利用函数的对称性可以化简一些较为繁琐的计算.doc

积分与微分中对称问题的研究PB07210207 王铭明利用函数的对称性可以化简一些较为繁琐的计算，可以大大提高做题的效率与准确性，这篇论文我总结了函数求导与函数积分的利用对称性求解的方法和一些典型例题，算是对对称性应用的一点心得。1、 对称函数的求导a,对函数x1.,x2,xn,若它的任意两个变元对换时函数不变，如函数 z= x+y+x2+y2 就是对称函数，对于对称函数具有这样的性质，即对任一变元所得的结果都可经变元（字母）的对换直接转移到其他变元。证明x x,y,z=fx,y,z,由x,y,z=y,x,z,有yx,y,z=y (y,x,z),在变换xy,yx,zz下，上式变为x x,y,z=fx,y,z,取反变换，则有x y,x,z=fy,x,z,考虑有由x,y,z=y,x,z,则yx,y,z= fy,x,z，同理yx,y,z= fz,y,x.b,而有些函数不是对称函数，如u=lnxyyzzx 不是三元对称函数，但在变换 xy,yz,zx 下 ,函数仍然不变，此时我们称函数为三元轮换对称函数，类似于对称函数，对于一个轮换对称函数，他对某任一变元所得的结果都可经变元（字母）的轮换直接转移到其他变元。c,有些函数如fx,y=-fy,x,x与y互换后与原函数相差一个正负号，其不是对称函数，但由y f(x,y)=-y -f(x,y)=-y f(x,y)，可知若已知zx ，我们只需将x与y互换，将结果再乘以-1，就立即可得出zy.（对称变换）例1：设z=x2tan-1yx+y2tan-1xy,求zx,zy.zx=2xtan-1yx+x2-yx2+y2+y2yx2+y2=2xtan-1yx+yy2_x2x2+y2,由对称函数性质，将x与y互换,zy=2ytan-1xy+xx2_y2x2+y2.(轮换对称变换)例2：u=lnxyyzzx，ux=yx+lnz,由于u为轮换对称函数，在变换xy,yz,xz下，有uy=zy+lnx,uz=xz+lny,例3.z=xy- 2xy3x2+y2,解得zx=y+2y3x2-y2x2+y22,考虑到函数z的表达式中x与y互换后，结果与原函数仅差一个符号，则有解得zy=-x+2x3x2-y2x2+y22.2,积分中函数对称性的应用。1理论若fP是区域N上的连续函数，且区域N具有某种对称性，当函数 fp在N中对称点处的函数值的绝对值相等且符号相反(称fp为相应区域内的奇函数)时，有：N fpdN=0当函数 fp在N中对称点处的函数值相等(称fp为相应区域内的偶函数)时，有:N fpdN=2N1 fpdN其中区域N1为区域N的对称的一半。其中区域N可以是一维或高维空间。2典型例题例1：利用高斯公式计算曲面积分x-ydxdy+y-zxdydz其中为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围成空间闭区域的边界曲面的外侧。解：利用高斯公式有x-ydxdy+y-zxdydz=Ny-zdxdydz,因为N关于xoy平面对称，且y为相应于N的奇函数，固有Nydxdydz=0，又因N关于平面z=32对称，且z-32是相应N奇函数，故有Nz-32dxdydz=0，所以原式=Ny-zdxdydz=-Nzdxdydz=N(z-3/2)+3/2dxdydz=-32Ndxdydz=-32V=-323=-92.例2：计算曲面积分xy+yz+zxds，其中为锥面z=x2+y2被曲面x2+y2=2ax(a0)所截得的部分。解：考虑到关于xoz平面对称且xy+yz是相应与的奇函数，故有：I= xy+yz+zxds =zxdS，又因为1+zx2+zy2=2,化I为二重积分并利用极坐标，有：I=zxdS=x2+y22ax2xx2+y2dxdy=2-22d02acosr3cosdr=64152a4.例3：计算三重积分I=2x+z2dxdydz，其中为x2+y2+z21，z0.解：I=2x+z2dxdydz=2x2+22xz+z2dxdydz。因为区域关于yoz平面对称且22xz是相应区域内的奇函数。于是22xzdxdydz=0，又因为积分区域关于平面x=y对称，于是x2dxdydz=y2dxdydz，从而有I=2x2+z2dxdydz=x2+y2+z2dxdydz=02d02d01r2r2sindr=25例4：求均匀半球面z=a2-x2-y2对z轴转动惯量I，其中面密度=1.解：记为半球面z=a2-x2-y2；记1为球面x2+y2+z2=a2因为1关于z=0平面对称且x2+y2是相对于1的偶函数，所以有：I=x2+y2dS=121x2+y2dS又因1中x，y，z地位对称，考虑到积分仅与积分域及被积函数有关而与积分变量的字母无关，有：1x2dS=1y2dS=1z2dS于是I=121x2+y2dS=131x2+y2+z2dS =131a2dS=43a4例5：计算三重积分x3y-3xy2+3xydxdydz其中是由球面x-12+y-12+z-12=1所围成的空间闭区域。解：因为积分区域关于平面x=y对称，故有xy2dxdydz=x2ydxdydz于是，原式=x3y-3x2y+3xydxdydz将上述结果的被积函数凑一下，有x3y-3x2y+3xy=x3 y-3x2 y+3xy-y-y-1+1=yx-13+y-1+1,