人教a版必修2高考题同步试卷：1.3空间几何体的表面积与体积.doc

人教A版必修2高考题同步试卷： 1.3 空间几何体的表面积与体积（01）一、选择题（共12小题）1（2015河北）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A14斛B22斛C36斛D66斛2（2015山东）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）ABC2D43（2015山东）在梯形ABCD中，ABC=，ADBC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）ABCD24（2014新课标II）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为（）A3BC1D5（2014春皇姑区校级期末）已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A4B3C2D56（2014秋天宁区校级期末）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）ABCD7（2014福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A80元B120元C160元D240元8（2010全国卷）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）ABCD9（2010全国卷）已知正四棱锥SABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A1BC2D310（2014湖北）算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）ABCD11（2015秋桐乡市期中）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A1BCD212（2014广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD二、填空题（共9小题）13（2015江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为14（2014山东）三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则=15（2014福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）16（2013春宝安区期末）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是17（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是18（2013江苏）如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1：V2=19（2014山东）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为20（2015四川）在三棱住ABCA1B1C1中，BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PAMN的体积是21（2014春龙海市校级期末）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=三、解答题（共9小题）22（2015新课标II）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4过E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值23（2013上海）如图，正三棱锥OABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积24（2014上海）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V25（2015北京）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥VABC的体积26（2015安徽）如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60（1）求三棱锥PABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值27（2015湖北）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE（）证明：DE平面PBC试判断四面体EBCD是否为鳖臑若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值28（2015湖南）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（）证明：平面AEF平面B1BCC1；（）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积29（2014辽宁）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点（）求证：EF平面BCG；（）求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高30（2014重庆）如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD=，M为BC上一点，且BM=（）证明：BC平面POM；（）若MPAP，求四棱锥PABMO的体积人教A版必修2高考题同步试卷： 1.3 空间几何体的表面积与体积（01）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1（2015河北）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A14斛B22斛C36斛D66斛【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为（）25，1斛米的体积约为1.62立方，1.6222，故选：B【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础2（2015山东）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）ABC2D4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体V=2Sh=R2h=2（）2=故选：B【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力是基础题3（2015山东）在梯形ABCD中，ABC=，ADBC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）ABCD2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=故选：C【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力画出几何体的直观图是解题的关键4（2014新课标II）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为（）A3BC1D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积【解答】解：正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：三棱锥AB1DC1的体积为：=1故选：C【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键5（2014春皇姑区校级期末）已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A4B3C2D5【考点】球面距离及相关计算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题【解答】解：由题意画轴截面图，截面的面积为5，半径为，截面的面积为8的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，d=1，r=3故选B【点评】本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题6（2014秋天宁区校级期末）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据圆锥的侧面积公式直接解答即可【解答】解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C【点评】本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题7（2014福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A80元B120元C160元D240元【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积菁优网版权所有【专题】综合题；不等式的解法及应用【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则长方形容器的容器为4m3，高为1m，底面面积S=ab=4，y=20S+102（a+b）=20（a+b）+80，a+b2=4，当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故选：C【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键8（2010全国卷）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值【解答】解：过CD作平面PCD，使AB平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有，当直径通过AB与CD的中点时，故故选B【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力9（2010全国卷）已知正四棱锥SABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A1BC2D3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值【解答】解：设底面边长为a，则高h=，所以体积V=a2h=，设y=12a4a6，则y=48a33a5，当y取最值时，y=48a33a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h=2，故选C【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法是中档题10（2014湖北）算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据近似公式VL2h，建立方程，即可求得结论【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2r，=（2r）2h，=故选：B【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题11（2015秋桐乡市期中）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A1BCD2【考点】球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE=，O1O2=故选C【点评】本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题12（2014广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥DABC的体积【解答】解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，ADC，ABC都是等腰直角三角形，DO=B0=，BD=a，BDO也是等腰直角三角形，DOAC，DOBO，DO平面ABC，DO就是三棱锥DABC的高，SABC=a2三棱锥DABC的体积：，故选D【点评】本题考查棱锥的体积，是基础题二、填空题（共9小题）13（2015江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：，解得：故答案为：【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题14（2014山东）三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则=【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比【解答】解：如图，三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，=故答案为：【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题15（2014福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+102（a+b）=20（a+b）+80，a+b2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题16（2013春宝安区期末）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题考查的是圆锥的侧面积求解问题在解答的时候，应先结合：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，分析圆锥的母线长和底面半径长，结合圆锥的侧面积公式即可获得问题的解答【解答】解：由题意：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，对于轴截面有：，a2=4，a=2，所以圆锥的侧面积为：12=2故答案为：2【点评】本题考查的是圆锥的侧面积求解问题在解答的过程当中充分体现了三角形面积公式的应用、圆锥侧面积公式的应用以及转化思想的应用值得同学们体会反思17（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】立体几何【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；=，它们的侧面积相等，=故答案为：【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目18（2013江苏）如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】立体几何【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以SADE：SABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍即三棱柱A1B1C1ABC的高是三棱锥FADE高的2倍所以V1：V2=1：24故答案为1：24【点评】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题19（2014山东）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积【解答】解：一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，h=1，棱锥的斜高为：=2，该六棱锥的侧面积为：=12故答案为：12【点评】本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题20（2015四川）在三棱住ABCA1B1C1中，BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PAMN的体积是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥PAMN的体积即可【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥PAMN的体积是：=故答案为：【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力21（2014春龙海市校级期末）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEFA1B1C1=V1；VBCFEB1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=VV1以及面积关系，求出体积之比【解答】解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEFA1B1C1=V1；VBCFEB1C1=V2；总体积为：V计算体积：V1=h（s1+s+）V=sh V2=VV1由题意可知，s1=根据解方程可得：V1=sh，V2=sh；则故答案为：【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题三、解答题（共9小题）22（2015新课标II）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4过E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（）求出MH=6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值【解答】解：（）交线围成的正方形EFGH如图所示；（）作EMAB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH=6，AH=10，HB=6因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础23（2013上海）如图，正三棱锥OABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥OABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积【解答】解：OABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，该三棱锥的体积=；设O是正三角形ABC的中心，则OO平面ABC，延长AO交BC于D则AD=，OD=，又OO=1，三棱锥的斜高OD=，三棱锥的侧面积为=2，该三棱锥的表面积为【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题24（2014上海）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】利用侧面展开图三点共线，判断P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，ABP1=BAP1=CBP2，ABC=60，ABP1=BAP1=CBP2=60，P1=60，同理P2=P3=60，P1P2P3是等边三角形，PABC是正四面体，P1P2P3的边长为4，VPABC=【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法25（2015北京）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥VABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（1）利用三角形的中位线得出OMVB，利用线面平行的判定定理证明VB平面MOC；（2）证明：OC平面VAB，即可证明平面MOC平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥VABC的体积【解答】（1）证明：O，M分别为AB，VA的中点，OMVB，VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC；（2）AC=BC，O为AB的中点，OCAB，平面VAB平面ABC，OC平面ABC，OC平面VAB，OC平面MOC，平面MOC平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，AB=2，OC=1，SVAB=，OC平面VAB，VCVAB=SVAB=，VVABC=VCVAB=【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键26（2015安徽）如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60（1）求三棱锥PABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（1）利用VPABC=SABCPA，求三棱锥PABC的体积；（2）过B作BNAC，垂足为N，过N作MNPA，交PC于点M，连接BM，证明AC平面MBN，可得ACBM，利用MNPA，求的值【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，BAC=60，可得SABC=因为PA平面ABC，PA=1，所以VPABC=SABCPA=；（2）解：过B作BNAC，垂足为N，过N作MNPA，交PC于点M，连接BM，由PA平面ABC，知PAAC，所以MNAC，因为BNMN=N，所以AC平面MBN因为BM平面MBN，所以ACBM在直角BAN中，AN=ABcosBAC=，从而NC=ACAN=由MNPA得=【点评】本题考查三棱锥PABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题27（2015湖北）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE（）证明：DE平面PBC试判断四面体EBCD是否为鳖臑若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）证明BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（）由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1=由（）知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2=即可求的值【解答】（）证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC，因为ABCD为正方形，所以BCCD，因为PDCD=D，所以BC平面PCD，因为DE平面PCD，所以BCDE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DEPC，因为PCBC=C，所以DE平面PBC，由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB；（）由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1=由（）知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2=因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=CD，所以=4【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题28（2015湖南）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（）证明：平面AEF平面B1BCC1；（）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】（）证明AEBB1，AEBC，BCBB1=B，推出AE平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF平面B1BCC1；（）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积【解答】（）证明：几何体是直棱柱，BB1底面ABC，AE底面ABC，AEBB1，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，AEBC，BCBB1=B，AE平面B1BCC1，AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1；（）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（）可知CG平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，则A1G=CG=，AA1=，CF=三棱锥FAEC的体积：=【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力29（2014辽宁）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点（）求证：EF平面BCG；（）求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）先证明AD平面BGC，利用EFAD，可得EF平面BCG；（）在平面ABC内，作AOCB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，利用VDBCG=VGBCD=，即可求三棱锥DBCG的体积【解答】（）证明：AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，ABCDBC，AC=DC，G为AD的中点，CGAD同理BGAD，CGBG=G，AD平面BGC，EFAD，EF平面BCG；（）解：在平面ABC内，作AOCB，交CB的延长线于O，ABC和BCD所在平面互相垂直，AO平面BCD，G为AD的中点，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半在AOB中，AO=ABsin60=，VDBCG=VGBCD=【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键30（2014重庆）如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD=，M为BC上一点，且BM=（）证明：BC平面POM；（）若MPAP，求四棱锥PABMO的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】（）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD=，M为BC上一点，且BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OMBC及POBC，进而由线面垂直的判定定理得到BC平面POM；（）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥PABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】证明：（）底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AOOB，AB=2，BAD=，OB=ABsinBAO=2sin（）=1，又BM=，OBM=，在OBM中，OM2=OB2+BM22OBBMcosOBM=，即OB2=OM2+BM2，即OMBM，OMBC，又PO底面ABCD，BC底面ABCD，POBC，又OMPO=O，OM，PO平面POM，BC平面POM；（）由（）可得：OA=ABcosBAO=2cos（）=，设PO=a，由PO底面ABCD可得：POA为直角三角形，故PA2=PO2+OA2=a2+3，由POM也为直角三角形得：PM2=PO2+OM2=a2+，连接AM，在ABM中，AM2=AB2+BM22ABBMcosABM=，由MPAP可知：APM为直角三角形，则AM2=PA2+PM2，即a2+3+a2+=，解得a=，即PO=，此时四棱锥PABMO的底面积S=SAOB+SBOM=AOOB+BMOM=，四棱锥PABMO的体积V=SPO=【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，难度中档参与本试卷答题和审题的老师有：maths；qiss；刘长柏；sxs123；翔宇老师；ying_0011；minqi5（排名不分先后）菁优网2016年8月23日考点卡片1球面距离及相关计算【知识点的认识】球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离2旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体1圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO认识圆柱圆柱的特征及性质圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：2圆锥定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO认识圆锥圆锥的特征及性质与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线母线长l与底面半径r和高h的关系：l2=h2+r2圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：3圆台定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO认识圆台圆台的特征及性质平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：3棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【知识点