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数学与生活 总设计北京市西城区后孙公园小学王宏 数学与生活 从 易经 谈起九连环与数学数学与音乐数学与天文学物理学家谈数学数学与养生英文 数学和人生的微妙联系 结束语 从 易经 谈起 自伏羲作八卦 周文王演三百八十四爻而天下治 史记 日者列传 伏羲 文王 万物均由天地阴阳交感而成 形成一生二 二生三 三生天地 天地生阴阳 阴阳生万物的美学观 阳 阴 八卦符号 阳 代表自然界中的天 日 乾 乾 表示健 动 刚 从数的意义上看 表示奇数 又表示一个整体 是数的开始和数的发展的基本 是万物生发之源 一一 阴 代表自然界中的地 月 坤 坤 表示顺 静 柔 它表示偶数 太阳下去 月亮升起 月亮下去 太阳出来 太阳月亮互相推移交替 就产生了时光 严暑易节形成了岁月 于是阴阳交融 万物繁衍 八卦所代表的八种自然界现象与事物特性 八卦与集合论 方以类聚 物以群分 A 乾 坤 艮 兑 巽 震 坎 离 B 天 地 雷 风 水 火 山 泽 八卦与自然现象的关系 八卦与方位的关系 A 乾 坤 艮 兑 巽 震 坎 离 B 南 北 东 西 东北 西南 西北 东南 八卦与 五行 之间的关系 A 乾 坤 艮 兑 巽 震 坎 离 B 金 木 水 火 土 八卦 与 洛书 的关系 九宫图 8经卦 A 乾 坤 艮 兑 巽 震 坎 离 B 一 二 三 四 五 六 七 八 九 八卦生成过程和二进制过程的比较 八卦与二进制 莱布尼茨 德国数学家莱布尼茨 1646一1716 受 易经 启示的莱布尼兹发明二进制 对于八卦与二进制数字及十进制数字的对应关系列表 将阴爻用 0 表示 阳爻用 1 表示 则八卦是一个二进制数组 八卦与组合论 八卦与代数式 易有太极 是生两仪 两仪生四象 四象生八卦 周易 系辞 九连环与数学 我国是伟大的文明古国 它为世界数学的发展做出过巨大的贡献 一部分称作 钗 这是沿用数学教育家许莼舫先生使用的名称 钗 九连环的组成 另一部分主要是由九个环构成的 这九个环 按照从左到右依次称为1号环到9号环 名称的由来 九连环简称 连环 也称为 智环 巧环 九连环的定型可能与中国古代以 9 作为 阳数之极 有关 九连环的种类 国外对九连环的评价 16世纪时就传到国外 西方认为九连环是人类发明最奥妙玩具之一 意大利叫它作 卡丹环 1550年巴黎刊行的数学文献 就讨论过 九连环 1685年 英国数学家瓦里斯对九连环作了详细的数学说明 套上四环的程序 1 上一环需一步 2 上二环需二步 3 上三环需五步 4 上四环 共十步 公式的推导 求其余各数如下 T1 1T2 2T3 T2 2T1 1 2 2 1 1 5T4 T3 2T2 1 5 2 2 1 10T5 T4 2T3 1 10 2 5 1 21T6 T5 2T4 1 21 2 10 1 42T7 T6 2T5 1 42 2 21 1 85T8 T7 2T6 1 85 2 42 1 170T9 T8 2T7 1 170 2 85 1 341 列成公式得 为奇数时 为偶数时 要把九个连环从手柄上全部退下 需经过341步 假如以每分钟60步的速度计算 也需要6分钟左右的时间才能解开或套上一次 当有30环时 要从手柄上全部脱下的步数是715827882步 如果仍按照上述的假定 每分钟能完成60步 那么 即使每天玩上8小时 也需68年左右 才能把全部环脱下来 快速的方法 列成公式得 门德尔松证明 慢速的解法总比快速的解法多1 3的步骤 为奇数时 为偶数时 九连环的拆解过程与计算机技术中的九位格雷编码完全一致 九连环状态数目是一串公差为二的等比数列 九连环中的数学 穿解过程中九个环移动的次数又是一串递减等比数列 解开一至九环所需步数还是一串数列 还包含着一种数学的排列与组合关系 穿解过程包含着周期性规律及数学中的归递法思想 在解九连环的过程中 还包含着拓扑学的原理 1975年国外出了一本关于离散数学的书 其中收录了这样一个数列 1 2 5 10 21 42 85 170 341 这就是 九连环 的数列 当作门锁法国人早就用九连环来代替锁 以防盗贼 九连环的妙用 用于魔术表演 留客除益智外 九连环亦充分展现了游戏过程的连续性 客人一旦玩上 便流连忘返了 解九连环的好处 1 从多角度多渠道去看事物 2 能培养人的注意力 耐心 和信心 3 培养人们对数学的兴趣 多么奇妙的九连环 它流传千年而不衰 征服了无数中外爱好者 是中华民族传统文化中的一颗璀璨明珠 数学与音乐 音乐 是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受 G 莱布尼茨 若干世纪以来 音乐和数学一直被联系在一起 在中世纪时期 算术 几何 天文和音乐都包括在教育的课程中 乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域 音乐理论的鼻祖毕达哥拉斯 音乐之所以神圣而崇高 就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系 毕达哥拉斯 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家 公元前572年生于爱琴海中临近小亚细亚的萨摩斯岛 公元前500年卒于他林敦 毕达哥拉斯研究数学的目的并不在于实用 而是为了探索自然的奥秘 他以发现并证明勾股定理著称 2500年前的一天 毕达哥拉斯外出散步 经过一家铁匠铺 发现里面传出的打铁声响 要比别的铁匠铺更加协调 悦耳 他走进铺子 量了量铁锤和铁砧的大小 发现了一个规律 音响的和谐与发声体体积的一定比例有关 毕达哥拉斯学派是最先用比率将音乐与数学联系起来的 他们发现谐声是由长度成整数比 绷得同样紧的弦发出的 以整数比增加弦的长度 能产生整个音阶 从产生音符C的弦开始 C的16 15长度给出B C的6 5长度给出A C的4 3长度给出G C的3 2长度给出F C的8 5长度给出E C的16 9长度给出D C的2 1长度给出低音C 毕达哥拉斯将乐音与数字比例相对应 将一种抽象的感觉 声音的和谐做了量化 率先建立了音乐理论基础的数学学说 从此 音乐和数学几乎是被注定的融合在了一起 古代中国对音律的贡献 音乐之所由来者远矣 生于度量 本于太一 吕氏春秋 大乐 河南舞阳贾湖遗志发掘出距今8000 10000年前的骨笛 经研究已具备了四声 五声 六声及七声音阶 并出现了平均率和纯率的萌芽 中国古代生律的方法叫 以2 3与3 4的频率比关系产生和谐音的法则称为五度律 产生了五声音阶 宫 商 角 徵 羽 在中国 五度律最早的文字记载见于典籍 管子 的 地员篇 由于 管子 的成书时间跨度很大 学术界一般认为五度律产生于公元前7世纪至公元前3世纪 三分损益法 十二平均律中的数学理论 音乐家巴赫 首创十二平均律 这是多么 数学 的音乐创新 十二平均律是目前世界上通用的把一个八度分成十二个半音音程的律制 各相邻两律之间的振动数之比完全相等 这种律制包括了乐音的标准音高 乐音的有关法则和规律 十二平均律对应着自然音阶 以C大调为例 通过简单的计算可以发现 十二平均律和经过严格计算的十二倍频等分是有着一定差异的 但是这个差值很小 人耳几乎无法分辨自然音阶和标准的等程音阶之间的细微区别 在计算科学并不发达的古代 人们通过数学手段将这些频率关系值计算到这样的精确度 已经是难能可贵了 以数学为基础的乐谱记录 远古时期人们靠口传心授将文明传承下来 这是一个危险的过程 一种文化随时有消失的可能 而文字和纸张的发明为历史的保留做出了巨大的贡献 对于音乐来说 我们需要一种特殊的文字来记录 这就是乐谱的书写 在每一个小节里就有各种音符出现了 音符的样子决定它的时间长度 全音符 二分音符 四分音符 八分音符 十六分音符等 而音符的高度决定这个音的音高 在乐谱上可以很形象的看到音乐的走向 在乐稿上 我们首先看到速度定义 每分钟多少拍 然后是拍号 4 4拍 3 4拍 这和数学里的分数要区分开 分子 是表示以多少分音符为一拍 分母 是表示每小节多少拍 作曲家创作的音乐 在乐谱所显现出来的一个个结构严密而美丽的音符中 毫不费力的融为了一体 傅里叶的贡献 19世纪数学家约翰 傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点 他证明所有乐声 器乐和声乐 都可用数学式来描述 这些数学式是简单的周期正弦函数的和 每一个声音有三个性质 即音高 音量和音质 将它与其他乐声区别开来 傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来 音高与曲线的频率有关 音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关 你是否曾对大型钢琴为何制作成那种形状表示过疑问 实际上许多乐器的形状和结构与各种数学概念有关 指数函数和指数曲线就是这样的概念 指数曲线由具有形式的方程描述 式中k 0 k 0 一个例子是 它的图像如下 不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器 它们的结构都反映出一条指数曲线的形状 数学和音乐是人类精神中两种最伟大的产品 是两个金碧辉煌的世界 数学仅用了十个阿拉伯数字和若干个符号就造出了一个无限的 真的世界 音乐只用五条线和一些蝌蚪状的音符就造出了一个无限的 美的世界 数学和音乐位于人类精神的两个极端 一个人全部创造性的精神活动就在这两个对立点的范围之内展开 而人类在科学和艺术领域中所创造出来的一切都分布在这两者之间 音乐和数学正是抽象王国中盛开的瑰丽之花 数学与天文学 数学与天学 似乎本没有什么必然的联系 但是 作为基础学科的数学与天文学却有着不为人知的渊源 相信通过本文的叙述 大家会对这一渊源有一定的了解 古代 天文学的附属 数学 现在的理论一般认为 天文学起源于早期的占星术 而占星术是对星辰所表现出的一些现象来预测祸福 有权利参加占星活动的是一些称为 巫 的人 他们必须有超出常人的知识 正是他们 在长期不懈的观察中发现了一些规律 他们要把这一规律记录下来 于是就出现了早期的文字和数学 这一时期的数学主要是几何学 而数学的出现却明显的促进了天文学的发展 这一时期 人们在几何学的帮助下 得到了测量太阳高度的方法 于是 三角学诞生了 人们在三角学的帮助下 不仅在天文学的范畴内使用了一周天等于三百六十度 这一角度表示法 而且 利用日影的变化规律制造了日晷和圭表这两种基本的时间仪器 同时 天文学和数学在实践中也得到了巨大的发展 日晷 圭表 中世纪 数学帮助了天文学 随着时间的推移 人类进入了黑暗的中世纪 在这一时代 科学受到了极大的抑制 尤其是天文学 但伟大的科学家们不畏宗教的束缚勇敢的与之斗争 涌现出了哥白尼 布鲁诺 伽利略 开普勒等一大批天文学家 哥白尼布鲁诺伽利略开普勒 在天文观测中 人们不仅仅获得了日心说这一定性的结论 解析几何学在这一时期产生了 天文学进入了定量计算的时代 由于解析几何的使用 行星 彗星的轨道被精确计算 日心说得到了强有力的证明 解析几何的出现不仅使数学得到了壮大 也为天文学的发展奠定了坚实的基础 解析几何从天文中来到天文中去的现象向我们说明 有了解析几何这一具 天文学在日月食预测上由感性认识上升到理性认识 从观察上升到了理论计算 同时也增强了人们对神学的否定 这表明数学作为一门基础学科 对各项科学研究都有着极大的促进作用 对数学的学习不仅使我们思维缜密 而且会对我们以后学习和研究产生极大的促进和帮助 近代 两个成熟的学科 牛顿 莱布尼茨 特别值得一提的是近代数学的极大发展 微积分的发明不仅造就了牛顿和莱布尼茨这两位科学家 而且使几乎所有的科学得到了突飞猛进的发展 天文学也不例外 微积分使所有的行星和彗星轨道得到了精确表述 天文年历现在以成为了许多天文及测绘工作者的普通工具书 但年历的项目总是有限的 要进一步提高其精确度就必须使用内插法 这一时期 牛顿内插法 白塞尔内插法等内插法全部出现了 尤其是白塞尔内插法 至今还在各国的天文年历中使用 值得一提的是我国早在唐代的大衍历中就使用了的等距内差法 是当时世界上最先进的 对数 以其方便的计算成为天文学家广泛使用的计算方法 被18世纪天文学家拉普拉斯评价为 用缩短计算时间延长了天文学家的寿命 高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法 一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法在天文学中这一成就立即得到公认 早在18世纪 英国天文学家哈雷 就利用牛顿提出的万有引力定律算出哈雷彗星的运动轨道 预测它约以76年为周期绕太阳运转 结果得到证实 更令人叹服的是海王星的发现 1830年天文学家发现天王星的运动有15度的误差 这引起了天文学家的推测 在天王星轨道之外可能还有未知的行星在影响着天王星的运动 英国数学天文学家亚当斯 曾受聘为剑桥大学的天文与几何学教授 1863年起任天文台长 1844年开始研究天王星的轨道 1845年9月 他分别向剑桥大学天文台和格林威治天文台报告 有一颗未知行星在运行 但没有引起重视 1846年9月23日晚上 德国柏林天文台的加勒 把望远镜对准了勒维叶所预报的位置 果然发现了这颗未知行星 这便是以后被命名的海王星 用数学方法预言天文现象的成功 在科学史上是一件大事 数学的威力和价值 再一次得到确认和赞美 现代 大一统 时间进入了20世纪 物理学成为了主流科学 量子力学 相对论的发展为天体物理学的发展提供了强有力的工具 天文学的对象黑洞和虫洞是无法被直接观察到的数学 这一工具又被天文学家使用了 用数学模型来描绘这些天体 使人们可以间接的研究这些天体 并取得了一些成果 时间旅行也被数学描述出来了 相信在不远的明天 我们可以实现这一人类最美好的梦 物理学家谈数学 哥白尼 NicolausCopernicus 1473一1543 哥白尼在科学上最大的成就是创立了以太阳为中心的地动学说 天体运行论 的发表 是天文学上的一次伟大革命 推动了天文学研究的飞速发展 引起了人类宇宙观的重大革新 沉重地打击了封建神权的统治 从此自然科学便开始从神学中解放出来 波兰天文学家哥白尼通过天文观察和数学计算创立了 日心说 认为太阳位于宇宙的中心 地球和其他星球都围绕太阳运转 公元1542年哥白尼发现太阳是太阳系的中心 地心说 日心说 天文学研究的目的 就是为了寻求宇宙是如何遵循数和数的关系和谐地运行 即宇宙可以用数学关系来描述 却无法用别的方式所替代 天体运行论 哥白尼 开普勒 Keplen 1571 1630 德国的物理学家和数理天文学家 被后世尊称为伟大的天空律师 开普勒发现了行星运行三定律 为牛顿建立万有引力定律打下坚实基础 完成的 鲁道夫星表 是当时最完备最准确的一部星表 在以后的一百多年里被天文学家和航海家尊为经典 开普勒三定律 开普勒第一定律 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对于每一个行星而言 太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 用公式表述为 式中R代表行星运动轨道的半长轴 T代表行星公转周期 比值k是一个与行星无关的量 T 表示行星在轨道上运行一周所需的时间D 表示该行星与太阳的平均距离 对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐 而这些正是上帝用数字语言透露给我们的 开普勒 物理学家 天文学家和数学家 经典力学理论的集大成者 他提出了著名的万有引力定律和牛顿运动三定律 万有引力的发现说明 天上星体运动和地面上物体运动都受到同样的规律 力学规律的支配 牛顿 Newton 1642 1727 自然界不做无用之事 因为自然界喜欢简单化 而不爱用什么多余的原因夸耀自己 自然哲学的数学原理 牛顿手稿 自然哲学的数学原理 牛顿在1687年发表了万有引力定律 任何两个物体都是相互吸引的 引力的大小根两个物体的乘积成正比 跟他们的距离的平方成反比 如果用m1和m2表示两个物体的质量 用r表示他们的距离 那么 万有引力定律可以表示为 万有引力律 麦克斯韦 英国的物理学家和数学家 他一生致力于电磁统一理论的研究 1873年他发表了 论电与磁 这本光辉著作 其科学美学价值可与牛顿的 自然哲学的数学原理 相媲美 麦克斯韦方程组 四个方程称为麦克斯韦方程组的积分形式 麦克斯韦方程组能完全描述电磁场的动力学过程 爱因斯坦 当代最伟大的物理学家 是20世纪最伟大的自然科学家 物理学革命的旗手 是人类历史中最具创造性才智的人物之一 他一生中最重要的贡献是相对论 他开创了物理学的四个领域 狭义相对论 广义相对论 宇宙学和统一场论 爱因斯坦是量子理论的主要创建者之一 他在分子运动论和量子统计理论等方面也作出重大贡献 1921年因发现光电效应定律获诺贝尔物理学奖 在开始了解广义相对论的关键特点之前 我们必须假定一件事情 狭义相对论是正确的 这也就是说 广义相对论是基于狭义相对论的 如果后者被证明是错误的 整个理论的大厦都将垮塌 理解广义相对论 就我们必须明确质量在经典力学中是如何定义的 广义相对论的基本概念解释 为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重 一个理由是它的命题是绝对可靠而无可争辩的 而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的 并且经常处在被新发现的事实推翻的危险之中 但是数学之所以有高的声誉 还有另一个理由 那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性 没有数学 这一些科学是达不到这种可靠性的 理论科学家在他探索理论时 就不得不愈来愈从纯粹数学的形式考虑 因为实验家的物理经验不能把他提高到最抽象的领域中去 爱因斯坦 保罗 狄拉克 英国著名的物理学家 创立量子电动力学 建立 狄拉克方程 预言存在正电子 还预言存在反粒子 提出存在反物质 1933年 狄拉克获诺贝尔物理学奖 我想我正是和这一概念 优美的数学 一起来到这个世界上的 如果物理定律在数学形式上不美 那就是一种理论还不够成熟的标志 说明理论有缺陷 需要改进 数学美的获得 主要靠逻辑思维的作用 而物理图像的清晰性 又要依靠形象思维的作用 眼光在浏览画面时好像在旋转 量子效应既是告诉我们所见未必像你想象那样真实 我没有试图直接解决某一物理问题 而只是试图寻求某种优美的数学 狄拉克 杨振宁 杨振宁的最高成就是1954年他和美国教授米尔斯创立的 杨 米尔斯规范场 规范场的观念成为基本物理学结构的一个重要理论 学术界很多人认为这是20世纪继相对论和量子力学之后理论物理学的最大成就 1961年前后杨振宁与李政道 左 摄于普林斯顿 40年代到50年代 物理学发展了一个新领域 量子物理学 振宁适时地站到了研究的前沿 他和他的合作者 同是来自中国的同事李政道共同从分析宇称守恒定律方面突破 1957年 年仅35岁的杨振宁凭 宇称不守恒论 与李政道一起获得了诺贝尔物理学奖 这是杨教授一生最辉煌的一刻 杨振宁对数学的美妙的品味照耀着他所有的工作 对于自然神秘的结构比别人看得更深远一些 物理学家戴森 我所特别佩服的是爱因斯坦 费米和狄拉克 他们都是20世纪的大物理学家 他们三人的风格是不一样的 可是他们的风格有一个共同点 就是都能在非常复杂的物理现象中提出其精神 然后把这种精神通过很简单但深入的想法 用优美的数学形式表示出来 杨振宁 美籍华裔物理学家 数学与养生 饮食中也有黄金分割点 黄金分割 0 618 这个奇妙之值 不仅是美学造型方面常用的一个比值 也是一个饮食参数 谷物为主 人类是杂食动物 最适合消化以素食为主的混合膳食 当膳食中碳水化合物 主要是谷物中的淀粉 的供热量占总热量的61 8 时 才能最好地满足人体对热能的需求 因此 专家建议人们应吃以谷物为主的膳食 吃优质蛋白 蛋白质是人体含量最多的有机物质 由20种氨基酸组成 20的61 8 即12种氨基酸为人体自行合成 另外8种氨基酸必须由食物供给 由于谷物中的蛋白质质量较差 因此 为了保证蛋白质的摄入 膳食中优质蛋白质的供给量应达到61 8 优质蛋白主要存在于动物性食物和豆类食物中 动植物油兼吃 植物油和动物脂肪各有其生理功效 植物油与动物脂肪的摄入比例也应符合黄金分割比值 酸碱平衡 米 面 肉 蛋 油 糖 酒属于酸性食物 进食过多会使血液偏酸 导致酸性体质 使免疫能力下降 容易患病 据统计 有61 8 的疾病源于酸性体质 所以 应该多吃些碱性食物 使血液保持正常的微碱性 碱性食物主要有海带 食用菌 蔬菜和水果 进食量应占膳食总量的61 8 喝5杯水 人体内的水分占体重的61 8 不计出汗 每天失去和需要补充的水达2500毫升 其中半固体食物供给的水和人