排列组合中常见错例剖析

排列组合常见错误辩析排列组合应用问题种类繁多，方法灵活，对抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，稍不注意，极易出错.本文就一些常见的错误进行归类分析，以飨读者.一、两个计数原理混淆不清.通常是“完成一件事”的任务不明确，分类与分步混淆或分类与分步不准确而造成失误.例1、50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，则至少有3件次品的抽法有种.错解1：分两类情形：“有3件次品”时，可从4件次品中抽取3件，再从剩余产品中抽取2件，有种抽法；“有4件次品”时，可从4件次品中抽取4件，再从剩余产品中抽取1件，有种抽法.故共有种.错解2：先抽次品：至少有3件次品包含“3件次品”、“4件次品”两种情形，有种抽法；再抽剩余产品，同理有种抽法.共有抽法51081=5405种.错因剖析：分类与分步混淆不清，即加法原理与乘法原理混淆，从而引起失误.二、排列、组合问题判断失误.通常是在判断一个问题是排列还是组合问题时，未考虑元素的顺序性而导致失误.例2、有大小形状相同的3个红球和5个白球排成一排，共有 种不同的排法.错解：因为是8个小球的全排列，所以共有种方法.错因剖析：上解法中没有考虑3个红球（或5个白球）是完全相同的，因而同色球之间互换位置是同一种排法.例3、有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.A、1260 B、2025 C、2520 D、5040 错解一：分三步完成：首先从10人中选出4人，有种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有种方法，由乘法原理，不同的选法共有5040种，选D.错解二：分三步完成，不同的选法共有1260种，选A.错因剖析：排列、组合概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关.三、分类（或分步）遗漏（或重复）造成失误.例4、从100到999的三位数中，含有0的三位数有多少个？错解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有910=90个；十位数是0的，有910=90个.故共有9090=180个.错因剖析：分类应注意“不重不漏”，上解法中重复计算了个位和十位都是0的情形.例5、4男4女排成一排，任意两名女子不相邻且任意两名男子也不相邻的排法共有 种.错解1：4名男子与4 名女子的排法分别有种，故共有=576种.错解2：4名男子的排法有种，4 名女子的排法有，故共有=2880种.错因剖析：错解1是由于考虑不周，遗漏了交换位置的情况而出现失误；错解2忽略了题中的条件，即满足了4名男子不相邻而忽略了4名女子也不相邻的情形（如：男女男女 女男女男），错把必要条件当作充分条件了.例6、用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室，一种色粉刷3间，一种色粉刷2间，一种色粉刷1间，则共有 种不同的粉刷方法.错解：由题意，共有种.错因剖析：此例错因在于对题目中的事件“分步”出错，丢掉了颜色可以相互交换这一步.题目中一种颜色粉刷间数虽不同，但哪种颜色粉刷三间（或两间或一间）却没有限制，因而三种颜色可以相互交换.例7、（11年湖北理15）给个自上而下的正方形着黑色和白色当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种错解：（1）20；（2）有37、39、40等多个答案.错因剖析：此例难度较大，有的学生由于对题意读不懂或理解不透，无法动笔；有的学生采用直接法求解，方法虽对，但由于分类的失误，如在第一问的分类中少了“不涂黑色（或都涂白色）”的情形而导致答案为20的失误第二问中“类”中有“类”，如3时，考虑了形如的情形而未注意形如的情形，从而造成失误正解1：（直接法）第一问中“黑色正方形互不相邻”包含两层意思：一是不涂黑色；二是若涂黑色，则黑色正方形不相邻.可分类四类：不涂黑色时只有一种方案；只有一个正方形涂黑色，有6种方案；有二个正方形涂黑色，采用“插空法”，有种方案；有三个正方形涂黑色，采用“插空法”，有种方案故黑色正方形互不相邻的方案共有16104=21种.第二问中“至少有两个黑色正方形相邻”可分为五类：二个黑色正方形时，有5种方案；三个黑色正方形时，有如图和的两种情形，共有种方案；四个黑色正方形时，有如图、和的三种情形，共有种方案；五个黑色正方形时，有如图、和的三种情形，共有种方案；六个黑色正方形相邻时，只有1种方案故共有5161561=43种方案.正解2：对于第1问，当1，2，3，4时，其方案数组成数列2，3，5，8，此数列的特征为，由此得时的方案数为21对于第2问，由于黑色正方形要么相邻要么不相邻，因此“至少有两个黑色正方形相邻”的“补集”即为“黑色正方形互不相邻”，故用排除法求解.因每个正方形的涂色方案都有两种（黑色或白色），6个正方形的所有涂色方案共有种，从而至少有两个黑色正方形相邻的涂色方案为6421=43种.四、在分配、分组等问题中重复计算出错.例8、5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种错解：先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有种不同的分法，选A.错因剖析：此为分配问题.设5本书、分给四个人甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能出现和的情形.第一种是甲首先分得，最后分得的情形；第二种是甲首先分得，最后分得的情形，这两种情况是完全相同的.而在上解法中却计算成了不同的情况，正好重复了一次.例9、某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.A、5040 B、1260 C、210 D、630错解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列，共有，选B.错因剖析：此为均匀分组问题。上解法中，可能出现的情形是：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二。所以在计算的过程中就重复了.五、题意理解不透彻，忽视题设条件引起失误.例10、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）条.A、60条 B、62条 C、71条 D、80条错解：显然且，故、的选取方法有种；可从剩余的4个数中任取一个，有4 种方法.由乘法原理知共有204=80种不同方法，故选D.错因剖析：上解法中，由于的系数为，当和时，方程出现重复，从而因未注意隐含条件而引起失误.例11、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.错解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有种，由乘法原理，共有412=48种.错因剖析：上解法主要是没有理解题设中“有4种颜色可供选择”的含义，即4种颜色不一定全部使用，用3种也可以完成任务.例12、现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.A、 B、 C、 D、错解：除甲、乙、丙三人以外的5人先排，有种排法。5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有种方法，这样共有种排法，选A.错因剖析：上解法中将“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义误解为“甲、乙、丙三人互不相邻”的情形.事实上，“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.例13、两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）种.A.、10种 B、15种 C、20种 D、30种 错解：分三类：比分3：0有1种情况；比分3：1，即前3局中（第四局必胜）有2局胜，共有种情况；比分是3：2，即前4局中（第五局必胜）有2局胜，共有种情况；故共就1+3+6=10种情况获胜，故选A.错因剖析：上解法显然对“各人输赢局次的不同视为不同情形”未理解，造成仅考虑某一人获胜的情形而造成漏解.事实上，两人都有获胜的可能.六、思维不严密而造成失误（遗漏有关情形）.例14、四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种. A、150 B、147 C、144 D、141错解：选A或B或C.错因剖析：考虑到四点共面的情形有三类：四点位于同一表面；四点为两组相对棱的中点；四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形，就会由算式4150而错选A；若只考虑到情形、，就会由算式43147而错选B；若只考虑到情形、，就会由算