C胜A，而D、E、F、G负于A，则只有当D、E、F、G均胜B、C或D、E、F、G中只有一人负于B、C中的一人时，才有含A的“圈”数7 D、E、F、G均胜B、C，则含A的“圈”有8个；D、E、F、G最多构成2个“圈”故“圈”的总数目不超过10 D、E、F、G中恰有一人负于B、C中的一人，不妨设B胜D，则含A的“圈”有7个；B、C、D可以构成一个“圈”， D、E、F、G间的“圈”数最多2个故“圈”的总数目不超过10 （3）若s3，则t=3不妨设B、C、D胜A，而E、F、G负于A，则只有以下五种情况下，才有含A的“圈”数7： E、F、G均胜B、C、D，则含A的“圈”有9个E、F、G之间和B、C、D之间至多有一个“圈”故“圈”的总数目不超过11 E、F、G中恰有一人负于B、C、D中的一人，不妨设B胜E，则含A的“圈”有8个；且B、C、D、E之间最多有2个“圈”，B、E、F、G之间最多有2个“圈”故“圈”的总数目不超过12 E、F、G中有一人负于B、C、D中两人，不妨设B、C胜E则含A的“圈”有7个；且B、C、D、E之间最多有2个“圈”，B、C、E、F、G之间最多有4个“圈”故“圈”的总数目不超过13 E、F、G中有两人负于B、C、D中的一人，不