第二讲 集合的运算.doc

第二讲 集合的运算一、知识梳理（1）集合的基本运算集合与集合B的交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，记作，即；集合与集合的并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，记作，即；在研究某一集合问题过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给定集合就称为全集，记作，设，由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做集合在集合中的补集，记作，即.（2）集合运算的性质性质：.； .； .； .若，则和； .；.二、典型例题讲解【例1】设集合.若，求实数a的值【思维分析】条件，又可分为三种情况，故须先求，再对分类讨论解：或非空或，且. 当，即时，由一元二次方程根与系数的关系得， 当非空，即或时， 时，而时，此时，故舍去 时，同样此时舍去，而时，此时，故舍也去. 当时， 综上所述，.【例2】如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）AB CD 解：此阴影部分是属于M且属于P，即 。但又不属于S集，所以为，故选C。【例3】设， ，若A、B、C中至少有一个不是空集，求实数a的取值范围.思维分析：本题可以从两个角度出发，一是直接求；二是从反面出发，先将问题的反面结果求出来，再求其补集即为结果。解法一：若，则，解之得； 若，则，解之得； 若，则，解之得； 故由题意，a的取值范围 .解法二：若A、B、C都是空集，则 ，解之得，从而a范围.评注：处理含参数集合问题时，要注意端点值的取舍，必要时可单独考虑.三、课堂练习（1）基础训练1下列各式正确的是（ ）A BC D解析：A中式子左边不表示集合，故；B中；C中 .答案：D2如果集合，那么（）A B C D解析：元素和集合之间用和连结；集合与集合之间用和连结.答案：D3若I=1, 2, 3, 4, 5, 6，M=1, 3, 4，则等于（）A4, 5, 6 B1, 5, 6 C2, 3, 5 D2, 5, 6解析：根据补集的概念答案：D4己知，,则（） A B R C D解析：根据并集概念答案：B5设，,则（）A B C D解析：，则.答案：B6设全集为实数集R，集合, ，则下列关系一定成立的是（）AAB BBA CD解析：，则AB.答案：A7已知全集I=1，2，则I的真子集的个数为（）A1B2C3D4解析：I的真子集的个数为答案：D8已知集合A,B，且AB，则 ( )AAB=A BAB=B CAB=B DAB=解析：AB可以得出以下结论：AB=B， AB=A答案：C9设全集，集合，则的值是 ( )A2 B8 C-2或8 D2或8解析：(验证)若，则，不合条件，若，则, ,满足条件；若，则，仍符合条件，则a的值为2或8.答案：D10已知集合，则MN= ( ) A BC D解析：，则MN=答案：B11设全集，则集合等于 ( ) A B C D解析：(验证)，.答案：A12设集合，.若,则实数 的取值范围是 ( )A B C D解析：，由答案：D13已知集合，若，则实数m的取值范围是 ( )A B C D解析：(检验)若，则B=1不合条件，若则B=符合条件答案：D14如图，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是 ( )A BC D解析：阴影部分在S中不在M和N中，排除C和D，而B中答案：A15设A=等于 （ ）A0 B0 C D1，0，1解析：，则=0答案：B16设集合，则满足的集合的个数是（）A0 B1 C2 D3解析：其实本题不需要求出，因为二元一次方程组最多只有一个解，利用数形结合的思想，本题中两条直线的斜率不等，故有一个元素，其子集有2个.答案：C17设集合若，则实数a的取值范围（ ）A B C D解析：说明A非空，也就是方程有实数解，即 答案：B18、用集合表示右图的阴影部分为（）A BC D解析：阴影部分在M和P中不在S中.答案：C19设全集，集合，则等于（）ABCD解析：，从而.答案：B20设，则等于（）A0B1,2C3，4D1，2，3，4解析：，则答案：C21已知集合，则AB=（ ）A B C（0,0） D0解析： AB=.答案：A22若集合，且，则实数m的可取值组成的集合是（ ）A B C D解析：，由于，若，根据数形结合思想，直线与x轴无交点，即斜率；若，则；若，则.答案：C23已知全集S=1,2,3,4,5,6,7,8,9，A、B都是全集S的子集，且B=1,9,AB=2，=4,6,8,那么A、B分别为（ ）A2,3,5,7、1,2,9 B1,2,9、2,3,5,7 C2,3,5,7、2,9 D2,5,7、1,2,9解析：根据题目中条件，知A中含2，不含1，4，6，8，9；B中含1，2，9，不含4，6，8，排除B，C，根据=4,6,8,A，B中有且有一个含3答案：A24设全集I=不大于10的自然数，A=1，4，7，B=2，4，6，则CIAB= 解析：CIA=0,2,3,5,6,8,9,10，则CIAB=2,6答案：2,625设集合，则AB= .解析：根据数形结合思想，联立方程即可得AB=答案：26设集合A=m|关于x的方程x2-2x+m=0有实根，mR, B=m|关于x的二次方程mx2-x+1=0无实根，mR，则AB= .解析：由得，对于B，首先，其次由 得，AB=答案：27不等式的解集是，则 .解析：由根与系数的关系，得答案：728已知集合P=和Q=,若PQ，则b的取值范围是 解析：P与Q均是点集，两者交集，即为两者图像的交点，而由于PQ，说明二者图像不相交，根据函数解析式发现P表示的是：以原点为圆心，5为半径的下半圆；Q表示的是：斜率为1过点的直线，我们先找临界点，即当直线与半圆只有一个交点时，根据图像在下方有一点相切，此时应满足原点到直线距离，得 ，观察发现应，上面还有一临界点是，此时，根据图像得b的范围为或答案：或29集合A中有m个元素,若在A中增加一个元素,则它的子集个数将增加 个.解析：答案：30设集合，则的元素个数为 _个.解析：，.答案：131已知集合，若，则实数的取值范围为.解析：由于且，则答案：32设集合,且全集,则到的映射共有个.解析：，由于全集为Z，即在整数集中考虑，则.A中每个元素的象有3中可能，从而映射共有个映射.答案：9评注：当所处理的集合问题中，告诉了全集就表示在这个全集下考虑问题.33已知全集，集合，则解析：，从而答案：34已知集合，则 解析：两集合均表示一元二次函数的值域， ，则.答案：35满足的集合B的个数是 解析：B必须包含z，而另外的两个元素分别有两种选择，即在B中或不在B中，从而集合B的个数为个.答案：436已知集合，且则的值为 解析：.若，即时， 符合条件；若，即时， 或都符合条件； 若，即时，符合条件.答案：37设 .若,求a的值.解： B至多有两个元素.，根据根与系数的关系，得.38已知为全集，求解 由已知因为为减函数，所由 解得，所以由，解得，所以于是故39设若，求实数的值解：， 而， 当时，即直线与x轴平行，也就是； 当时，； 当时，； 当时，不存在.综上所述，的值为.评注：注意空集是任何集合的子集.40.已知命题。若，求实数的值.解：由题意可知：或由，可得即有（2）能力培养41设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是（ ）A6B7C8D 9解析：答案：C42若AB=a，b，AB=a，b，c，d，则符合条件的不同的集合A、B有 （ ）A16对 B8对 C4对 D3对解析：a，b两元素都在A，B中，而c要么在A中要么在B中，d要么在A中要么在B中，所以符合条件的不同的集合A、B有对答案：C43已知集合A是全集S的任一子集，下列关系中正确的是（ ） A B C D解析：当时，答案A错；当时，答案B错；D中应该.答案：C44设全集，集合，则集合等于（ ）A（）（） B（）N C（）（） DM（）解析：中元素不在M和N中，答案：A45.给出了以下三个命题：；.其中正确命题的个数是().A.0 B.1 C.2 D.3解析：为真，为假.答案：C46.已知集合，如果集合恰有四个不同的子集，那么实数的取值范围为 .解析：集合恰有四个不同的子集，说明有两个元素，P与Q均表示点集，根据图像，P表示的直线应该与Q表示的圆有两个交点，先求相切时的情形，即圆心到 直线的距离，得或，从而b的取值范围为.答案：47.设集合,则的取值范围是 .解析：A表示两半平面并，B表示一个半平面，说明两者区域有重合部分，如图： XOY22-2y=x-2y=-x+2y=-x+b则答案：48对于集合.若有集合S满足，则这样的S有_个.解析：易知，有，则可以这样组成，问题归结为求A的个数，亦即集合6，12，27的子集数，所以，S有23=8个.答案：849已知全集，如果，则这样的实数x是否存在?若存在，求出x，若不存在，说明理由.解：，但，故当时，A中已有元素1；当时，3S；当时，但5S.故实数x的值存在，它只能是.50已知函数的定义域为集合,函数的定义域为集合,若,求实数的值及实数的取值范围.解：, 又即不等式的解集为由,方程的两根都在解得故, 51.设集合，且，求实数的取值范围。解：由题意可得：又，即有时，时，时，显然不满足题意综上所述，所求的实数的取值范围为或（3）探究创新四、同步练习1如果集合，那么()等于（ ）A B C D 2. 设集合，若，则的取值范围是( )A B C D 3若集合，且，则 4已知集合Mx|1x10，xN，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以(1)k再求和(如A=1，3，6，可求得和为(1)1(1)33(1)662，则对M的所有非空子集，这些和的总和是 5设，函数若的解集为A，求实数的取值范围。参考答案：1、D 2、C 3、或 4、25605、解：，令f（x）0解得其两根为由此可知（i）当时，的充要条件是，即解得（ii）当时，的充要条件是，即解得综上，使成立的a的取值范围为.五、高考链接1（2009全国卷理）设集合，全集U=AB，则集合中的元素共有（ ）A3个 B4个 C5个 D6个 解析：，故选A。也可用德摩根律：答案：A2（2007辽宁理）设集合，则（ ） A B C D解析:可以直接算，但用德摩根律：更方便快捷答案：B3（2009浙江理）设，则( ) A B C D 解析：对于，因此答案：B 4（2009浙江理）设，则( ) A B C D . 解析：对于，因此答案：B 5（2009北京文）设集合，则（ ） A B C D解析：， ，故选A.答案：A6(2009山东卷理)集合,若,则的值为( )A.0 B.1 C.2 D.4解析：,故选D.答案：D7（2009广东卷理）已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A. 3个 B. 2个C. 1个 D. 无穷多个解析：由得，则，有2个