第5章 第3节 等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n项和考纲传真1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa；(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.答案(1)(2)(3)(4)2(2017广州综合测试(二)已知等比数列an的公比为，则的值是()A2BC.D2A2.3(2017东北三省四市一联)等比数列an中，an0，a1a26，a38，则a6()A64B128C256D512A设等比数列的首项为a1，公比为q，则由解得或(舍去)，所以a6a1q564，故选A.4(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.5(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，解得n6.等比数列的基本运算(1)(2016安徽皖江名校联考)已知Sn是各项为正数的等比数列an的前n项和，a2a416，S37，则a8()A32B64C128D256(2)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_ 【导学号：31222183】(1)C(2)2n1(1)an为等比数列，a2a416，a34.a3a1q24，S37，S23，(1q2)3(1q)，即3q24q40，q或q2.an0，q2，则a11，a827128.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，Sn2n1.规律方法1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算变式训练1(1)在等比数列an中，a37，前3项和S321，则公比q的值为()A1BC1或D1或(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_.(1)C(2)28(1)根据已知条件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以28.等比数列的判定与证明(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)证明：由题意得a1S11a1，2分故1，a1，故a10.3分由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.5分由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.7分(2)由(1)得Sn1n.9分由S5得15，即5.10分解得1.12分规律方法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定变式训练2已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式解(1)证明：anSnn，an1Sn1n1，得an1anan11，即2an1an1，2(an11)an1，即2cn1cn.3分由a1S11得a1，c1a11，从而cn0，.数列cn是以为首项，为公比的等比数列.6分(2)由(1)知cnn1n，7分又cnan1，ancn11n，9分当n2时，bnanan11nn.又b1a1，适合上式，故bnn.12分等比数列的性质及应用(1)(2016安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列an中，若am1am12am(m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m的值为()A4B5C6D7(2)(2016天津高考)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件(1)B(2)C(1)由等比数列的性质可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即数列an为常数列，an2，所以T2m122m151229，即2m19，所以m5，故选B.(2)若对任意的正整数n，a2n1a2n0，则a1a20，所以a20，所以q0.若q0，可取q1，a11，则a1a2110，不满足对任意的正整数n，a2n1a2n0.所以“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0，b1.7(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.1121an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为3的等比数列，3.又S24，S11，a11，S53434，S5121.8(2017深圳二次调研)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn_尺2n1依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为2n1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为2，所以Sn2n122n1.三、解答题9数列bn满足：bn12bn2，bnan1an，且a12，a24.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)由bn12bn2，得bn122(bn2)，2分2, 又b12a2a124，数列bn2是首项为4，公比为2的等比数列bn242n12n1，bn2n12.5分(2)由(1)知，anan1bn12n2(n2)，an1an22n12(n2)，a2a1222，an2(22232n)2(n1)，9分an(222232n)2n22n22n12n.Sn2n2(n2n4).12分10已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN*)(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式解(1)证明：依题意Sn4an3(nN*)，n1时，a14a13，解得a11.2分因为Sn4an3，则Sn14an13(n2)，所以当n2时，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首项为1，公比为的等比数列.5分(2)由(1)知ann1，由bn1anbn(nN*)，得bn1bnn1.7分可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11(n2).10分当n1时也满足，所以数列bn的通项公式为bn3n11(nN*).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2016安徽安庆二模)数列an满足：an1an1(nN*，R且0)，若数列an1是等比数列，则的值等于() 【导学号：31222187】A1B1C.D2D由an1an1，得an11an2.由于数列an1是等比数列，所以1，得2.2(2016广东肇庆三模)设数列an(n1,2,3，)的前n项和Sn满足Sna12an，且a1，a21，a3成等差数列，则a1a5_.34由Sna12an，得anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，所以a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n，所以a1a522534.3设数列an的前n项和为Sn，