矩形折叠问题PPT学习课件.ppt

初中几何综合复习矩形折叠问题授课人南京市第十三中学阮小耘 1 一 什么是折叠 二 与折叠有关的问题 2 一 折叠的意义 1 折叠就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180 使它与另一部分在这条直线的同旁 与其重叠或不重叠 显然 折 是过程 叠 是结果 3 如图 1 是线段AB沿直线l折叠后的图形 其中OB 是OB在折叠前的位置 OB OB 4 图 2 是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形 ABC是 AB C在折叠前的位置 它们的重叠部分是三角形EAC AB C ABC E 5 2 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状 大小不变 是全等形 3 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称 6 二 和折叠有关的问题 7 问题1 如图 将宽度为a的长方形纸片折叠成如图所示的形状 观察折叠后重叠部分三角形A EF 这是一个什么三角形 8 三角形A EF是等腰三角形 1 2 3 证明 方法一 图形在折叠前和折叠后是全等的 1 2 又 矩形的对边是平行的 1 3 2 3 A E A F 三角形A EF是等腰三角形 9 三角形A EF是等腰三角形 证明 方法二 图形在折叠前和折叠后的形状 大小不变 只是位置不同 表示矩形宽度的线段EP和FQ相等 即 A EF的边A E和A F上的高相等 A E A F 10 思考题 改变折叠的角度 的大小 三角形A EF的面积是否会改变 为什么 的改变影响了A E的长度 但却不能改变边A E上的高 三角形A EF的面积会随着 的确定而确定 11 例1 如图 标出点A 在折叠前对应的位置A 问 四边形AEA F是什么四边形 证明你的发现 答 四边形AEA F是菱形 12 1 矩形折叠给我们带来哪些信息 2 证明四边形是菱形通常有哪些方法 13 A是A 在折叠前对应的位置 A和A 关于直线EF轴对称 AA EF 且AO A O 又 AE A F EO OF AO OA EO OF AA 与EF互相垂直平分 O 证明 方法一 四边形AEA F是菱形 14 A是A 在折叠前对应的位置 AEF A EF AE A E AF A F 又 AEF是等腰三角形 A E A F 已证 AE AF A E A F 四边形AEA F是菱形 方法二 证明 15 例2在前面的思考题中 若翻折的角度 30 a 2 求四边形AEA F的面积 30 30 30 30 2 S四边形AEA F a 分析 图中被覆盖的部分 A EF是等腰三角形 其腰上的高就是原矩形的宽度2 所以 本题的解题关键就是要求出腰A F A E 的长 16 例3 如图 将矩形ABCD折叠 使B点落在MN上 落点为P 已知M N分别为CD AB的中点 且AB 求折痕AE的长 分析 AE是直角三角形ABE的斜边 解决本题的关键是求PE 或BE 的长 P 17 解法一 M N分别是矩形的边AB和CD的中点 P MN AD BC MN AN且AN是AB的一半又AP AB AN是AP的一半 PAN 60 PAE BAE 30 AEcos30 AE 2 18 解法二 延长EP交AD与F则FE FA 已证 P M N分别是矩形的边AB和CD的中点 MN AD BC EP PF BN NA 1 1 又 APE B 90 AE AF AE AF EF 1 2 30 AE 2 AP 19 解法二 连结PB P M N分别是矩形的边AB和CD的中点 MN AD BC PN垂直平分AB PB PA 又PA BA PA BA AB 2 3 60 2 3 30 AE 2 AP 20 解法三 P O 又FE FA 问题1的结论 AE AF EF EAF 60 1 2 30 3 30 AE 2 由BC MN DA且M N分别为CD和AB的中点可得EP PF EO AO PO AF 又 EPF 90 PO AE AE AF 21 x 例4在例3中 若M N分别为CD AB的三等份点 AB 求PE和AE的长 分析 本题与上一题略有不同 MN由原来的二等分线变为三等分线 其他条件不变 所以本题的解题关键还是求出EB 或EP 的长 22 x 2x 3x 解 延长EP交AD于F 则FE FA 已证 M N分别是矩形的边AB和CD的三等分点 MN AD BC EP PF BN NA 1 2 设EP x 则PF 2x AF EF 3x 在Rt APF中有AP PF AF 5 2x 3x x 1 PE 1 AE 1 5 6 AE 23 思考题 如上题中M N为四等分或五等分点 其它条件不变你还能求出折痕的长吗 24 例5如图 将正方形ABCD对折 折痕为MN 再沿AE折叠 把B点叠在MN上 图中的P 若AB 3 1 求PM的长 2 以PE为边长的正方形的面积 分析 将本题与例题3比较 不难看出它们的共同之处 显然 解决本题的关键是求PE和PN的长 25 解 1 M N分别是正方形的边AB和CD的中点 MN AD BC MN AN且AN AB又AP AB AN AP APN 30 PN AN PM 3 2 APN 30 PAN 60 EAB EAP 30 EP BE 以EP为边长的正方形的面积为3 26 例6如图 将矩形ABCD折叠 使C点落在边AB上 如图所示 若AB 10 BC 6 求四边形CNMD的面积 分析 本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形的边AB上 ACN和 AMN是全等的 所以 求四边形CNMD的面积可以转化为求 DCN或 DMN的面积 所以本题的解题关键还是求出NC 或BN 的长 27 解 在直角三角形ADM中 AD 6 DM DC 10 由勾股定理可以求得AM 8 BM 10 8 2 设NC x 则MN x BN 6 x 在Rt BMN中 MN2 BN2 BM2 x2 6 x 2 4 x S四边形CNMD 2S DCN 28 解法二 由折叠的意义可知 DMN C 90 DMA NMB 90 A C 90 DMA MNB 6 8 2 6 x x S四边形CNMD 2S DCN 29 例7 将长为8 宽为6的矩形ABCD折叠 使B D重合 1 求折痕EF的长 2 求 DEF的面积 分析 由矩形折叠的意义可知 EF垂直平分BD O为BD的中点 由AB DC可得EO FO BO DO 1 1 O为EF的中点 所以可设法先求出EO的长 或直接求EF的长 进而求 DEF面积 O 30 解 法一 D B关于EF成轴对称 EF垂直平分DB 又DC CB DOE DCB在Rt DCB中 由勾股定理可得BD 10 DO 5 又AB DC EO OF DO OB 1 1 1 由 DOE DCB得DO DC DE BC EO 6 5 8 EO EF 2 S DEF EF DO 5 31 解法二 1 过C作CP EF 交AB于P EF DB CP DB易得 CBP DCB CP BD CB DC EF 2 S DEF EF DO 5 32 设BF x则FD DE x AF 8 x 在Rt ADF中 AF2 AD2 DF2 8 x 2 62 x2 x 2 S DEF 6 EF DO 2 EF 解法三 又DO 5且EF DO ED AD 33 一 什么是折叠 二 与折叠有关的问题 小结 34 一 折叠的意义图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状 大小不变 是全等形 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称 35 将长方形纸片折叠成如图所示的形状其重叠部分是三角形A EF