“悖论”,使我“挂了黑板”.doc

“悖论”，使我“挂了黑板” 江都市小纪中学陈余权数学中的悖论，本意是指：某一个推理过程看起来似乎是合理的，但却由它得到了有悖于事物本真的结论。 这种结论或推理过程，因其“道貌岸然”之态，往往收“浅花乱欲迷人眼”之效，常常使我们对问题的理解处于矛盾的两难境地。然而也正是这样的两难境地，它一方面激发了学生的求知欲望，将学生置于了“愤悱”状态；另一方面也激活了教师深挖问题内涵，寻求事物本真的欲望。更重要的是，这样一种无法预约的“美丽”，使得我们的课堂动态生成，波澜起伏。课堂因为师生对悖论问题的互动而鲜活，师生因为对事物本质规律的孜孜以求而“相长”。 笔者就曾经邂逅过这种“美丽的错误”，甚至因为不能立即给予解释而当场“挂了黑板”。 一 “悖论”的产生那是一节复习讲评课，我和同学们经历了下面一道习题的解决过程。 题目：如图，正方形ABCD中，AB=6，用一块含45角的三角板，把45角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F（点E与点A、B不重合）。求：当BEF的面积为8时，EF的长. 图 图解：AD=CD，A=90ADC=90 可将ADE以点D为旋转中心旋转到DCG的位置，显然B、C、G共线，1=3（如图）4=45，2+3=1+3=45=4又DF=DF，DE=DG，EDFGDF，EF=FG至此，学生中出现了三种不同的解法. 方法：令AE=x，则BE=6-x，CF=y，BF=6-y，EF=FG=x+y，在RtBEF中，BE2+BF2=EF2，即：（6-x）2 +（6-y）2=（x+y）2，化简得xy + 6y+6x-36=0 SBEF = （6-x）(6-y)=8 即xy - 6y- 6x + 20 = 0 将、中的x+y与xy分别看作整体，求得x+y=，即EF=方法：前面的步骤同方法，由得，代入得3x2-14x+24=0，0，方程无实数根，故不存在EF，使得SBEF=8. 方法：SBEF =S正方形ABCD（SADE +SDEF+ SCDF） = S正方形ABCD（SDEF+ SDFG） = S正方形ABCD2SDFG =662DCFG =36DCEF =366EF=8，EF=这三种方法，方法最为简洁，与方法答案相同，但方法从另一个角度出发，得到了一个与方法、矛盾的结论。 两者的推理过程看起来似乎都是合理的、无懈可击的，然而两者又是相悖的、矛盾的。孰对?孰错?笔者尴尬地站在讲台前，脸涨得通红，思绪仿佛像断了线的风筝学生制造的“悖论”，让笔者当场“挂了黑板”。好在这节课快要下了，草草收场的我一时无法解释，只好将问题又抛给了学生，让他们课后去认真思考、讨论。二 悖论的消除下课后，就有学生来找笔者，他认为在方法中同时还应该得到xy=8，再根据方程x+y=即得到一元方程3x2-14x+24=0，该方程的解的情况即为方法的情形。 这样一来，虽然可以解释为什么方法、是错误的，并可以据此告诫学生解题后要养成反思与回顾的习惯。 但笔者仍感意犹未尽不能轻易地让这一优秀的教学资源“一滑而过”！于是笔者作了更深入的思考。 题中，BEF是否存在取决于EF，因此EF是一个核心的参变量，而它的存在性以及大小的情况应该依赖于它与边长的关系。 不妨将题中的具体数字用字母代替，从一般的情况入手分析。令AB=a，EF=b，AE=x，则FC=EFAC=b-x在RtBEF中，EB=a-x，BF=a-y=a-(b-x)=a-b+xb2=(a-x)2+(a-b+x)2，整理得到关于x的方程：x2-bx+a2-ab=0若EF存在，则必有实数解， =b2-4(a2-ab)=b2-4a2+4ab=b2+4ab+4a2-8a2=(b+2a)2-(a)2=(b+2a-a)(b+2a+a)0(b+2a+a)，b+2a-a0，-20.828显然，上述题中的=60.78-2BEF当然是不存在的！ 三 形缺数时难入微，谬误流传已久通过对类似现象的研究和深入思考,笔者深深体会：到形缺数时难入微，谬误流传已久。工作之余，笔者又翻阅了近年来的一些试题和书籍，没想到该题的谬误由来已久，现抄录两处如下：1、2004年希望杯初二数学竞赛题如图，正方形ABCD中，AEF是正方形内接三角形，EAF=45，AB=8，EF=6，求EFC的面积. 2、人教版数学教科书八年级下册，教师教学用书如图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=4，E为BC边上的一点，且EAD=45，ED=3，求AED的面积. 上述两题中，（第2题为）均小于-2，所以所求的三角形应该是不存在的，而所附的答案均是由类似于方法的旋转变换的技巧得来的. 数学新课程的改革对传统的几何内容作了很大幅度的删减和调整，其中之一就是利用变换的思想作为实验几何与论证几何的桥梁，并以变换直观的优势局部地取代严谨的形式化逻辑证明。 因此运用变换的思想解题就越来越成为课堂教学的新宠。 然而，“形缺数时难入微”，直观简明的变换思想和解题技巧抛却了解题的过程分析，这又意味着可能会将问题的本质掩盖。学生制造的“悖论” 虽然使笔者“挂了黑板”，但激疑、释疑、寻真的过程在迫使笔者对问题作出澄清的同时，也让笔者深刻认识到，这种“一滑而过”的教学现象，这种“美丽错误”的出现，以及对“美丽错误”的澄清。反需要教师的教学智慧、随机处理的