第5节 矩阵多项式.ppt

第五节矩阵的最小多项式 主要内容 1 矩阵多项式及其性质2 化零多项式与Hamilton Cayley定理3 矩阵的最小多项式及求法 定义 设p z 是复数域上的多项式 称p A 为矩阵多项式 am是首项系数 m是次数 则 性质 设p z 是复数域上的多项式 即 若为矩阵A的特征值 则为的特征值 化零多项式 设p z 是复数域上的多项式 A是n阶矩阵 如果p A 0 则称p z 是矩阵A的化零多项式 例 设J是n阶Jordan块矩阵 主对角元为 0 则J的化零多项式为 P 0 n 证明 Hamilton Cayley定理 设A是n阶矩阵 f 是A的特征多项式 则f A 0 该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式 证明 将A的特征多项式改写为 设A的Jordan标准形为 其中 Ji为Jordan块 且设 则有 例设 由A的特征多项式为 则一定有 Hamilton Cayley定理 设A是n阶矩阵 f 是A的特征多项式 则f A 0 例 设 求 证明A可逆 并将其逆表示为A的多项式 其中 提示 矩阵A的特征多项式为 则由带余除法得 又由 从而 由知 则 最小多项式 设A是n阶矩阵 称A的首项系数为1 次数最小的化零多项式为A的最小多项式 例 主对角元为 0 的n阶Jordan块J的最小多项式为P 0 n 例 主对角元为 0 的n阶Jordan形J diag J1 J2 Js 的最小多项式为P 0 k 其中k是J的Jordan块Ji的最大阶数 最小多项式的性质 1 矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除 2 相似矩阵有相同的最小多项式 3 矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根 证明 分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式 由最小多项式的定义可知 利用多项式的带余除法知 存在多项式 使得 1 设 由于 则 又 是矩阵A的最小多项式 而 因此 即 矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除 推论 1 矩阵A的最小多项式是唯一的 2 如果矩阵A的特征多项式无重根 则矩阵A的特征多项式与最小多项式相同 定理 设A是n阶矩阵 A的特征多项式为 则A的最小多项式为 A的Jordan标准形为J diag J1 J2 Js 其中Ji diag Ji1 Ji2 Jini 是特征值为 i 的Jordan形 nik是Jik的阶数 推论 A的相应于特征值 i 的次数最大的初等因子为 则A的最小多项式为 1 设A是n阶矩阵 A的谱为 1 2 s 2 分块对角矩阵A diag A1 A2 AS 的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍数 3 设则A的最小多项式为A的第n个不变因子 4 设A是n阶矩阵 B 是特征矩阵 I A的伴随矩阵 d 是B 中各元素的最高公因式 则A的最小多项式为 例求A的最小多项式 解1矩阵A的特征矩阵为 1 2 A的第3个不变因子为 1 2 则A的最小多项式为 并求 解2矩阵A的特征多项式为 由于A的特征多项式与最小多项式有相同的根故A的最小多项式具有下列形式为 1 k k 1或2或3 经验证可得 A I 2 0 且A I不为零 所以A的最小多项式为 1 2 解3矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵为 B 的各