《三角函数与三角变换》教案.doc

第3讲 三角函数与三角变换北京市陈经纶中学 丁益祥第一部分 开篇语三角函数是高中数学九大重点章节之一，它是继指数函数、对数函数之后学习的又一类重要的函数，历来是高考的重点纵观近年的数学高考，涉及三角函数的内容，着重考查三角函数的图象和性质以及三角公式的应用本讲重点是运用三角公式进行三角函数的化简和求值，解决三角函数的图象和性质问题以及三角形中的三角函数问题第二部分开心自测题一 题面：（2008四川）( )（）（）（） （）答案：D同类题一（2），（5）题二题面：（2002全国）在内，使成立的的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）答案：C同类题一（4），同类题二（6）题三 题面：（2006全国甲卷）若则 = ( )（A） （B） （C） （D）答案：C同类题一（7），同类题二（5）开心自测中典型易错题回顾题二题面：（2002全国） 在内，使成立的的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）解法1：直接法将原不等式转化为：，即由，知，从而，故选C解法2：利用特殊值法当时，显然成立，从而否定A, B, D, 故选C解法3：图象法在同一直角坐标系中，作出函数和在上的图象，由图象可看出，在内，只有当时，才成立，故选C题三题面：（2006全国甲卷）若则 = ( )。 （A） （B） （C） （D）解：，所以因此，故选C第三部分 主要考点梳理主要考点梳理1三角函数的主要公式（1）诱导公式的概括的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号；的正弦、余弦函数值，分别等于的余弦、正弦函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. （2）同角三角函数的基本关系式平方关系： 相除关系： 倒数关系：（3）两角和与差的三角函数和、差角的正弦：, 和、差角的余弦：, 和、差角的正切：（4）二倍角的三角函数：二倍角的正弦：,二倍角的余弦： 二倍角的正切：二倍角余弦的变形公式： （5）辅助角公式： 其中由以及点 所在象限来确定.（6）正弦定理：连比型：（7）余弦定理：推论：（8）三角形面积公式：2三角函数的图象和性质函 数图 象 定义 域 R R值 域 性质周期性是周期函数， 是周期函数， 奇偶性奇函数偶函数单调性在每一个闭区间 (kZ)上都是增函数，在每一个闭区间 (kZ)上都是减函数. 在 每 一 个 闭 区 间(kZ)上都是增函数，在每一个闭区间 (kZ)上都是减函数.最大值与最小值此时此时此时此时对称性对称轴方程是：对称中心是：对称轴方程是：对称中心是：函数 且 图 象性 质y=tanxOyxOOO定义域值 域R周期性是周期函数，奇偶性奇函数单调性在每一个开区间内都是增函数对称性对称中心是第四部分 金题精讲题一题面：（2008广东）已知函数，则的最小正周期是 解题关键步骤： 解：，故易错点揭示：此题尽管容易，但在求解中也经常因未记住公式，或因不知道怎样将所给式子化成含有一个角的一个三角函数的形式而止步不前总结与启迪：本题考查了二倍角公式和辅助角公式的应用以及函数的最小正周期的求法运用辅助角公式将所给函数化为的形式是解决这类问题的关键，此时最小正周期可由公式直接求出同类题号：同类题（一）中题一、题七题二题面：（2005江苏）若，则（ ）（A） （B） （C） （D） 解题关键步骤：解：，因此选A易错点揭示：本题所求式中的角与已知式中的角之间的关系不易发现，运用诱导公式求解时符号也极易弄错总结与启迪：已知某个角的某些三角函数值，求另一个角的另一些三角函数的值，是三角函数中典型的问题本题主要考查角的配凑、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用善于观察角之间的关系，并作出恰当的配凑，是求解这类问题的关键同类题号：同类题（一）中题二，同类题（二）中题二题三题面：（2008全国乙卷）为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位 （C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位误解：由于，因此只需将函数的图象向左平移个长度单位即可，故选C正解：解题关键步骤：解：由于，故只需将函数的图象向左平移个长度单位即可，故选A易错点揭示：本题求解中，容易出错的地方有两处：一是诱导公式应用不熟练，想不到在上究竟加上多少才能使得变到；二是对平移规则未能准确理解，当通过变换得到 后，看到上加上了，便误判向左平移个长度单位 总结与启迪：函数图象的变换问题通常在同名函数间进行，而本题却设计成了在异名函数间进行，因此需要利用诱导公式在自变量上加上一个适当的值来实现这种转化需要注意的是函数图象的变换规则：一般地，自变量加减函数图象左右移，函数加减图象上下移 同类题号：同类题（二）中题三同类题（一）中题八题四题面：（2000全国）函数的部分图象是 ( )解题关键步骤：解：已知是奇函数，故可否定A、C在原点附近，取，则故选D易错点揭示：求解本题时不易想到先通过函数奇偶性的判断否定A、C，选项B的否定需要对符号语言与图形语言进行相互转译，这一过程经常出错总结与启迪：本题着重考查三角函数的图象及其性质，考查数形结合的思想，考查读图与识图能力善于将图形语言与符号语言进行相互转译，是解决这类问题的关键同类题号：同类题（二）题四题五题面：（2008江苏）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为（）求tan()的值；（）求的值解题关键步骤：解：由条件得，因为,为锐角，所以=， 因此（）tan() = （） ，所以为锐角， =易错点揭示：本题求解时有两处容易出错：一是缺乏对单位圆以及三角函数定义的正确认识，看不出A,B 两点的横坐标分别为就是二是在求得，进而求的值时，常常漏掉对范围的讨论总结与启迪：本题是给值求值、给值求角问题，是三角函数式的化简和求值的一类典型问题，必须熟练掌握本题考查了三角函数的定义、相除关系、和角公式、二倍角公式、三角函数式符号的判断等众多知识，体现了对三角函数主干知识的重点考查一般地，根据三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标即为角的余弦值，纵横坐标即为角的正弦值，这是求解本题的基础此外，当求得，进而求的值时，必须注意角的范围的讨论，否则极易出错同类题号：同类题（一）中题五同类题（二）中题五题六题面：（2007浙江）已知的周长为，且（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数解题关键步骤：解：（I）由题意及正弦定理，得，两式相减，得（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以易错点揭示：根据三角形周长求出，以及根据三角形面积求出的值后，不易想到由此求出，进而利用余弦定理来求解总结与启迪：解决三角形中的三角函数问题，正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、是首选工具同类题号：同类题（二）中题五、题七题七题面：（2006辽宁）已知函数，.求:() 函数的最大值及取得最大值时自变量的集合；() 函数的单调增区间.解题关键步骤：解：() 当,即时, 取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.() 由题意得:，即 .因此函数的单调增区间为.易错点揭示：求的单调增区间时，容易把不等式错写成总结与启迪：本题着重考查了三角变换及三角函数的性质将所给三角函数式化简为是解决问题的关键对于()，所求的单调增区间是通过研究关于中间变量的函数（）的单调增区间，并由此解出的的范围所确定的一般地，函数（或）的单调区间的求解，通常把看作一个整体，让落在关于中间变量的函数（或）（）的单调增（或减）区间内，由此解出的的范围就是所求的单调增（或减）区间 同类题号：同类题（二）中题六、题八第五部分 名师寄语本讲要点小结与建议：在本讲学习中，我们着重介绍了三角函数式的化简和求值、三角函数的图象和性质、三角形中的三角函数问题运用三角公式进行三角函数式的化简和求值时，要善于正逆使用公式；在对三角函数式进行图象变换时，应注意每一种变换所应遵守的变换规则特别应注意在把的图象变到的图象时，应向左或向右平移个单位，而不是平移个单位解斜三角形的主要工具是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式一般地，利用正弦定理可解决如下两类有关三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边及一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）利用余弦定理也可解决两类有关三角形问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角第六部分同类题同类题（一）题一 题面：（2005全国卷）函数的最小正周期是（ ） （A） （B） （C） （D）解题关键步骤： 解：，故，因此选C题二 题面：（2006福建卷）已知则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）解题关键步骤：解：因为故，于是，所以 =，因此选A.题三 题面：（2006全国卷）的内角的对边分别为若成等比数列，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）解题关键步骤：解：中，成等比数列，且，则，=，故选B.题四 题面：（2006浙江卷）函数的值域是（ ）(A), (B), (C) (D)解题关键步骤：解：，故选择C题五 题面：（2007四川卷）已知且,()求的值；（）求.解题关键步骤：解：（）由，得，于是（）由，得又，由，得，所以题六 题面：（2008辽宁卷） 在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积解题关键步骤：解：（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得 联立方程组解得，（）由题意得，即， 当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，所以的面积 题七 题面：（2008安徽）已知函数（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数在区间上的值域解题关键步骤：解：（） 由函数图象的对称轴方程为 （）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 当时，去最大值 1又 ，当时，取最小值所以 函数 在区间上的值域为题八题面：已知函数 （）当函数取得最大值时，求自变量的集合；（）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解题关键步骤：解：（）由得所以 取得最大值时，自变量的集合是（）将函数依次进行如下变换：把函数的图象向左平移得到函数的图象；把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；把得到的图象向上平移的单位长度，得到函数的图象.综上得到函数的图象.同类题（二）题一 题面：（2005全国卷）在中，已知，给出以下四个论断： 其中正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）解题关键步骤：解：可否，从而否定因此选B题二题面： ( 2006重庆卷)已知，sin()= sin则cos=_解题关键步骤：解： ， ，则=题三 题面：（2006江苏卷）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）解题关键步骤：解：根据三角函数的图象变换法则易得：把向左平移个单位长度得，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），即得函数的图象故选C题四题面：（2002上海卷）函数的大致图象是（ ）（A） （B） （C） （D）解题关键步骤：解：由函数奇偶性定义知，函数是非奇非偶函数，故可否定A、B、D，从而肯定C正确，故选C题五 题面：（2008全国乙卷）设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且. （）求的值；（）求的最大值. 解：（）由正弦定理得， ，依题设得 .解得 . （）由（）得，故A、B都是锐角，于是. ，且当时，上式取等号. 因此的最大值为. 题六 题面：（2008北京）已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围解：（）因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（）由（）得因